基于本原問題的數(shù)學題組設計

□高建成

（杭州市余杭區(qū)教育局教研室，浙江杭州 311100）

本原問題從學科教學的角度可理解為，哪些問題反映了該學習主題中最為原始、樸素、本質(zhì)的觀念、思想和方法.一般地，以本原問題為藍本并加以變化、組合形成的系列問題稱為題組[1].通過例、習題組合、變式，讓學生在題組變化中找到不變的本原、在題組變化中發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，從而促進學生數(shù)學的思考與內(nèi)化，提升解決問題的能力.基于此，從課堂教學實踐來看，很多一線教師在嘗試進行題組教學，但他們對為什么進行題組設計，題組設計中組合些什么以及如何結(jié)合具體教學內(nèi)容構(gòu)造題組等問題并不清楚，本文將就這些問題進行探討.

一、為什么進行題組設計？

德國M.瓦根舍因和克拉夫基等范例教學論者認為，要克服傳統(tǒng)教學的弊端，就要重構(gòu)教學內(nèi)容，選擇學科材料中最典型的材料，形成認識的稠密區(qū).顯然，在數(shù)學知識的稠密區(qū)里，數(shù)學的核心知識、方法、思想迅速匯集、交融，學生通過對這個稠密區(qū)的探究、發(fā)現(xiàn)、思考，逐漸形成一個整體的認識結(jié)構(gòu)，達到把握數(shù)學本質(zhì)的目的.也就是說學生通過數(shù)學題組學習，來掌握一般的數(shù)學原理和方法，掌握同一類知識的規(guī)律，舉一反三，獲得獨立思考、獨立解決問題的數(shù)學方法.

題組教學就是要基于本原問題，服務于教學目標，組合而形成一個認識的稠密區(qū).教材中可供進行題組教學的材料是多種多樣的，對于同一內(nèi)容，可以進行各式各樣的變化，題組的設計總是圍繞一個中心，有目的地進行，而這一中心和目的或是理解某一概念，或是用來解釋某一法則，證明某一性質(zhì)，領悟某種思維方法等.

例如，在學習平方差公式=a2-b2時，基于鞏固熟練的目的可設計題組一：=_____；基于揭示公式的結(jié)構(gòu)特征的目的，可設計題組二：在下列空格橫線上填上適當?shù)臄?shù)或字母，使其可以用平方差公式計算，并寫出計 算 結(jié) 果 ：；基于思想方法的目的可設計題組三：基于運用的目的，可設計題組四：99×101=_____，998×1002=____，一塊邊長為a的正方形土地，將一組對邊減少b，一組對邊增加b(b＜a)，則這塊地的面積如何變化？

對于不同的內(nèi)容，組合的形式和目的也常常不同，例如，方程、不等式、函數(shù)是一個彼此聯(lián)系、可以相互轉(zhuǎn)化的整體，為提高學生對此的認識，在教學中，可通過解法變式、組合進行溝通.

二、題組設計中組合什么？

課堂教學實踐中的問題設計，有時不能深刻分析哪些是本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，哪些是教學重點，哪些是教學難點，僅僅根據(jù)已有的教學經(jīng)驗作問題的組合，往往使得“組合什么”“不組合什么”具有很強的隨意性，表現(xiàn)為隨意變換問題的條件、結(jié)論等.

從一般意義上說，組合是相對于某種范式（即數(shù)學教材中具體的數(shù)學思維成果，含基本知識、知識結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等）的變化形式，就是不斷變更問題的情境或改變思維的角度.組合的內(nèi)涵似乎透露這樣的理念：無論是對事物的認識還是概念的獲得都涉及一個“變”字——“無關特征或非本質(zhì)特征的變化”.

例如，用十字相乘法因式分解x2+4x+3，其中字母x，數(shù)字4，3都是該問題的非本質(zhì)屬性，可以隨意進行變化，但這些對問題的本質(zhì)影響不大.這一問題的本質(zhì)屬性是式子的結(jié)構(gòu)特征：式子都可以表達為x2+( )a+b x+ab.對問題進行組合變化，常常就是對某一屬性加以變化，如對字母x加以變化，題組可設計為：等；若對數(shù)字1，4，3加以考慮，題組可設計為2x2+x-3，3x2+11x-4等；為增加難度，兩者也可同時組合.還可以從問題的呈現(xiàn)形式上加以考慮，如改為開放性問題，為二次三項式x2+4x+___補上常數(shù)項（整數(shù)），使其可以用十字相乘法因式分解，這就開始涉及式子的結(jié)構(gòu)特征問題了，當然還可進一步發(fā)展，在式子x2+4x+___空格處填上適當?shù)臄?shù)，使其可以在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解.

由此看來，對問題進行組合，首先要能深刻分析問題的“屬性”，并在此基礎上結(jié)合教學的重點、難點，確立“組合點”.但我們必須意識到“不變量”與“不變性”才是組合的本質(zhì)特征.

三、怎樣進行題組設計？

荷蘭數(shù)學教育家費賴登塔爾的再創(chuàng)造學習理論認為，數(shù)學學習是學生本人把要學的東西去發(fā)現(xiàn)或再創(chuàng)造出來.用再創(chuàng)造的方法去進行教學，而創(chuàng)造來源于問題的提出.教師在根據(jù)學生認知的心理水平和原有的知識經(jīng)驗基礎上，把習題內(nèi)容創(chuàng)造性地加工，給學生構(gòu)造、組合一個思維探索的空間，幫助學生去進行再創(chuàng)造.所以，問題的組合應該符合下面要求.

首先，學生在已有的認知結(jié)構(gòu)中有解決習題的知識基礎.（能學）

其次，習題中呈現(xiàn)的問題以已有的認知，有內(nèi)涵與外延關系、上位與下位的關系、層次的邏輯關系，從而使得知識更加擴充、深入，更具代表性.（該學）

最后，讓學生與生活、熱點問題、數(shù)學的通性問題去聯(lián)系，從而產(chǎn)生新的問題，對知識進一步的掌握、理解.（想學）

基于以上認識，對如何構(gòu)造數(shù)學題組很有啟發(fā)：

（1）數(shù)學題組是針對本原問題而言的，由此可見，首先要確定合適的本原問題.

（2）對問題系統(tǒng)進行分析，確定核心要素.對問題結(jié)構(gòu)進行分析，確定組合的層次.

（3）對問題進行再創(chuàng)造.如改變例題、習題的條件或結(jié)論，如改變數(shù)字、改變符號；或?qū)栴}通過特殊化、一般化等方式加以推廣或拓展等；或交換（部分）條件與（部分）結(jié)論；或改變題目的背景，改變問題的題型（變封閉題型為開放題型）等.

例如，針對二次函數(shù)這一本原問題，在許多方面有著廣泛的運用，為提高學生對這部分內(nèi)容的認識水平和遷移能力，可通過下列組合設計問題.

本原問題：求二次函數(shù)y=-x2+8x-10的頂點坐標.

這是一道基本也是典型的二次函數(shù)問題.結(jié)合問題屬性和呈現(xiàn)方式可進行一系列變式.

改變問法，可得：

問題1：求二次函數(shù)y=-x2+8x-10的最大值.

改變拋物線解析式，即拋物線不是“標準式”，而是“非標準式”那又會怎樣？

問題2：求二次函數(shù)y=-x2+8x的頂點坐標.

改變問題的隱含條件，即自變量x的取值范圍不是實數(shù)，而是實數(shù)的子集又會怎樣？

問題3：求二次函數(shù)y=-x2+8x的最大值（3≤x≤5）.

改變問題的背景，可得：

問題4：一個矩形的周長為16，求該矩形面積的最大值.

改變問題的解法，可得：

問題5：你能用與上述解法不同的方法解答上述問題嗎？

如果問題的條件不是以直接方式給出，而是以另一方式呈現(xiàn)又會怎樣？

問題6：一個周長為定長的矩形ABCD，已知當AB=2或AB=4時，矩形的面積相等.由此你能確定該矩形的周長嗎？你能確定矩形面積的最大值嗎？如果可以，請直接寫出結(jié)果.

交換條件和結(jié)論，可得：

問題7：若二次函數(shù)的頂點坐標為（4，6），寫出符合條件的一個二次函數(shù)解析式.

如果自變量不是連續(xù)變量，而是離散變量，那又怎樣？

問題8：已知關于正整數(shù)n的二次函數(shù)y=n2+an（a為實常數(shù)），當且僅當n=5時，y有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_____.

如果是含參數(shù)問題，變化之中又有哪些不變性呢？

問題9：設函數(shù)y=（x-1）[（k-1）x+（k-3）]（k是常數(shù)）.①請你在同一直角坐標系中畫出當k取0，1和2時的函數(shù)圖象；②根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的一條結(jié)論.

通過這一題組的設計，可以讓學生感受到這類問題的本質(zhì).同時，學生通過問題跟進式的探究學習，可以為課堂節(jié)省很多時間，使得探究不再是難事，進一步提高課堂效率.讓學生參與問題的編擬，體驗發(fā)現(xiàn)問題、提出問題及解決問題的過程，理解這類問題的實質(zhì)，從而進行“再創(chuàng)造”.

教師能夠找到一個本原問題進行巧妙引導，不斷地進行問題組合，把學生的思路引向問題的拓展點，并在拓展點處設問，挖掘思維的深度，這樣學生思維的條理性和創(chuàng)造性就得以有效培養(yǎng) .

［1］陳鋒，薛鶯.例談中考復習課的題組教學［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2017（6）：51.