初探數(shù)學(xué)教學(xué)中的類比思想

湯裕斌

摘 要：類比是一種或然性極大的邏輯思維方式，它的創(chuàng)造性表現(xiàn)在發(fā)明創(chuàng)造活動(dòng)中人們能夠通過(guò)類比已有事物開(kāi)啟創(chuàng)造未知事物的發(fā)明思路，其中隱含有觸類旁通的涵義。它把己有的事和物與一些表面看來(lái)與之毫不相于的事和物聯(lián)系起來(lái)，尋找創(chuàng)新的目標(biāo)和解決的方法。利用類比教學(xué)能起到事半功倍的作用。

關(guān)鍵詞：類比 教學(xué) 數(shù)學(xué)

“類比”是一種探究式思維方法，是根據(jù)不同事物在某些特性上的相似，推理出它們?cè)诹硪恍┨匦陨弦部赡芟嗨频乃季S形式。

“類比”方法是解決陌生問(wèn)題的一種常用策略。它讓我們充分開(kāi)拓自己的思路，運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)將陌生的、不熟悉的問(wèn)題與已經(jīng)解決了的熟悉的問(wèn)題或其他相似事物進(jìn)行類比，從而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

一、在類比中形成概念

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，任何概念雖然都是相對(duì)獨(dú)立的，但其間也有一定的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。在概念教學(xué)中，學(xué)生常常把握不住概念的內(nèi)涵和外延，不能把握其本質(zhì)屬性，對(duì)概念的理解不深刻，運(yùn)用不準(zhǔn)確。因此，在概念教學(xué)中，教師要運(yùn)用各種有效的方法策略，幫助學(xué)生理清概念間的關(guān)系或聯(lián)系。

【案例】一元一次方程與一元一次不等式的定義

兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是一次，這樣的方程叫做一元一次方程。

不等號(hào)的兩邊都是整式，而且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

三個(gè)特點(diǎn)是它們的共性，只要把等號(hào)換成不等號(hào)就變成了不等式，同樣把不等號(hào)變成等號(hào)就變成了方程。在后繼一元一次不等式的解法與應(yīng)用上起到引領(lǐng)的作用。

從以上事例可看出，教學(xué)中如果把相關(guān)的概念放在一起，加以類比，全面的分析概念的本質(zhì)、內(nèi)涵和外延，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的建立。

二、在類比中建構(gòu)知識(shí)框架

相關(guān)知識(shí)的對(duì)比，這就將新知識(shí)納入了學(xué)生已有的知識(shí)體系中，既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，又建構(gòu)了新知識(shí)。

【案例】有理數(shù)與實(shí)數(shù)的分類

給有理數(shù)分類時(shí)，如果按“符號(hào)”來(lái)分，可分為正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)；如果按“結(jié)構(gòu)”來(lái)分，可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

講解實(shí)數(shù)的分類時(shí)，通過(guò)類比有理數(shù)的分類，學(xué)生自然也會(huì)按“符號(hào)”或“結(jié)構(gòu)”給實(shí)數(shù)進(jìn)行分類。與此同時(shí)，對(duì)數(shù)的分類又有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。

三、在類比中深化理解

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有很多知識(shí)間存在著某些相似或相同點(diǎn)。教學(xué)中實(shí)時(shí)地運(yùn)用類比，通過(guò)類比對(duì)象與學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的某些共性、差異和特殊性的比較，啟迪學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生弄清知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使知識(shí)系統(tǒng)化，深化理解所學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義建構(gòu)。

【案例】全等三角形與相似三角形的判定

全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。要判定兩個(gè)全等三角形都需要三個(gè)條件。

要判定兩個(gè)三角形相似呢？有三個(gè)條件的，也有兩個(gè)條件的，更有一個(gè)條件的。

當(dāng)兩個(gè)三角形全等時(shí)，則這兩個(gè)三角形相似，相似比為1；當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)且相似比為1時(shí)，則兩個(gè)三角形全等。

四、在類比中解決問(wèn)題

問(wèn)題解決是以已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，如果沒(méi)有相關(guān)的先前知識(shí)，問(wèn)題解決則無(wú)法進(jìn)行。即使所謂的“新問(wèn)題”，也能在貯存的知識(shí)系統(tǒng)中或多或少的存在某些“原型”，關(guān)鍵是能否從已有的知識(shí)儲(chǔ)備中順利提取到相關(guān)的信息。類比能將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中相似的問(wèn)題原型，通過(guò)比較在兩者之間建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效“遷移”，把當(dāng)前的情景轉(zhuǎn)換為熟悉的、簡(jiǎn)單的、清晰的情景，從而使問(wèn)題得到解決。

【案例】圖形的平移，軸對(duì)稱及旋轉(zhuǎn)

圖形的平移，軸對(duì)稱及旋轉(zhuǎn)，這三者之間并沒(méi)有存在內(nèi)在聯(lián)系，但在作圖方面存在著這樣一種“原型”——畫線段轉(zhuǎn)化成畫兩個(gè)端點(diǎn)，畫三角形轉(zhuǎn)化成畫三個(gè)端點(diǎn)……以此類推。

圖形的旋轉(zhuǎn)是較難的，但通過(guò)類比其它幾種圖形變換的畫法，也將變得輕松很多。

五、在類比中培養(yǎng)能力

教學(xué)中運(yùn)用類比使學(xué)生能體會(huì)到知識(shí)之間的聯(lián)系，在先前知識(shí)的“引領(lǐng)”下，起到舉一反三、觸類旁通的效果，能夠系統(tǒng)地掌握學(xué)科概念，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析、比較的能力，最終達(dá)到發(fā)展智力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

【案例】弧長(zhǎng)與扇形的面積公式推導(dǎo)

當(dāng)老師在介紹完扇形的定義后問(wèn)道：同學(xué)們還記得扇形的弧長(zhǎng)是怎么求的嗎？

學(xué)生1： 。

老師：大家還記得當(dāng)時(shí)我們是怎么研究弧長(zhǎng)的求法的嗎？

學(xué)生們面露難色，無(wú)法對(duì)答。

隨后老師回顧了研究弧長(zhǎng)的過(guò)程：從180°，90°，45°，一直到1°。再?gòu)?°到2°，直到n°。

老師問(wèn)道：在數(shù)學(xué)中，我們稱這一研究的過(guò)程叫做什么，同學(xué)們還記得嗎？

學(xué)生2：從特殊到一般。

老師：是的。利用特殊到一般的數(shù)學(xué)思路，結(jié)合枚舉尋找數(shù)學(xué)規(guī)律。我們便發(fā)現(xiàn)了弧長(zhǎng)的求法。弧是圓的一部分，而扇形是圓面的一部分。同學(xué)們能不能借助這些數(shù)學(xué)思想及方法，獨(dú)自發(fā)現(xiàn)扇形的面積公式呢？

沒(méi)有多久，確實(shí)有不少學(xué)生依靠獨(dú)自研究獲得了扇形的面積公式。教師通過(guò)不斷巡視，發(fā)現(xiàn)遇到具體困難的學(xué)生，并提供針對(duì)性的輔導(dǎo)。

這一策略更多的體現(xiàn)在知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程中，體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生的思維和科學(xué)精神的捕捉及啟發(fā)上。

數(shù)學(xué)家G·波利亞說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人?！痹跀?shù)學(xué)的教學(xué)與研究中，類比是進(jìn)行合情推理的一種非常重要的思維方法。它是大自然中各種事物之間的一種相似：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)中某些對(duì)象間的關(guān)系存在一致性或者某些對(duì)象間存在同構(gòu)關(guān)系，或者一對(duì)多的同態(tài)關(guān)系時(shí)，我們便可對(duì)這兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)進(jìn)行類比，從而可以從一個(gè)對(duì)象系統(tǒng)得到的某些結(jié)果去猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)另一系統(tǒng)的相應(yīng)的新結(jié)果；在我們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程中則可以利用一個(gè)較簡(jiǎn)單的類比問(wèn)題的解答方法或結(jié)果，去找到原問(wèn)題的解決方法。在我們平時(shí)的學(xué)習(xí)與生活中處處充滿著類比，可以說(shuō)，類比是探索問(wèn)題、解決問(wèn)題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種卓有成效的思維方法。

在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開(kāi)拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造數(shù)學(xué)新分支的重要途徑。學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中應(yīng)該學(xué)會(huì)運(yùn)用這種獨(dú)特的思維方法，教師在教學(xué)過(guò)程中則應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比方法進(jìn)行合情推理的能力。

參考文獻(xiàn)

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