用于間接獲取耦合界面頻響函數(shù)的變截面頻響探針研究

孟天涯， 王 軍，2， 郭蓓蓓， 張小英， 郭 睿

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122； 2. 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122)

動(dòng)態(tài)逆子結(jié)構(gòu)分析是機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中新近發(fā)展的一種技術(shù)理論方法，與現(xiàn)有的從子結(jié)構(gòu)到系統(tǒng)的模態(tài)分析、子結(jié)構(gòu)等正向分析方法不同，它是從系統(tǒng)水平的動(dòng)態(tài)特性反求并分析子結(jié)構(gòu)及其耦合的部件水平的動(dòng)態(tài)特性，具有計(jì)算量小、適于中低頻范圍動(dòng)態(tài)分析及建模精度高等特點(diǎn)，尤其適用于復(fù)雜耦合機(jī)械結(jié)構(gòu)與產(chǎn)品系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)質(zhì)量分析評(píng)價(jià)與動(dòng)態(tài)故障診斷。

在復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的工程應(yīng)用方面，目前主要是圍繞系統(tǒng)水平的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，將模態(tài)綜合技術(shù)與動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)分析方法結(jié)合[1]，將測(cè)量或計(jì)算獲得的子結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行綜合計(jì)算或系統(tǒng)仿真。然而，目前實(shí)際工程應(yīng)用的分析結(jié)果能在測(cè)試結(jié)果的同一量級(jí)之內(nèi)便是很好的了，常因誤差與可靠性問(wèn)題，仍多以試驗(yàn)為準(zhǔn)。造成計(jì)算誤差與結(jié)果可靠性問(wèn)題的原因基本可歸結(jié)為：①子結(jié)構(gòu)耦合界面假設(shè)與實(shí)際裝配系統(tǒng)存在差異，比如復(fù)雜耦合界面的非線性因素[2]及自由度的完整性[3]；②對(duì)不可拆分的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試與分析存在困難，因測(cè)試系統(tǒng)精度、測(cè)點(diǎn)數(shù)目等限制引起的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試精度問(wèn)題等；③由于低階模態(tài)會(huì)受到高階模態(tài)影響而產(chǎn)生的解析計(jì)算困難；④理論方法本身的精度限制，以及大量的數(shù)值計(jì)算尤其是矩陣求逆運(yùn)算產(chǎn)生誤差等[4-6]。為解決上述問(wèn)題，研究人員提出了不同的模態(tài)綜合技術(shù)理論方法，例如簡(jiǎn)單子結(jié)構(gòu)的 FEM 計(jì)算模態(tài)與復(fù)雜子結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的綜合方法[7-8]、采用測(cè)量的子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)(Frequency Response Function，F(xiàn)RF)進(jìn)行綜合的方法[9]，以及考慮高階剩余模態(tài)影響的精確子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合和采取模態(tài)截?cái)嗟幕旌暇C合方法等。

這些方法雖適合于不同的工程應(yīng)用條件，但計(jì)算分析結(jié)果只能對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行預(yù)測(cè)，而不便進(jìn)行評(píng)價(jià)和診斷(Trouble-shooting)，而且都存在不同程度的計(jì)算效率、精度和結(jié)果可靠性問(wèn)題尚待解決。此外，現(xiàn)有的復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析理論和技術(shù)方法基本上屬于動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)分析的正問(wèn)題，即由子結(jié)構(gòu)水平綜合到系統(tǒng)水平的計(jì)算分析。而系統(tǒng)水平的動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算有賴于各子結(jié)構(gòu)的精確分析或測(cè)試結(jié)果以及耦合特性參數(shù)的準(zhǔn)確辨識(shí)，這在實(shí)際工程應(yīng)用中常常遇到困難。

有鑒于此，Lim[10]提出動(dòng)態(tài)逆子結(jié)構(gòu)方法。有別于傳統(tǒng)正向分析，逆子結(jié)構(gòu)方法完全由測(cè)量的系統(tǒng)水平頻響函數(shù)反向預(yù)測(cè)各子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)及子結(jié)構(gòu)間耦合動(dòng)剛度，屬于從系統(tǒng)水平分解到子結(jié)構(gòu)水平的問(wèn)題，由于避免了模態(tài)的分析與綜合計(jì)算，其工程應(yīng)用簡(jiǎn)便、計(jì)算高效、誤差相對(duì)較低、中低頻范圍精度較高[11]，適用于不可拆分子結(jié)構(gòu)及其耦合結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)分析，以及復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的評(píng)價(jià)和診斷。它在工程中有廣泛的應(yīng)用前景，對(duì)諸如子結(jié)構(gòu)本身極其脆弱，或在裝配狀態(tài)與自由狀態(tài)差異較大的子結(jié)構(gòu)FRF的間接測(cè)試，以及對(duì)不可拆分子結(jié)構(gòu)在線狀態(tài)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行監(jiān)控和評(píng)價(jià)等具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。隨后，Liu等[12]將子結(jié)構(gòu)間耦合動(dòng)剛度矩陣分為非對(duì)角矩陣、塊對(duì)角矩陣、對(duì)角矩陣三種情形，推導(dǎo)了三種情形下的逆子結(jié)構(gòu)分析公式，并對(duì)比了逆子結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)結(jié)果。Zhen等[13-14]應(yīng)用逆子結(jié)構(gòu)方法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了汽車懸置的剛度以及主要子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，分析了汽車系統(tǒng)各傳遞路徑的貢獻(xiàn)和動(dòng)態(tài)力傳遞率，為汽車減振降噪設(shè)計(jì)提供了新的思路。Liu等[15]人將汽車劃分為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，應(yīng)用多點(diǎn)耦合逆子結(jié)構(gòu)方法分析了車輛底盤(pán)和懸掛對(duì)振動(dòng)傳遞的貢獻(xiàn)。隨后，D’Ambrogio等[16]將逆子結(jié)構(gòu)方法拓展到剛性耦合系統(tǒng)，發(fā)展了逆耦合法、直接解耦法等逆向子結(jié)構(gòu)分析技術(shù)[17-19]。

上述逆子結(jié)構(gòu)理論的成功應(yīng)用都建立在測(cè)量信息完備的基礎(chǔ)之上，然而在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由耦合結(jié)構(gòu)復(fù)雜及空間局限性導(dǎo)致的測(cè)量信息不完備情況經(jīng)常出現(xiàn)。

針對(duì)以上問(wèn)題，王啟利等[20]將Liu等[21]提出的一種通過(guò)彈性桿件獲取頻響函數(shù)的方法應(yīng)用于耦合界面頻響函數(shù)的獲取，提出了一種利用頻響探針來(lái)獲取該界面處難測(cè)頻響的方法。 該頻響探針為一根細(xì)長(zhǎng)的等截面均質(zhì)彈性桿，且其質(zhì)量和體積都遠(yuǎn)小于耦合系統(tǒng)的質(zhì)量和體積。

已有的頻響探針?lè)椒m然可以有效解決耦合界面處由于物理空間限制問(wèn)題引起的測(cè)量信息不完備問(wèn)題，但在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用過(guò)程中，如果探針過(guò)細(xì)則難以固定傳感器以及施加激勵(lì)，過(guò)粗則難以克服狹小的物理空間限制的問(wèn)題產(chǎn)生了。為了調(diào)和這對(duì)矛盾，本文提出了一種變截面頻響探針的技術(shù)，并且對(duì)頻響探針附加質(zhì)量的影響進(jìn)行了消除。仿真結(jié)果表明該方法可以在克服原有等截面頻響探針缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上有效解決耦合界面處由于物理空間限制問(wèn)題引起的測(cè)量信息不完備問(wèn)題。

1 理 論

1.1 變截面桿的縱向振動(dòng)

變截面桿縱向振動(dòng)的通用動(dòng)力學(xué)方程

(1)

其中，

(2)

式中：c為振動(dòng)在材料中的傳播速度；E為材料的楊氏模量；ρ為材料的密度。

設(shè)式(1)可以轉(zhuǎn)換為

(3)

式中，φ(x)為待定函數(shù)。將式(1)和式(3)分別展開(kāi)得

(4)

(5)

式中，A，φ與u都是對(duì)x求導(dǎo)。

比較式(4)和式(5)，得

(6)

即

φ=C1x+C2

(7)

(8)

式中，C1，C2為任意常數(shù)。

式(4)和式(5)對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，得

(9)

即

(10)

將式(7)、式(8)代入式(10)得

(11)

又有

(12)

將式(12)代入式(11)，分離變量得

(13)

解式(13)得

A(x)=C3(C1x+C2)2,C3>0

(14)

式中，C3為任意大于零的常數(shù)。

因有解式(7)和式(14)，所以將式(1)轉(zhuǎn)化為式(3)是可行的。

取如圖1所示的模型作為研究對(duì)象

圖1 均質(zhì)變截面自由彈性桿示意圖Fig.1 Free body diagram of a uniform bar with variable cross-section

為了表達(dá)和計(jì)算方便，令

C3=A0

(15)

(16)

C2=1

(17)

得

(18)

圖1中左端點(diǎn)為x=0點(diǎn)，右端點(diǎn)為x=L,A(x)為桿的橫截面積。

(19)

設(shè)桿的橫截面形狀為圓形，則有

(20)

(21)

式中：A0為變截面桿較粗一端的橫截面面積；R0為變截面桿較粗一端的橫截面半徑；α為無(wú)量綱系數(shù)；L為變截面桿的長(zhǎng)度。

令

υ(x,t)=φ(x)u(x,t)

(22)

將式(22)代入式(3)，即為經(jīng)典波動(dòng)方程，解得

(23)

式中：ω為角頻率；C4，C5和φ是取決于邊界條件和初始條件的常數(shù)。

將式(23)代入式(22)，得

(24)

式中，u(x,t)為變截面桿的縱向振動(dòng)方程式(1)的解。

1.2 變截面桿探針理論

根據(jù)如圖1所示的邊界條件

a1=-ω2u|x=0=-ω2C5sin(ωt+φ)

(25)

(26)

a2=-ω2u|x=L=

(27)

(28)

式中，a1，a2分別為變截面桿左端和右端的加速度。

對(duì)于變截面桿有

(29)

即

(30)

令無(wú)量綱參數(shù)

(31)

將式(2)和式(30)代入式(31)，等式兩邊取平方得

(32)

由式(32)得

(33)

聯(lián)立方程式(25)～式(28)，且將式(32)，式(33)代入得

(34)

(35)

定義加速度頻響函數(shù)

(36)

(37)

用式(35)除式(34)，且將式(36)和式(37)代入得

(38)

1.3 變截面探針附加質(zhì)量影響的消除

N自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼動(dòng)力學(xué)公式有

(39)

式中，M,C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣。

不受頻響探針質(zhì)量影響的耦合系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣如下

(40)

當(dāng)一個(gè)頻響探針剛性連接到耦合系統(tǒng)的“j”點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)公式為

(41)

其中，

(42)

式中， △mj為附加探針的質(zhì)量。

對(duì)式(41)進(jìn)行傅里葉變換得

[-ω2M+iωC+K]Y(ω)=ω2ΔMY(ω)+F(ω)

(43)

式中，Y(ω) 和F(ω) 分別為受頻響探針附加質(zhì)量影響的位移和力。 式(43)表明ω2△MY(ω) 為探針附加質(zhì)量帶來(lái)的附加力。

由式(43)得

Y(ω)=[-ω2M+iωC+K]-1[ω2ΔMY(ω)+F(ω)]

(44)

將式(40)代入式(44)得

(45)

式(45)等式兩邊同除以F(ω)得

(46)

由式(46)得

(47)

其中，

(48)

假設(shè)只有“j”點(diǎn)收到激勵(lì)且只有“j”點(diǎn)放置了頻響探針，則有

(49)

當(dāng)響應(yīng)通過(guò)加速度傳感器測(cè)量到，由式(47)、式(49)可得

(50)

(51)

將式(38)代入式(51)得到消除頻響探針附加質(zhì)量影響后的變截面頻響探針技術(shù)理論公式

(52)

2 驗(yàn) 證

為驗(yàn)證變截面頻響探針理論的正確性，建立如圖2所示的有限元模型。耦合系統(tǒng)由上下兩個(gè)部件構(gòu)成。上面的部件為A，下邊的部件為B。部件A和部件B通過(guò)四個(gè)圓柱體剛性連接在一起。部件A上有空隙，變截面探針較細(xì)的一端能夠輕易的通過(guò)空隙到達(dá)耦合界面上耦合點(diǎn)“2”處。部件A、部件B及探針?biāo)貌牧蠈傩跃鶠椋簭椥阅Ａ繛?00 000 N/mm2, 密度為7.85×10-6kg/mm3，泊松比為0.3。變截面探針的長(zhǎng)度為100 mm, 變截面系數(shù)α為0.5，較粗一端的橫截面半徑為10 mm，較細(xì)一端的橫截面半徑為5 mm。因?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)一般都為非自由支撐，為模擬實(shí)際的機(jī)械結(jié)構(gòu)的工況條件，采用可能存在的原裝支撐，將部件B的最左邊的面施加固定約束。首先在點(diǎn)“2”處施加激勵(lì)，得到該點(diǎn)處的響應(yīng)加速度，從而得到該點(diǎn)的頻響函數(shù)G22，作為此點(diǎn)加速度頻響的精確值。再將變截面探針較細(xì)的一端與耦合系統(tǒng)的耦合點(diǎn)連接，在探針較粗的一端的點(diǎn)“1”處施加激勵(lì)且拾振，得到點(diǎn)“1”處的加速度頻響G11。將G11代入式(52)對(duì)點(diǎn)“2”的頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，且與G22進(jìn)行對(duì)比。

圖2 仿真模型圖Fig.2 Models for simulation

其中實(shí)線表示測(cè)量到的點(diǎn)“2”處的頻響函數(shù)，虛線表示測(cè)量到的探針較粗一端點(diǎn)“1”處的頻響函數(shù)，五角星點(diǎn)表示用變截面頻響探針公式預(yù)測(cè)的點(diǎn)“2”處的頻響函數(shù)。

如圖3所示，用變截面頻響探針公式預(yù)測(cè)的點(diǎn)“2”處的頻響函數(shù)與點(diǎn)“2”處實(shí)際測(cè)量到的頻響函數(shù)幾乎完全吻合。

圖3 仿真結(jié)果圖Fig.3 FRFs of simulation

3 結(jié) 論

動(dòng)態(tài)逆子結(jié)構(gòu)分析是機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中新近發(fā)展的一種技術(shù)理論方法。該理論能夠通過(guò)耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性來(lái)有效地預(yù)測(cè)部件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。然而在實(shí)際的測(cè)量過(guò)程中，大多數(shù)情況下并不能獲得完備的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，尤其是當(dāng)受到耦合系統(tǒng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的空間限制時(shí)，無(wú)法獲取耦合界面處的動(dòng)態(tài)響應(yīng)信息已成為該技術(shù)應(yīng)用中遇到的典型難題。雖然一種等截面頻響探針技術(shù)出現(xiàn)并用來(lái)解決該問(wèn)題，但等截面探針如果過(guò)細(xì)則無(wú)法固定傳感器、施加激勵(lì)和過(guò)粗難以深入到系統(tǒng)耦合界面的矛盾難以調(diào)和。本文提出的變截面頻響探針技術(shù)解決了該矛盾，并且消除了頻響探針附加質(zhì)量對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，用有限元方法進(jìn)行了驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明該技術(shù)可以有效地用來(lái)獲取復(fù)雜耦合系統(tǒng)耦合界面處的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

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