《導數(shù)的概念》教學設計與反思

黃志橋

[摘 要]以《導數(shù)的概念》一課為例，著重從問題導學五環(huán)節(jié)設計教學，強化設計理念以及檢驗課堂教學是否達到設計理念.

[關鍵詞]導數(shù)的概念；教學設計；問題導學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0027-02

【教學內容】數(shù)學選修2-2第一章第1.1節(jié)第1.1.2小節(jié)《導數(shù)的概念》.

【教學流程】（新課引入）數(shù)學史→導數(shù)的概念（課題）→高臺跳水視頻→（概念形成）瞬時速度→用平均速度表示瞬時速度（數(shù)形結合）→求出 t = 2s時的瞬時速度→推廣求出t0的瞬時速度→瞬時變化率→導數(shù)的概念→（概念深化）導數(shù)的概念→（應用探索）例1、例2→（回應引入）求出t=3s時的瞬時變化率→（總結歸納 ） 結束課堂.

【教學設計】

南寧三中黃河清校長曾說過：“實施‘問題導學的一個很重要的原則是‘設立標準，執(zhí)行標準.” 即在課堂教學的幾個主要環(huán)節(jié)中，每個環(huán)節(jié)重點解決什么問題，教師要有標準，如“新課引入”抓關聯(lián)性；“概念形成”抓合理性；“概念深化”抓內涵和外延；“應用探索”抓層次性；“總結歸納”抓知識建構.

圍繞此標準設置問題，教師就有明確的教學思路和創(chuàng)造的空間，同時也能使學生的思考更有針對性.為此，本節(jié)課著重從問題導學的五個環(huán)節(jié)進行教學設計.

1. “新課引入”抓關聯(lián)性

新課引入：“20世紀杰出的數(shù)學家馮諾依曼曾說：‘微積分是近代數(shù)學中最偉大的成就，對它的重要性無論做怎樣的評價都不過分.這節(jié)課我們就來學習微積分最基礎的知識——導數(shù).” 從而引出本節(jié)課的課題——導數(shù)的概念.

通過數(shù)學史的知識滲透，讓學生了解“導數(shù)”的數(shù)學史.接下來，播放“2017年國際泳聯(lián)世錦賽高臺跳水” 視頻，讓學生通過觀看視頻了解高臺跳水項目的兩大特性：“挑戰(zhàn)性”和“冒險性” .

挑戰(zhàn)性：（1）高：跳臺27米；（2）快：整個過程速度越來越快，入水瞬間速度最快；（3）巧：手尖先入水，豎直入水.

冒險性：入水速度非常快，相當于時速70～100公里，所以運動員入水前的速度與安全有非常緊密的聯(lián)系.

為了保證高臺跳水運動項目的安全性，知道運動員在任意時刻的速度是很有必要的.因為上一節(jié)課已經(jīng)知道了用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)是有一定的局限性的.因此，教師可根據(jù)高臺跳水的背景，自然引入瞬時速度.

課堂上，此環(huán)節(jié)基本上能體現(xiàn)教學的設計意圖，在播放高臺跳水視頻的過程中，能把學生都吸引到課堂上來，同時也激起了學生的學習興趣.

2.“概念形成”抓合理性

“平均速度→瞬時速度”：引導學生以已知探究未知，讓學生初步感受“無限”“ 逼近”的思想.

通過數(shù)形結合，在圖像上不斷縮小[t]與[t0]的距離，學生能從中感受到平均速度與瞬時速度的關系，但是此時還是沒有數(shù)的出現(xiàn)，學生雖感到[t=2s]時的瞬時速度就要求出來了，可是還是沒法求出.對此，學生產(chǎn)生焦慮情緒，也激起了探索的欲望.此時，教師可引出著名數(shù)學家華羅庚先生的經(jīng)典詩句：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔家分離萬事休.”以啟發(fā)學生運用數(shù)形結合思想解決問題.同時給予學生充分的思考時間.

“瞬時速度→瞬時變化率”：引導學生感悟數(shù)學研究方法，利用類比思想得出函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的瞬時變化率.

通過前面的學習，我們知道平均速度就是函數(shù)[h（t）]的平均變化率.瞬時速度就是函數(shù)[h（t）]的瞬時變化率.平均速度在[Δt→0]時的極限就是瞬時速度.追問學生：“能否說說，一般情況下，函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率是怎樣的關系？”學生自然而然地得出瞬時變化率.至此，本節(jié)課的教學難點得以突破，剩下的就是如何把瞬時變化率和導數(shù)結合起來.

這里的“瞬時變化率”其實就是我們所要研究的“導數(shù)”.

一般的，函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的瞬時變化率是[limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]，我們稱它為函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的導數(shù)，記作[f ′（x0）]或[y′|x=x0]，即[f ′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

3. “概念深化”抓內涵和外延

“概念深化抓內涵和外延”是本節(jié)課的靈魂，直接影響學生能否以更高階的思維去看問題、想問題.本環(huán)節(jié)內容“導數(shù)”的式子的關鍵理解可運用文字語言、符號語言和圖形語言來進行描述.

教師可以問題“函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的導數(shù)[f ′（x）]由哪些量來構成？”引導學生對[f ′（x）]式子的結構進行思考.

首先我們來看它的結構：這個式子的左邊為[limΔx→0]，右邊為分式[ΔyΔx]（平均變化率），我們一個個來分析每個量所表達的意思.

（1）“l(fā)im”是極限（limit）的縮寫，“[limΔx→0]”是極限符號.

（2）“[x0+Δx]”是[x0]附近的任意一個值.

（3）“[ΔyΔx]”是函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]附近的平均變化率.

（4）“[Δx=（x0+Δx）-x0]”是自變量的增量，是任意的，可正可負，但不能是0；“[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）]”為對應函數(shù)值的增量.

（5）[x=x0]時，[f（x0）]是一個確定的數(shù).

（6）用[f（x0）]表示函數(shù)[y=f（x）]在[x=x0]處的導數(shù)，反映了函數(shù)在[x=x0]處變化的快慢.

通過以上分析，學生基本弄清導數(shù)是什么.在這個基礎上可進一步強化導數(shù)的求解步驟.

第一步，確定[x0]附近的任意一個值，一般用“[x0+Δx]”表示.

第二步，求函數(shù)的增量[Δy=f（x0+Δx）-f（x0）].

第三步，化簡函數(shù)值的增量[Δy]與自變量的增量[Δx]的比值.如：

[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx] .

第四步，在第二步的化簡結果中在[Δx→0]取極限，計算結果.

4.“應用探索”抓層次性

教學例1、例2，其中例1強化學生對導數(shù)在某點處的求解，例2回應本節(jié)課的引入，使學生能夠熟悉導數(shù)的定義，進一步鞏固導數(shù)的計算方法.

5.“總結歸納”抓知識建構

本節(jié)課由于前面四個環(huán)節(jié)用時比較多，故“總結歸納”環(huán)節(jié)這部分的學習時間有限，基本上是蜻蜓點水式地小結，沒能為后續(xù)的學習（導數(shù)的幾何意義）做鋪墊.很是遺憾.在“總結歸納”環(huán)節(jié)理應主抓學生的知識建構.

本節(jié)課的教學還有很多需要改進的地方，后續(xù)還要進一步地研究.

（特約編輯 安 平）