孫子定理教學新探

李 偉

（西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學學院，成都 610074）

孫子定理教學新探

李 偉

（西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學學院，成都 610074）

改進了孫子定理的教學方法.

孫子定理；教學方法

孫子定理 設(shè)m1，…，mn為兩兩互素的正整數(shù)，對任意整數(shù)a1，…，an，同余方程組

有唯一解modM，并可表示為

這里M＝m1…mn，Mi＝M／mi，M′iMi≡1（modmi），i＝1，…，n.

孫子定理，即中國剩余定理，是初等數(shù)論的的重要定理.一般初等數(shù)論教程給出的證明過程是：先證明解的唯一性，再驗證（1）為解.初學者往往感到困惑：為什么要求m1，…，mn兩兩互素？能否同時求出M′1，…，M′n？其實，只要對孫子定理的證明過程作適當?shù)慕虒W法加工，就可以化解初學者的困惑，從而使他們更好地理解定理.

下面給出作了教學法加工的孫子定理的證明過程.

第一步：統(tǒng)一各同余方程的模.顯然，統(tǒng)一的模為M＝［m1，…，mn］＝m1…mn.由x≡ai（modmi），知Mix≡Miai（modMimi），即Mix≡Miai（modM），i＝1，…，n.

第二步：用M1x，…，Mnx組合出x.我們要求出x，希望能找到M′1，…，M′n，使得

這等價于1＝M′1M1＋…＋M′nMn，即（M1，…，Mn）＝1.由M1，…，Mn的作法，滿足前述要求.m1，…，mn滿足兩兩互素的條件，就是為了保證（M1，…，Mn）＝1.因此M′1，…，M′n是存在的.

第三步：同時找出M′1，…，M′n.作整數(shù)矩陣如下

這里整數(shù)矩陣的列初等變換有三種情形：（i）交換兩列的位置；（ii）用－1乘某一列；（iii）把某一列的整數(shù)倍加到另一列.于是有

第四步：給出解的表達式.我們有

第五步：證明解modM的唯一性.若y也是同余方程組的解，則

［1］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京：北京大學出版社，1992：164－174.

［2］華羅庚.數(shù)論導引［M］.北京：科學出版社，1957：32－34.

New Method to Teach Sun Zi’theorem

LIWei
（School of Economic Mathematics，Southwestern University of Finance and Economics，Chengdu 610074，China）

We give a new method to teach Sun Zi’theorem.

Sun zi’Theorem；teaching method

O156.1

C

1672－1454（2012）04－0144－03

2009－10－16；［修改日期］2010－10－25