解簡單差分方程的方法及其改進

孫建新

(紹興文理學院 數(shù)理信息學院，浙江 紹興 312000)

文獻[1]研究了擬初等函數(shù)，文獻[2]研究了函數(shù)展開為階乘冪級數(shù)的方法.下面可以看到，上述兩種研究成果，可得到差分方程求解的新方法.因為新方法建議在差分方程中將所有的普通冪轉(zhuǎn)換成階乘冪，所以可以稱新方法為“階乘冪方法”.事實上，普通冪轉(zhuǎn)換成階乘冪，又相當于函數(shù)轉(zhuǎn)換成擬初等函數(shù)，所以，新方法也可以稱為“擬初等函數(shù)法”.

1 差分方程的兩種形式

離散函數(shù)有兩種表示方法.一種是函數(shù)法，即表示成自變量為非負整數(shù)的函數(shù)：

另一種是數(shù)列法，即下標法：

xn,yn,zn,n=0,1,2,….

差分方程也有兩種表示形式，一種是僅使用向前(向后)差分算子 Δ()的方程形式，以線性差分方程為例，k階差分方程可以表示為：

Δkxn+p1(n)Δk-1xn+…+

pk-1(n)Δxn+pk(n)xn=q(n);

pk-1(n)xn+pk(n)xn=q(n).

另一種是移位算子E的方程形式：

Ekxn+p1(n)Ek-1xn+…+

pk-1(n)Exn+pk(n)xn=q(n).

記I為恒等算子，則差分算子與移位算子滿足如下關系：

Δ=E-I=E，

=I-E-1=E-1Δ；

E=I+Δ，

E-1=I-.

當系數(shù)pj(n)=aj(j=1,…,k)都與n無關時，就稱其為常系數(shù)的；當q(n)=0時，就稱其為齊次的.對于常系數(shù)的齊次線性差分方程的兩種形式：

Δkxn+a1Δk-1xn+…+

ak-1Δxn+akxn=0;

(1)

Ekxn+b1Ek-1xn+…+

bk-1Exn+bkxn=0.

(2)

它們之間存在較簡單的關系，即有如下定理：

定理1.1 設方程(1)的特征根為λj(j=1,…,k),方程(2)的特征根為μj(j=1,…,k)，則有

μj=λj+1,(j=1,2,…,k) .

證明方程(1)可以改寫成

(Δk+a1Δk-1+…+ak-1Δ+akI)xn=0;

即

Δk+a1Δk-1+…+ak-1Δ+akI=0;

(Δ-λ1I)(Δ-λ2I)…(Δ-λkI)=0，

其中λj(j=1,…,k)為方程(1)的特征根，于是有

……

由Δ=E-I，方程(1)可化為

(E-I-λ1I)(E-I-λ2I)…

(E-I-λkI)=0;

(E-(1+λ1)I)(E-(1+λ2)I)…

(E-(1+λk)I)=0.

(3)

另一方面，由方程(2)可得

(Ek+b1Ek-1+…+bk-1E+bkI)xn=0;

Ek+b1Ek-1+…+bk-1E+bkI=0;

(E-μ1I)(E-μ2I)…(E-μkI)=0，

(4)

μj(j=1,…,k)

為方程(2)的特征根.于是有

……

比較式(3)和式(4)即得，證畢.

2 一階差分方程

2.1 較簡單的一階差分方程

方程xn+1=axn+b，其中a，b為常數(shù).

(ⅰ)當a=1時

xn+1=xn+b.

⑸

則有

可知滿足方程的離散函數(shù)就是等差數(shù)列.

(ⅱ)當a≠1，b=0時

xn+1=axn,

(6)

則有

可知滿足方程的離散函數(shù)就是等比數(shù)列.

(ⅲ)當a≠1，b≠0時

xn+1=axn+b,(a≠1，b≠0).

若記

(7)

x*稱為差分方程的平衡點(或不動點).令

yn=xn-x*,

則有

yn+1=ayn.

(8)

比較式(6)與式(8)，可得

即

綜合以上結(jié)果可得如下定理：

定理2.1 一階差分方程

xn+1=axn+b, (a≠1).

2.2 一般的變系數(shù)一階差分方程

僅考慮兩個特例.

例1)xn+1=an2xn.

該差分方程的通解為

例2)xn+1=axn+bn+c.

定理2.2 一階常系數(shù)非齊次線性差分方程

xn+1=axn+bn+c

的解為

其中

證明若a=1,則遞推可得

xn=xn-1+b(n-1)+c=

xn-2+b(n-2)+b(n-1)+2c=…=

若a≠1,則

xn+1+A(n+1)+B=

axn+(bn+c)+An+A+B=

axn+(A+b)n+(A+B+c).

令

(A+b)n+(A+B+c)=a(An+B),

解得

此與定理2.2結(jié)果等價，命題獲證.

例3)xn+1=3xn+2n+1,求差分方程的解.

解：由a=3,b=2,c=1, 即得A=1,B=1.于是

xn+1+(n+1)+1=3xn+2n+1+(n+2).

xn+1+(n+1)+1=3(xn+n+1).

令yn=xn+n+1.可得yn+1=3yn.則

yn=xn+n+1=3ny0=3n(x0+1),

解得

xn=yn-n-1=3n(x0+1)-n-1.

解：原方程可化為

(n+1)xn+1=2nxn.

令yn=nxn,則有

yn+1=2yn.

于是

yn=2ny0=2n(nx0).

解得

xn=2nx0.

解：原方程可化為

yn+1=2yn.

于是

yn=2n-1y1=2n-1x1.

解得

xn=n2n-1x1,n=1,2,….

3 常系數(shù)齊次線性差分方程的通解

對于常系數(shù)齊次線性差分方程來說，由定理1.1可知，存在差分形式(1)與移位算子形式(2).形式(2)又等價于：

xn+k+b1xn+k-1+…+bk-1xn+1+bkxn=0.

(9)

當q(n)≠0時，下面的方程

xn+k+b1xn+k-1+…+

bk-1xn+1+bkxn=q(n).

(10)

稱為k階常系數(shù)非齊次線性差分方程.式(9)稱為與式(10)對應的齊次方程.

不妨設μ1，μ2，…，μk為方程(9)所對應的特征方程

μk+b1μk-1+…+bk-1μ+bk=0.

(11)

的特征根.下面是關于齊次方程(9)的通解的幾個定理.

定理3.1 當特征根μ1，μ2，…，μk為k個互不相同的實根時，齊次方程(9)的通解為

(12)

證明考慮齊次線性差分方程的E形式(2),不妨設xn=μn, 則

Exn=Eμn=μn+1=μ·μn=μ·xn,

進而有

Ejxn=μj·xn,j=2,3,…,k.

于是方程(2)等價于

μkxn+b1μk-1xn+…+bk-1μxn+bkxn=0.

若xn=0，顯然包括在通解(12)中(只要取c1=c2=…=ck=0)；若xn≠0，則必有特征方程(11)式成立.即齊次線性差分方程(2)的非零解,形如xn=μn(μ≠0).

定理3.2 當特征根μ1，μ2，…，μk為k個相同的實根μ(即為k重實根)時，齊次方程(9)的通解為

xn=c1μn+c2nμn+…+

(13)

其中P

證明首先，由差分恒等式

可知

其中

cmn!0， (n!0=1).

其中S1(m,j)與S2(m,j)分別是第一類與第二類stirling數(shù)[5].于是

ΔkP

特別地，對于P

Δknm=(E-I)knm=

(m

(14)

其次，當μ是差分方程(2)的k重特征根時，有

當m

(E-μI)k(nmxn)=

(m

這就證明了nmxn(m=0,1,…,k-1)都是齊次方程(9)的解, 并且是線性無關的. 由于方程(9)是k階常系數(shù)齊次線性差分方程，滿足可加性，所以這些線性無關解的線性組合便是含k個參數(shù)的通解.(獲證)

定理3.3 齊次方程

xn+2-2axn+1+(a2+b2)xn=0

的通解為

(15)

(16)

證明易知μ1=a+bi，μ2=a-bi 為方程的共軛復根，故齊次方程

xn+2-2axn+1+(a2+b2)xn=0

的通解可寫成

令

則rncos(nθ)與rnsin(nθ)是兩個線性無關的實離散函數(shù)，通解可以表示為兩者的線性組合，即式(15)成立.

另一方面，齊次方程

xn+2-2axn+1+(a2+b2)xn=0

的通解也可寫成

xn=c1(a+bi)n+c2(a-bi)n=

c1an(1+hi)n+c2an(1-hi)n,

由二項公式

利用定義(見式(16))

即得特征值為共軛復根時的通解的等價形式為

值得指出的是，盡管通解有兩種形式，后面將發(fā)現(xiàn)：在確定非齊次差分方程的特解時，使用第二種形式(即擬初等函數(shù)形式)會給計算帶來方便.

例6)求差分方程

xn+2-5xn+1+6xn=0

的通解.

解：對應特征方程為

μ2-5μ+6=0，

解得

μ1=2，

μ2=3≠μ1.

由定理3.1知通解為

例7)求差分方程

xn+2+6xn+1+9xn=0

的通解.

解：對應特征方程為

μ2+6μ+9=0，

解得

μ1=μ2=-3.

由定理3.2知通解為

xn=c1(-3)n+c2n(-3)n=

例8)求差分方程

xn+2-2xn+1+2xn=0

的通解.

解：對應特征方程為

μ2-2μ+2=0，

解得

μ1=1+i，

μ2=1-i.

a=b=1,

由定理3.3知通解為

即

例9)求差分方程

Δ4xn+Δ2xn=0

的通解.

解法1：差分算子對應的特征方程為

λ4+λ2=0.

即

λ2(λ2+1)=0.

解得

λ1=λ2=0，

λ3=i,

λ4=-i.

于是方程的通解為

xn=(c1+c2n)(1+0)n+

A3(1+i)n+A4(1-i)n=

解法2：差分方程Δ4xn+Δ2xn=0可以分兩種情況：

或者 Δ2xn=0，此時更有 Δ4xn=0.可見 Δ2xn=0的解都是原方程的解.利用差分的逆運算“和分”[4]可得

xn=Δ-2(0)=P<2(n)=c1+c2n.

或者Δ2xn≠0，此時必有Δ2xn+xn=0. 可見Δ2xn=-xn的解也是原方程的解.考慮到擬初等函數(shù)滿足[1]

Δ2cos!(n)=-cos!(n),

Δ2sin!(n)=- sin!(n),

可知cos!(n)與 sin!(n)是方程Δ2xn=-xn的兩個線性無關解.于是方程Δ2xn=-xn的通解為

最后得到原方程的通解為

xn=c1+c2n+c3cos!(n)+c4sin!(n)=

其中

(17)

[1]孫建新.擬初等函數(shù)的差分性質(zhì)及其應用[J].紹興文理學院學報,2015,35(9):31-36.

[2]孫建新.函數(shù)展開為階乘冪級數(shù)的方法[J].紹興文理學院學報,2016,36(7):29-34.

[3]孫建新,胡金杰.階乘冪的差分算子及其逆[J].紹興文理學院學報,2005,25(7):22-25.

[4]孫建新.階乘冪多項式及其基本恒等式[J].紹興文理學院學報,2004,24(7):34-37.

[5]孫建新.stirling數(shù)的一個計算公式[J].紹興師專學報,1986(2):46-51.