吳紅英, 朱 萱, 楊 令
2015年6月,一條“長(zhǎng)沙股民4倍配資、全倉(cāng)中車(chē),兩天賠光跳樓”的消息,讓股民無(wú)法平靜,擁有天使和魔鬼雙重血統(tǒng)的場(chǎng)外配資要了他的命.從技術(shù)層面來(lái)說(shuō),投資失敗導(dǎo)致跳樓的關(guān)鍵原因是對(duì)配資炒股這種高回報(bào)、高風(fēng)險(xiǎn)投資行為缺乏正確的評(píng)估和風(fēng)險(xiǎn)管理技能.炒股的目的一般有風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖、套利機(jī)會(huì)和投機(jī),顯然跳樓投資人是典型的投機(jī)者,風(fēng)險(xiǎn)管理尤為重要.精確的風(fēng)險(xiǎn)管理需要較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具和較高的計(jì)算手段.
設(shè)r,σ,δ分別為股票價(jià)格的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、市場(chǎng)波動(dòng)率和分紅強(qiáng)度,則股票價(jià)格St服從隨機(jī)微分方程(SDE)
其中Wt為標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng).假定股民自己出資q,再?gòu)呐滟Y公司借貸kq買(mǎi)入一支股票,其股價(jià)正好為S=(1+k)q,此時(shí)配資率(杠桿率)為1∶k.股民與配資公司訂立4項(xiàng)合同條款:(1)借貸利率為γ,合同到期日為T(mén),當(dāng)前日期記為0.(2)如果在[0,T]時(shí)間內(nèi),股票價(jià)格降至kqeγt,股票自動(dòng)平倉(cāng),股民資金全部虧損,配資公司收回本金與利息kqeγt.(3)如果在[0,T]時(shí)間內(nèi),股票價(jià)格升至μq,股票自動(dòng)平倉(cāng),配資公司收回本金與利息kqeγt,股民資金收益為 μq-kqeγt-q=(μ-1)q-kqeγt.這里總是假定 μq>kqeγt+q,設(shè)定 μ 的初衷是防范估計(jì)被高估的風(fēng)險(xiǎn),當(dāng)股價(jià)高到一定程度時(shí)及時(shí)退市.(4)在到期日,配資公司收回本金與利息kqeγt,股民收入為ST-kqeγt.
杠桿炒股具有股票借貸的某些特征[1,2],也具有期權(quán)的一些基本要素[3-6],本文采用隨機(jī)分析和Black-Scholes-Merton偏微分方程來(lái)建模,同時(shí)設(shè)計(jì)有限差分格式求解,同時(shí)給出數(shù)值算例進(jìn)行必要的討論.
首先考慮收益狀況.股民在到期日的收益支付可以看作股票看漲期權(quán)收益,即 h(T,ST)=(ST-kqeγt-q)+,(·)+表示取正部函數(shù),而股民在任意t時(shí)刻的貼現(xiàn)收益期望為
在 Black-Scholes-Merton 分析框架上(見(jiàn)文獻(xiàn)[3,4]),股民收益期望 V(t,St=S)滿(mǎn)足偏微分方程(PDE)
這里S為啞變量,不再是時(shí)間的函數(shù).同時(shí)加上終端條件
考慮到合同條款(2)(3),我們必須加上邊界條件
PDEs(3)(4)(5)和(6)構(gòu)成所謂的歐式看漲障礙期權(quán).
再來(lái)討論風(fēng)險(xiǎn)度量.股民在到期日的風(fēng)險(xiǎn)支付可以看作股票看跌期權(quán)收益,即h~(T,ST)=(q+kqeγt-ST)+,而股民在任意t時(shí)刻的貼現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)期望為
與收益分析類(lèi)似,股票風(fēng)險(xiǎn)期望V(t,St=S)滿(mǎn)足PDE
和終端條件
考慮到合同條款(2)(3),我們同樣加上邊界條件
PDEs(8)(9)(10)和(11)構(gòu)成所謂的歐式看跌障礙期權(quán).
已知零時(shí)刻股票價(jià)格S0并給定配資率k,股民投入資金數(shù)量,此時(shí)股民收益率R、風(fēng)險(xiǎn)率R和風(fēng)險(xiǎn)收益比λ可分別定義為
R,R和λ都是無(wú)量綱的,R表示單位投入的收益,R表示單位投入的風(fēng)險(xiǎn),λ則表示單位收益所面臨的風(fēng)險(xiǎn)大小.R,R和λ對(duì)配資率k較為敏感,同時(shí)與借貸利率γ有關(guān),應(yīng)該是股民最為關(guān)注的數(shù)量指標(biāo).
計(jì)算收益期望的PDE(3)-(6)可用有限差分方法來(lái)求解.定義固定時(shí)間網(wǎng)格
和移動(dòng)空間網(wǎng)格
運(yùn)用中心差分的隱式格式離散PDE(3)得到
其中 Vi,j為 Vi,j在時(shí)間層 Vi-1上的插值函數(shù).對(duì)離散系統(tǒng)(13)進(jìn)行整理,依次關(guān)于時(shí)間節(jié)點(diǎn) i=M,M-1,…,1 有
其中
加上終端條件和邊界條件
線性方程組(14)可按時(shí)間反向演化求解.同理計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)期望的PDE(8)-(11)也可用有限差分方法來(lái)求解,方法類(lèi)似,這里不再贅述.
表1 不同配資率對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的影響
取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05(年利率),股價(jià)波動(dòng)率σ=0.5,初始股價(jià)S0=10(元),借貸利率γ=0.07,到期時(shí)間T=1(年),其它參數(shù)為q=S0/(1+k),μ=6,M=1000,N=1000.
表1列出了有限差分方法的部分計(jì)算結(jié)果.從表中看到,隨著配資率k的增加,單位資本的收益(R)先增后降;在較低配資水平下確實(shí)能增加股民期望收益,這正是股民涉足場(chǎng)外配資炒股的動(dòng)力所在;但在較高配資水平下,由于面臨高額借貸利息,股民期望收益必然受損.同時(shí)我們也看到,隨著配資率k的增加,單位資本的風(fēng)險(xiǎn)(R)先增后降;高配資高風(fēng)險(xiǎn)不難理解;配資水平達(dá)到一定程度以后,股民投入很少,風(fēng)險(xiǎn)自然會(huì)減低,其余風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)嫁給配資公司.單位收益所面臨的風(fēng)險(xiǎn)λ總是在提高,這說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)增長(zhǎng)速度快于收益增長(zhǎng)速度.另外從表中我們也能看到高收益高風(fēng)險(xiǎn)的投資特征.
從以上分析看出,本文提出的股票配資模型基本體現(xiàn)了借貸炒股的主要特征,實(shí)際數(shù)值計(jì)算結(jié)果能夠給出股民最為關(guān)心的數(shù)量指標(biāo),具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值.
[1]X.P.Lu and E.R.M.Putri.Semi-analytic valuation of stock loans with finite maturity[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2015,27:206-215.
[2]X.P.Lu and E.R.M.Putri.Fintiematurity margin call stock loans[J].Operations Research Letters,2016,44:12-18.
[3]S.E.Shreve.Stochastic Calculus for Finance I:the Binomial Asset Pricing Model[M].New York:Springer,2003.
[4]S.E.Shreve.Stochastic calculusfor finance II:Continuous-Timemodels[M].Springer Press,2004.
[5]Z.Zhou and X.Gao.Numerical Methodsfor Pricing American Optionswith Time Fractional PDEModels[J].Mathematical Problemsin Engineering,2016:ID 5614950(8 pages).
[6]Z.Zhou and J.Ma.Lattice Boltzmann methodsfor solving PDEsof exotic option pricing[J].Front.Math.China,2016,11:237-254.