明確教學(xué)內(nèi)容定位凸顯數(shù)學(xué)思想方法

周柯全

【摘要】《平行四邊形的面積》可以說是各類公開課、示范課的“常客”，對于這一內(nèi)容的設(shè)計方案和思考研究也常見于各種教學(xué)類雜志。在較為充分地學(xué)習(xí)和研讀這些經(jīng)驗之后筆者意識到：從特定角度而言，對教學(xué)內(nèi)容的理解和定位不同，是造成設(shè)計思路及課堂形式上各種差別的主要原因。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)內(nèi)容 定位 凸顯 數(shù)學(xué)思想

《平行四邊形的面積》可以說是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中極具代表性的內(nèi)容之一，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計之前如何找準(zhǔn)并確立對本課內(nèi)容的精準(zhǔn)定位，進(jìn)而以此為基礎(chǔ)組織開展課堂教學(xué)呢？帶著這樣的問題，筆者進(jìn)行了以下探索與實踐。

一、設(shè)計思考——定位于“生長過渡”

從下圖可以看出，在關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形面積的知識體系中，《平行四邊形的面積》處在承上啟下的重要環(huán)節(jié)，這種過渡作用主要體現(xiàn)在兩個方面：

首先，這種過渡作用現(xiàn)在對“轉(zhuǎn)化”這種思想方法的理解。學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形的面積時，通過數(shù)格子的方法得出計算公式，而事實上，這個推導(dǎo)過程也可以看做是通過轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行的，即把長方形面積轉(zhuǎn)化成一定數(shù)量的面積單位來表示。這是一種直觀表示方法上的轉(zhuǎn)換，符合三年級年齡段學(xué)生的認(rèn)知特點。而對于五年級學(xué)生的認(rèn)知水平，他們已經(jīng)具備一定的轉(zhuǎn)化意識，掌握了一些基本的方法，因此，開展《平行四邊形的面積》教學(xué)的首要任務(wù)是喚醒學(xué)生已有知識基礎(chǔ)和初始經(jīng)驗。

具體到平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的方法，這種轉(zhuǎn)化表現(xiàn)出“形狀改變而面積不變”的特點，既可以看做是在已有基礎(chǔ)上實現(xiàn)的“生長”，也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)思想方法的提升和發(fā)展，這種方法的提升如果能很好的作用于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，對后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、梯形（兩個完全相同的三角形、梯形拼成平行四邊形的一般方法），乃至圓形的面積（剪拼成平行四邊形）計算公式都有著極為重要的作用。

其次，這種過渡作用還體現(xiàn)在面積計算公式間的關(guān)系上。下圖可以直觀地解讀為由長方形面積計算公式推導(dǎo)出了平行四邊形的面積計算公式，再由平行四邊形面積計算公式分別推導(dǎo)出三角形、梯形的面積計算公式。

從中不難發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的面積是引入平面圖形中的“高”進(jìn)行計算的，而長方形面積計算的“長×寬”過渡到平行四邊形面積計算中的“底×高”，這是實現(xiàn)圖形之間面積轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵點，也是課堂中需要特別重視的教學(xué)環(huán)節(jié)。在此，不得不提到很多設(shè)計和實施中出現(xiàn)的用“鄰邊相乘”的方法進(jìn)行“試誤”的過程處理。從知識源頭分析，這是由平行四邊形容易變形的特性造成的，也可以認(rèn)為是一種“周長不變而面積改變”的轉(zhuǎn)化，這種面積的變化正是因為“高”的改變而引起的。筆者結(jié)合個人的教學(xué)實際認(rèn)為，在四年級上冊《平行四邊形的認(rèn)識》中，在學(xué)生建立平行四邊形“高”的概念以及之后進(jìn)行的關(guān)于特性的教學(xué)中，就應(yīng)該使學(xué)生充分理解“平行四邊形的大小（面積）會隨著高的改變而改變”這一知識要點。這樣，在本課教學(xué)中，就能完全遵照教育心理學(xué)所倡導(dǎo)的從“正面強(qiáng)化”入手，以正確的轉(zhuǎn)化方式系統(tǒng)地完成對新知的建構(gòu)。

基于以上的思考，《平行四邊形面積》一課的設(shè)計思路應(yīng)明確地定位于“概念的生長”和“方法的過渡”，并以此為指導(dǎo)進(jìn)行教學(xué)實踐。

二、教學(xué)實施——貫穿以“轉(zhuǎn)化思想”

（一）課前導(dǎo)學(xué)，復(fù)習(xí)舊知

師：你還記得平行四邊形的哪些知識？同桌之間互相交流一下。

根據(jù)學(xué)生回答，課件出示：

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

從平行四邊形一條邊上的一點到對邊作一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。

師：平行四邊形有幾組相對應(yīng)的底和高？

生：兩組。

師：為什么？

生：有兩組平行的對邊。在一組對邊上有多少條高？

生：無數(shù)條。

師：平行四邊形具有容易變形的特征，（教具演示）在形狀改變的過程中誰也發(fā)生了改變？

生：高。還有嗎？

生：圖形的大小。

設(shè)計意圖：作為單元內(nèi)容的起始課，導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)起著復(fù)習(xí)舊知、找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知起點的作用，可以結(jié)合單元主題圖開展教學(xué)，或者創(chuàng)設(shè)一定的情境，其中具有針對性的問題設(shè)計，在強(qiáng)化基礎(chǔ)概念理解的同時，為更好地開展新知探索做鋪墊。

（二）課堂導(dǎo)入，初識轉(zhuǎn)化

師：（課件出示第（1）題）比較下面圖中陰影部分面積的大小。每個小方格的面積為1cm2。

生1：相等。因為第一個圖的面積是6格，第二個圖的面積也是6格。

師：追問：也就是說你是用什么方法進(jìn)行比較的？

生1：數(shù)格子。

生2：還可以把第二幅圖中的最右邊的小正方形移到左邊，這樣也是一個長方形。

師：（課件演示方法并引導(dǎo)歸納）也就是說，把這個圖形轉(zhuǎn)化成了長方形。（繼續(xù)出示第（2）題）

現(xiàn)在怎么比較？

生：把第二個圖形右邊的三角形剪下了拼到左邊，這樣可以轉(zhuǎn)化成同樣的長方形，所以它們是相等的。

師：你聽懂他的方法了嗎？是一種什么方法？

生：轉(zhuǎn)化。

師：把什么轉(zhuǎn)化成了什么？

生：把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成了長方形。

設(shè)計意圖：第（1）小題有格子作為輔助，一方面是與長方形面積公式的推導(dǎo)過程建立聯(lián)系，另一方面學(xué)生能夠根據(jù)自己的經(jīng)驗聯(lián)想到“割補(bǔ)平移”的方法，直觀感知轉(zhuǎn)化的方法。第（2）小題脫離了格子圖，使學(xué)生更為清晰地感受到轉(zhuǎn)化方法的作用，為后續(xù)教學(xué)埋下伏筆。

（三）探究新知，運用轉(zhuǎn)化

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知。（課件出示）學(xué)校的大門前有兩個花壇，哪一個面積大？

師：需要解決什么問題？我把兩個草坪搬到了你們的面前。（請學(xué)生拿出長方形和平行四邊形紙片）你覺得那張紙片的面積大？endprint

請你結(jié)合老師為你準(zhǔn)備的學(xué)具（透明方格紙，剪刀）先想一想，可以用怎么的方法驗證你的猜想？然后動手試一試。

2.實踐操作，匯報交流。（師巡視過程中適當(dāng)指導(dǎo)，并提出要求）邊做邊說，把操作的過程先對著自己說一遍。

（學(xué)生操作結(jié)束）以四人小組為單位交流方法，再指名回答（邊演示邊講解）。

生1：用透明的方格紙放在這兩個圖形的上面，發(fā)現(xiàn)長方形占了24格，平行四邊形中的這個部分如果能夠拼到這里，剛好也占了24格，所以他們的面積相等。

師：這位同學(xué)的方法中，其實已經(jīng)把平行四邊形怎么樣了？（轉(zhuǎn)化成了長方形）再通過數(shù)格子的方式得出結(jié)論。如果只采用數(shù)格子的方法能夠得出平行四邊形的面積嗎？（和學(xué)生一起嘗試后追問）為什么這里的不滿一格都可以按半格數(shù)？（引導(dǎo)得出：左邊的每個不滿一格的部分都可以拼到右邊使它們成為完整的一格。）也運用了什么方法？（轉(zhuǎn)化）

生2：用剪刀剪下平行四邊形的中的一個三角形，（師追問：是隨便剪的嗎？）沿著它的高剪。（師繼續(xù)追問：只能沿著高剪嗎？）只能沿著高剪。然后把沿著高剪下的三角形拼到左邊，再和長方形重疊比較出它們的大小是相等的。

師：有多少同學(xué)采用了這樣的方法？通過剪拼的方法，把什么圖形（平行四邊形）轉(zhuǎn)化成了（長方形）。

設(shè)計意圖：從解決實際問題的需求引發(fā)探索的熱情，驗證猜想的環(huán)節(jié)，要求學(xué)生先思考，再選擇教師提供的學(xué)具進(jìn)行操作，采用“思考+實踐”的方式，放手讓學(xué)生去嘗試。教學(xué)過程中通過自己敘述、小組交流、指名學(xué)生回答的方式突出體現(xiàn)對學(xué)生表達(dá)能力的培養(yǎng)，在學(xué)生介紹之后，采用課件輔助的方式，引導(dǎo)學(xué)生由“模糊感覺”逐步走向?qū)Α稗D(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想方法有較為精確的認(rèn)知。

（四）自主建構(gòu)，理解轉(zhuǎn)化

3.引導(dǎo)歸納，建構(gòu)新知。轉(zhuǎn)化以后，圖形的什么沒有發(fā)生改變？（面積）改變的是什么？（形狀）仔細(xì)觀察一下，還有什么也發(fā)生了改變？

生：我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底轉(zhuǎn)化成了長方形中的長，平行四邊形的高轉(zhuǎn)化成了長方形的寬。

師：（結(jié)合回答板書）這個轉(zhuǎn)化過程中，什么變了，什么沒變（只是名稱變了，而長度沒變。）這也正是為什么這兩個圖形的形狀改變，而面積不變的原因。

看著這個板書，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：長方形的面積等于長乘以寬。轉(zhuǎn)化成平行四邊形后，它的面積等于底乘以高。

師：回答得真好，我們一起來說一說，閉上眼睛回顧一下這個過程，教師輕聲引導(dǎo)，你理解轉(zhuǎn)化的方法了嗎？感受到這種知識生長的力量了嗎？

4.破解定勢，發(fā)展思維。老師這里還有幾個問題。（課件逐個出示）

（1）想一想：是不是只有剪成直角三角形和直角梯形，才能轉(zhuǎn)化成長方形？

學(xué)生思考，結(jié)合教師的直觀演示得出：只要沿著平行四邊形的高剪開，都可以轉(zhuǎn)化成長方形，因為平行四邊形一組對邊上有無數(shù)條高，所以有無數(shù)種剪法。

（2）試一試：在平行四邊形的另一組底和高上，能實現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化嗎？

引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行操作，沿著另一組對邊上的高剪下，轉(zhuǎn)化成長方形。

（3）說一說：（結(jié)合板書）在這些轉(zhuǎn)化過程中，平行四邊形的底轉(zhuǎn)化成了長方形的長，高轉(zhuǎn)化成了長方形的寬，這種轉(zhuǎn)化只是名稱改變而長度不變，所以，雖然圖形的形狀發(fā)生了改變，但是面積不變。

設(shè)計意圖：以上一環(huán)節(jié)中的充分表述和理解為基礎(chǔ)，使學(xué)生完整經(jīng)歷對新知自主建構(gòu)的過程。教師通過有針對性的提問，既溝通了知識的內(nèi)在聯(lián)系，又揭示了其中蘊含的本質(zhì)屬性，達(dá)成“知其然，知其所以然”的教學(xué)目的。

為破除認(rèn)知心理學(xué)中不良思維定勢的影響，適時拋出三個問題，通過對前兩個問題的思考和嘗試發(fā)散學(xué)生的思維，再利用“說一說”的環(huán)節(jié)恰到好處的聚攏思維，使學(xué)生獲得了“立得牢固，破得充分，收得徹底”的過程體驗。

（五）課堂練習(xí)，強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化

師：用學(xué)到的轉(zhuǎn)化方法計算這些圖形的面積。

學(xué)生口答，說一說思考的過程：第一個圖形可以轉(zhuǎn)化成長5厘米，寬3厘米的長方形；第二個圖形可以轉(zhuǎn)化成長12分米，寬2.5分米的長方形。（課件分別演示）

師：計算平行四邊形面積需要知道什么條件？（底和高）出示第2題，如何計算這個圖形的面積？

指名回答：1.2×0.8=0.96（平方米）。（為什么這樣算？）這個平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成一個長0.8米，寬1.2米的長方形。（在1.6米的這條底上能不能實現(xiàn)轉(zhuǎn)化？）不能。

小結(jié)：也就是說，在轉(zhuǎn)化的過程中，底和高必須互相對應(yīng)。

（指向板書）利用學(xué)過的知識，你能把平行四邊形的面積計算公式轉(zhuǎn)化成不同的形式嗎？

生：底=平行四邊形的面積÷高，高=平行四邊形的面積÷底。

真厲害，把一個乘法算式轉(zhuǎn)化成了兩個（除法算式），課件出示圖中紅色的高并追問：你能利用轉(zhuǎn)化的結(jié)果計算出這條底上的高是多少嗎？（學(xué)生計算，分析校對）

（課件出示）比一比，在方格紙（學(xué)具）上畫一個底是4厘米，高是3厘米的平行四邊形。（先明確題目的要求，再思考，怎么畫才能又快又多？）學(xué)生嘗試練習(xí)。

展示學(xué)生作品后，課件動態(tài)演示。引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：在方格紙上，可以畫出無數(shù)個這樣的平行四邊形，而這些平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長是4厘米，寬是3厘米的長方形。

（六）全課小結(jié)，突出轉(zhuǎn)化

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識？你理解了怎樣的方法？

（課件出示）：轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思想方法。

【設(shè)計意圖】課堂練習(xí)體現(xiàn)“基礎(chǔ)——變式——拓展”的設(shè)計層次，在兼顧基本知識和技能訓(xùn)練的同時，重點突出對“轉(zhuǎn)化”這一思想方法的理解和鞏固。其中變式練習(xí)中涉及的對公式的轉(zhuǎn)化并以此解決實際問題，以及拓展練習(xí)中“思考+實踐”的探索方法對于學(xué)生思維能力的發(fā)展起著非常重要的促進(jìn)作用。

縱觀以上教學(xué)實施，可以看做是在前期思考，即明確對本課教學(xué)內(nèi)容定位的基礎(chǔ)上實現(xiàn)“生長”的一個過程。小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，以及知識的內(nèi)在聯(lián)系處處表現(xiàn)著這種“生長”的姿勢和形態(tài)，而如何以數(shù)學(xué)的思想方法將之聯(lián)系貫穿，這需要一線教師結(jié)合各方面教學(xué)因素進(jìn)行深入思考與實踐研究。

【參考資料】

[1]中華人民共和國教育部.《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》北京：北京師范大學(xué)出版，2011.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.endprint