偏最小二乘法在加工熱誤差中的建模分析

吳桂梅 施曉佳

摘要：通過采用偏最小二乘回歸方法，首先測量加工系統(tǒng)的溫度場和熱誤差數(shù)據(jù)，然后建立兩者的多元線性回歸模型，并對各個測溫點的溫度變化與熱誤差之間的量化關(guān)系進行了定性研究。經(jīng)研究分析表明，該模型能夠達到較好的預測能力和精度，可滿足加工熱誤差實時補償?shù)男枰?/p>

Abstract： By using the partial least squares regression method， the temperature field and thermal error data of the machining system are measured firstly， and then the multiple linear regression model of them is established. The research and analysis show that the model can achieve better prediction ability and accuracy， and can meet the needs of real-time compensation of machining thermal error.

關(guān)鍵詞：偏最小二乘法;熱誤差;多元線性回歸;交叉有效性

Key words： partial least square method;thermal error;multiple linear regression;cross-effectiveness

中圖分類號：TG659? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2018）36-0144-02

0? 引言

多元統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析主要有模型式和認識式兩種方法。傳統(tǒng)的模型式方法普遍采用最小二乘回歸方法，然而在用最小二乘法得到回歸模型時，回歸系數(shù)的一般解釋作用不適用于自變量高度相關(guān)條件。而認識式方法的不足是原始數(shù)據(jù)中沒有自變量與因變量的區(qū)別以及解釋作用。[1-2]

偏最小二乘法與傳統(tǒng)的多元線性回歸方法相比：每一個自變量的回歸系數(shù)容易解釋其實際意義;回歸建模的條件允許自變量間存在多重相關(guān)性、允許變量個數(shù)多于樣本點個數(shù);回歸模型在原有所有自變量基礎(chǔ)上建立完成;系統(tǒng)信息和噪音便于在回歸模型中識別[3]。

基于以上分析，本研究采用偏最小二乘方法建立回歸模型，以測量加工系統(tǒng)的溫度場和熱誤差數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，以期獲得最佳模型。在試驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，建立溫度場與熱誤差的多元線性回歸模型，實現(xiàn)軟件預報熱誤差檢測并對誤差實施補償優(yōu)化。

1? 實驗數(shù)據(jù)分析

通過改變主軸轉(zhuǎn)速200，500，800，1000，1200r/min，測量得到5組實驗數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上建立溫度場與熱誤差模型。在主軸組件相應位置安裝32個溫度傳感器來檢測其溫度變化情況，在相同時間間隔進行數(shù)據(jù)采樣，采用五點法測量Y方向的主軸位移熱誤差[4]。觀察測量可得主軸軸承是主要熱源之一。

2? 建模方法

偏最小二乘回歸方法會進行標準化數(shù)據(jù)處理，即中心化—壓縮處理試驗數(shù)據(jù)。中心化處理數(shù)據(jù)的原則是坐標只進行平移變換，壓縮處理數(shù)據(jù)則可以消除由量綱不同所引起的虛假變異信息。

已知偏最小二乘算法的收斂速度是極快的，算法迭代的次數(shù)m一般總小于R（X），在m=1～3時，即可得一個滿意的計算結(jié)果[5]。

其中PRESSh體現(xiàn)了第h步擬和方程的預測能力[7]，并能確定最優(yōu)模型。

3? 建立并分析模型

3.1 優(yōu)化變量

通過對實驗數(shù)據(jù)存在問題的初步分析：①自變量一共有32個，個數(shù)較多;②而樣本個數(shù)只有5個，遠遠小于自變量個數(shù)。可得如何有效將變量系統(tǒng)優(yōu)化，降低多重相關(guān)性的影響，是急需解決的問題。

傳統(tǒng)的變量系統(tǒng)優(yōu)化方法，不能解決數(shù)據(jù)存在嚴重多重相關(guān)性的情況。而偏最小二乘法得到的擬和方程系數(shù)實際意義較為明顯，自變量的回歸系數(shù)實際反映了對因變量的解釋作用。所以決定應用偏最小二乘法本身來篩選數(shù)據(jù)。

3.2 建模

對誤差實施補償優(yōu)化的原則是每一種誤差確定每一個方程，在此基礎(chǔ)上，對Y方向的主軸位移熱誤差進行偏最小二乘法的回歸建模。依照變量系統(tǒng)優(yōu)化思路，對全部原始數(shù)據(jù)運用偏最小二乘法建模，每一步計算的PRESS值如表1。

由表1可知，第二步擬和方程的預測誤差平方和最小，故選擇成分t1擬和方程。擬和方程的F值為26.3422，通過了F檢驗，自變量與因變量之間線性關(guān)系顯著，測定系數(shù)R=0.9815。其對應的原始數(shù)據(jù)回歸方程系數(shù)如表2。

觀察表2的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)測溫點x1，x2，x3，x5的系數(shù)相對較小，均小于0.01，即以上變量對Y向誤差的解釋作用較弱，因此將其刪除。而環(huán)境溫度的變化較小時，對熱誤差影響也較小，即可刪除。將篩選后的數(shù)據(jù)重新進行偏最小二乘擬和，可得PRESS值如表3。

由表3可知，第二步擬和方程的預測誤差平方和最小，故選擇成分t1和t2擬和方程。其模型值如表4。

模型的F值：F=32.1136;測定系數(shù)R=0.9848?？芍宰兞颗c因變量具有顯著的線性關(guān)系，且模型值與觀測值相關(guān)程度較高。

為了考察所得模型的精度和預測能力，作預測圖如圖1所示。

當樣本點均勻分布或者靠近對角線時，能夠得到模型的預測能力和擬和精度均較好。

從影響熱誤差的物理意義角度進行分析，變量x1，x2，x3表達的信息重復，是可以刪除的。而變量x5離主軸位置很遠，對Y向誤差的影響可以忽略不計。從熱誤差的擬和結(jié)果來看，模型的預測能力和擬和精度均達到了令人滿意的效果，可以滿足加工中心熱誤差實時補償?shù)男枰?/p>

4? 結(jié)論

本研究將偏最小二乘回歸方法應用到熱誤差的建模分析中，取得了較好效果。同時在將模型的預測能力作為評價回歸效果的首要因素時，提出了一種新的變量系統(tǒng)優(yōu)化方法，建立實驗并通過了驗證。偏最小二乘法廣泛應用于各個領(lǐng)域，區(qū)別于其他線性回歸方法會更加理想。最小二乘回歸法在系統(tǒng)優(yōu)化尺度等方面需要進一步探討，從而實現(xiàn)效果最優(yōu)。

參考文獻：

[1]方開泰.實用多元統(tǒng)計分析[M].上海：華東師范大學出版社，1989.

[2]S.Weisberg.APPLIED LINEAR REGRESSION[M].王靜龍等譯.北京：中國統(tǒng)計出版社，1998.

[3]滿蛟，王新，等.利用偏最小二乘回歸法對主軸熱誤差數(shù)值建模的研究[J].組合機床與自動化加工技術(shù)，2005，11.

[4]穆塔里夫，等.加工中心主軸熱誤差實驗分析與建模[J].組合機床與自動化加工技術(shù)，2002，9.

[5]王惠文.偏最小二乘回歸方法及其應用[M].北京：國防工業(yè)出版社，1999.

[6][美]Edward B.Magrab，等.MATLAB原理與工程應用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2002.

[7]武嬌.偏最小二乘回歸模型及其在教育統(tǒng)計中的應用[D].陜西師范大學，2002.