論泰勒中值定理“中間點(diǎn)”的性質(zhì)

時(shí)統(tǒng)業(yè)， 謝 井， 李 鼎

（海軍指揮學(xué)院浦口分院，江蘇南京 211800）

論泰勒中值定理“中間點(diǎn)”的性質(zhì)

時(shí)統(tǒng)業(yè)， 謝 井， 李 鼎

（海軍指揮學(xué)院浦口分院，江蘇南京 211800）

研究泰勒中值定理“中間點(diǎn)”的單調(diào)性、連續(xù)性及可導(dǎo)性.

泰勒中值定理；中間點(diǎn)；單調(diào)；連續(xù)；導(dǎo)數(shù)

1 前 言

文［1］研究了拉格朗日中值定理“中間點(diǎn)”ξ的單調(diào)性、連續(xù)性及可導(dǎo)性問題.本文利用文［1］的方法，研究泰勒中值定理“中間點(diǎn)”ξ的單調(diào)性、連續(xù)性及可導(dǎo)性問題，推廣了文［1］的部分結(jié)果.

2 引 理

引理1（拉格朗日中值定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)任意x∈（a，b］，至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，x），使

引理2（泰勒中值定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x∈（a，b］，至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，x），使

定義1對(duì)于在［a，b］上有直到k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)h（x），記關(guān)于x的一元函數(shù)（k僅看作參數(shù)）

由（2）式得

n

引理3對(duì)任意正整數(shù)k，有

引理4設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋1階導(dǎo)數(shù)，記

證 （i）l＝0時(shí)，由定義，（i）顯然成立.假設(shè)對(duì)某個(gè)自然數(shù)l＝m：0≤m≤n－2，有

對(duì)上式關(guān)于x求導(dǎo)并利用引理3，得

（ii）由定義1和結(jié)論（i）容易得證.

引理5［1］設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，那么

（i）滿足（1）式的ξ是x的單值函數(shù)，記為ξ＝ξ（x）；

（ii）滿足（1）式的點(diǎn)ξ＝ξ（x）是x的單調(diào)增加的函數(shù).

引理6［1］設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)，且二階導(dǎo)數(shù)在（a，b）內(nèi)保號(hào)（恒正或恒負(fù)），則

（i）滿足（1）式的點(diǎn)ξ＝ξ（x）是x的連續(xù)函數(shù)；

（ii）滿足（1）式的點(diǎn)ξ＝ξ（x）是x的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為

3 結(jié) 論

定理1設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋1階導(dǎo)數(shù)，且f（n＋1）（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，則

（i）滿足（2）式的點(diǎn)ξ是x的單值函數(shù)，記為ξ＝ξ（x）；

（ii）滿足（2）式的點(diǎn)ξ是x單調(diào)增加的函數(shù).

證 結(jié)論（i）可由f（n＋1）（x）的單調(diào)性立得.下面證明結(jié)論（ii）.當(dāng)n＝0時(shí)，由引理5知結(jié)論成立.當(dāng)n≥1時(shí)，不妨假設(shè)f（n＋1）（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，f（n＋1）（x）嚴(yán)格單調(diào)減少時(shí)類似可證.設(shè)

如果證得g（x）單調(diào)增加，則對(duì)于任意x1，x2∈（a，b］，就有g(shù)（x1）＜g（x2），由（3）式即有f（n＋1）（ξ（x1））＜f（n＋1）（ξ（x2））.由于f（n＋1）（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，故ξ（x1）＜ξ（x2）.

為了證明g（x）單調(diào)增加，只要證明g′（x）＞0.

其中σ∈（a，x），從而g′（x）＞0，結(jié)論（ii）得證.

定理2設(shè)函數(shù)f（x）在［a，b］上有直到n＋2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（n＋2）（x）在（a，b）內(nèi)不變號(hào)，函數(shù)ξ＝ξ（x）滿足（2）式，則

［1］劉龍章，戴立輝，楊志輝.再論微分中值定理“中間點(diǎn)”的性質(zhì)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（4）：163－165.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）［M］.4版.北京：高等教育出版社，1996：173－174.

［3］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法［M］.北京：高等教育出版社，2007：229－230.

Disscussion of the Properties of the Intermediate Point in Taylor Mean－Value Theorem

SHITong－ye，XIEJing，LIDing
（Pukou Institute of Naval Command College，Nanjing 211800，China）

We give properties of the intermediate point in Taylor mean－value theorem，such as monotony，continuous，derivative.

Taylor mean－value theorem；intermediate point；monotony；continuous；derivative

O172.1

C

1672－1454（2012）04－0120－04

2010－09－03