數(shù)學(xué)課堂教學(xué)思維過程的設(shè)計(jì)

韓旭東 鄭麗杰

摘要：課堂教學(xué)中，思維過程的設(shè)計(jì)起了很大的作用，好的思維設(shè)計(jì)，不但能幫助學(xué)生形成良好知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)興趣，還能最大程度的提高課堂教學(xué)效果。本文從問題的提出、概念的形成、結(jié)論的探索、方法的思考幾個(gè)方面入手，對(duì)思維過程的設(shè)計(jì)進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);思維過程;設(shè)計(jì)

過程性原則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過程中的重要原則，此原則要求老師從結(jié)果出發(fā)，精心設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)思維活動(dòng)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，以求學(xué)生能夠按照一定的思維規(guī)律逐步進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，不僅能讓學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)興趣，而且能提高課堂教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)思維過程的本質(zhì)就是將數(shù)學(xué)思維的主要過程“重現(xiàn)”出來，這里面不但包括了提出問題、形成概念，還包括了探索結(jié)論、思考方法等。下面就這幾方面進(jìn)行探討。

教學(xué)的重要過程之一就是問題的提出。為此在我們的教學(xué)中要盡可能做到從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)來全方位展示提出問題的過程。

問題提出的過程是新課引入的實(shí)質(zhì)，例如在教學(xué)新課“復(fù)數(shù)的模”時(shí)，我們可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)過程來逐步將此概念引入并讓學(xué)生留下深刻的印象：

（1）在學(xué)生已掌握實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念情況下，引導(dǎo)其猜想復(fù)數(shù)是否具有相類似概念？這個(gè)概念到底是什么？

（2）從幾何意義來解釋，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值表示數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，類似的將“復(fù)數(shù)的絕對(duì)值”理解為復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

（3）通過類比原則可以將復(fù)數(shù)的幾何意義初步引導(dǎo)出來，然后正式介紹這個(gè)引導(dǎo)的概念具體是什么？并引導(dǎo)提出其有一些什么性質(zhì)？

下面我們可以正式開始研究“復(fù)數(shù)的?！边@一課題。

這樣通過兩項(xiàng)類比，復(fù)數(shù)的模的問題就可由實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念引出，不僅避免新舊知識(shí)的混淆，還為模的性質(zhì)研究提供了方法。

以上過程在學(xué)生本身已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，通過猜想、類比、轉(zhuǎn)化等一系列數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，不僅使問題提出得更自然，而且使學(xué)生在知識(shí)遷移這一過程中能夠產(chǎn)生更加強(qiáng)烈的求知欲。

一、 概念的形成過程

強(qiáng)調(diào)“從定義出發(fā)”，忽視揭示概念形成過程的傳統(tǒng)教學(xué)，使教學(xué)呈單向性，“填鴨式”的教學(xué)只能讓學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)，缺乏主動(dòng)性，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不濃。教學(xué)中要盡可能讓學(xué)生參與概念形成的思維活動(dòng)。概念形成方式，一般可分成：描述、揭示、概括以及構(gòu)造幾個(gè)類型。但對(duì)于這些類型，研究的可能性、合理性和必要性都是不可或缺的。

在“復(fù)數(shù)概念”教學(xué)中，教材通過負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開平方這一現(xiàn)象表明實(shí)數(shù)集的不完善，接著引入實(shí)數(shù)集需要進(jìn)一步擴(kuò)充的必要性。這就是提出問題的過程，那么接下來就是如何解決這一問題？

1. 回憶小學(xué)到初中的幾次數(shù)集擴(kuò)充過程：

自然數(shù)集→非負(fù)有理數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集

均體現(xiàn)了如下規(guī)律：①規(guī)定了性質(zhì)的新元素的增加。 ②擴(kuò)充后，不影響原數(shù)集內(nèi)的主要規(guī)律。③引入擴(kuò)大范圍的新數(shù)集后可以解決原數(shù)集不能解決的一些問題。

2. 借鑒以上規(guī)律，引進(jìn)新元素，規(guī)定：

①i2=-1。②它可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，并且原運(yùn)算律仍成立。

根據(jù)規(guī)定，實(shí)數(shù)與i相乘，再將實(shí)數(shù)與所得結(jié)果相加。得到的數(shù)即為復(fù)數(shù)。而復(fù)數(shù)集就是全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的一個(gè)集合。

接著對(duì)復(fù)數(shù)的性質(zhì)作必要的舉例驗(yàn)證，并說明以后的學(xué)習(xí)將進(jìn)一步驗(yàn)證擴(kuò)充的必要性、合理性及擴(kuò)充的重大意義。

這就是復(fù)數(shù)概念的形成過程，通過這一過程，學(xué)生就不會(huì)對(duì)復(fù)數(shù)的引入感到困惑，也不會(huì)對(duì)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念覺得突兀，同時(shí)為以后概念的深刻理解和進(jìn)一步探究做了基礎(chǔ)工作。

二、 結(jié)論的探索過程

數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程，大量的猜想和假設(shè)是必不可少的一部分，如要選擇正確的結(jié)論需要通過直覺思維，而要在教學(xué)中突出思維過程，就必須將直覺思維放大并逐步剖析，既要不斷挖掘教材中蘊(yùn)含因素，還要不斷挖掘結(jié)論探索過程。

在“椎體體積”的教學(xué)中，可以根據(jù)已有柱體體積公式求法作如下教學(xué)情境設(shè)計(jì)：

首先回顧推導(dǎo)柱體體積公式的過程：引導(dǎo)學(xué)生通過長(zhǎng)方體這個(gè)特殊的柱體體積公式，同時(shí)提出“等底面積等高的兩個(gè)柱體體積相等”這一結(jié)論，推導(dǎo)出一般柱體體積公式。

通過類比原則來猜想：是否可以用以上思路來探索椎體體積？

先考慮底面積為S，高為h的三棱錐這個(gè)特殊的椎體，如何求出它的體積？

通過聯(lián)想、類比三角形面積公式的推導(dǎo)過程，將三角形補(bǔ)成平行四邊形得到公式。

作以下猜想：是否可以將三棱錐通過補(bǔ)成三棱柱，從而得出三棱錐體積公式。

圖1如何補(bǔ)？我們已經(jīng)知道可以將三棱柱通過下列方法割成三個(gè)不同的三棱錐。如圖所示：

逆向思考：以上三個(gè)三棱錐重新補(bǔ)成三棱柱，這樣三棱錐體積公式不就可以推出了。

如果再有“等底面積等高的兩個(gè)椎體體積相等”這一條件，是否就可猜想：底面積為S，高為h的棱錐的體積為V=1/3Sh。

在老師引導(dǎo)下，學(xué)生通過類比、聯(lián)想、猜想等一系列方法，親身經(jīng)歷了棱錐體積公式的探索過程，如此能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而使其將知識(shí)掌握得更牢固。

三、 方法的思考過程

教材通常都是直接給出數(shù)學(xué)結(jié)論的證明，然而這些巧妙的方法是怎么想出來的？學(xué)生都是不得而知，只能死記硬背。因此，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)首先要使學(xué)生掌握下列思考問題的方法：猜想、試驗(yàn)、類比、聯(lián)想、觀察、演繹、歸納等，以使學(xué)生在具體思維過程設(shè)計(jì)時(shí)能夠靈活運(yùn)用。

對(duì)于“點(diǎn)到直線的距離公式”證明，雖然教材采用的證明方法不難，但大多數(shù)學(xué)生對(duì)圖中添加的輔助線卻感到困惑。要解決這個(gè)問題，我們可以設(shè)計(jì)如下過程：

先用特殊位置思考，當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸y軸上時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離如何求？引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建直角三角形，提出如圖所示方案：d=|PQ|=|PM|cosα。

本方案采用方法是：找一直角三角形，假設(shè)確定了斜邊和一已知角，便能將所求距離轉(zhuǎn)化成求三角形的一條直角邊，如此更清晰明了，學(xué)生也能更快地掌握。

學(xué)生解決這個(gè)特殊問題后，再回頭解決原問題就簡(jiǎn)單許多。通過特殊問題的解決，可以使得一般問題得到提示，不會(huì)顯得迷茫不知從何處下手：找一直線作為斜邊所在的直線，構(gòu)造一直角三角形。

圖2如圖，要構(gòu)造一直角三角形，只需過P作一直線與直線l相交，就可構(gòu)成直角三角形。如果任意作直線，內(nèi)角就沒法確定，我們能都作y軸（或x軸）平行的直線嗎？引導(dǎo)學(xué)生作出圖形，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式，從而使得一般性問題得以解決。

通過這樣的教學(xué)，學(xué)生不僅能理解這樣作輔助線的原因，而且深入研究探索還可以得到不同的解決方法。而學(xué)生在牢固掌握知識(shí)的同時(shí)，還知道了方式方法，得到了能力的發(fā)展。

如果每堂課都精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，那么就更能激起學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，進(jìn)一步提高學(xué)生主觀能動(dòng)性，使得課堂效率更高。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

韓旭東，鄭麗杰，江蘇省宜興市，江蘇宜興市官林中學(xué)。