延拓在分析類課程教學(xué)中的認(rèn)識(shí)和體會(huì)

向妮　張俊瑋　陳立　毛井

摘要：介紹了當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)分析類課程的現(xiàn)狀，剖析了分析類課程間的聯(lián)系，指出在日常教學(xué)中存在的漏洞和不足。然后從拓展這一知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，串聯(lián)起整個(gè)分析學(xué)課程。最后就如何在教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)分析類課程間聯(lián)系的理解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣談點(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì)。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué)；分析學(xué)；延拓

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）04-0169-02

一、引言

在分析學(xué)中，數(shù)學(xué)分析是各大高校數(shù)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)計(jì)劃中的必修課程，基本都超過250個(gè)課時(shí)。繼數(shù)學(xué)分析之后分析學(xué)方面還有復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析等；分析類課程中所包含的數(shù)學(xué)思想，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)十分重要。同時(shí)這些分析類課程對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、常微分方程、偏微分方程等其他分支的學(xué)習(xí)起到了重要的支撐作用。因此，分析學(xué)的學(xué)習(xí)在本科階段是極為重要的。但是這類課程不僅歷時(shí)較長(zhǎng)，而且在教學(xué)方法上普遍有些陳舊，創(chuàng)新性不強(qiáng)；同時(shí)現(xiàn)代大學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受能力和理解能力以及學(xué)習(xí)心態(tài)都發(fā)生了重大變化；實(shí)際上在課程的教學(xué)中確實(shí)也需注重對(duì)這樣的探索性學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。因此我們需要調(diào)整教學(xué)方法以適應(yīng)現(xiàn)階段的教學(xué)對(duì)象。

二、現(xiàn)階段分析類課程的設(shè)置

數(shù)學(xué)分析這門重要的基礎(chǔ)課主要針對(duì)剛剛由中學(xué)升入高等院校的數(shù)學(xué)系新生。他們普遍缺乏對(duì)高等數(shù)學(xué)整體框架以及思想精髓的理解。大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解停留在簡(jiǎn)單孤立的知識(shí)點(diǎn)上，許多新生對(duì)于即將面對(duì)的課程心理準(zhǔn)備不足，如果不善加以引導(dǎo)，容易導(dǎo)致學(xué)生無法掌握課堂內(nèi)容，為后續(xù)的學(xué)習(xí)埋下隱患。如果能夠引導(dǎo)學(xué)生自主探索，將分析類課程串聯(lián)起來，探索其中的異同，就能夠達(dá)到事半功倍的效果。

復(fù)變函數(shù)本身極好的性質(zhì)和良好的數(shù)學(xué)思想體系，使得它成為一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵性課程。實(shí)變函數(shù)與泛函分析屬于分析類有難度的進(jìn)階課程，是日后想繼續(xù)從事數(shù)學(xué)研究的同學(xué)必須掌握的重要基礎(chǔ)知識(shí)。此時(shí)我們更要考慮到課程的銜接問題，能否在此時(shí)從整體上把握幾門重要的課程之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且用抽象的思維理解問題的本質(zhì)是關(guān)系到學(xué)生日后能否在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有所突破的關(guān)鍵。

事實(shí)上，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)還是以講授式為主，大部分教師在講授過程中，非常重視對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)的講解、基本定理的證明與基本數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素質(zhì)的訓(xùn)練。但是，在教學(xué)過程中，我們也發(fā)現(xiàn)這樣的教學(xué)有時(shí)會(huì)帶來片面理解這一弊端，許多學(xué)生可以在一些方面做得很好，但仍然缺乏對(duì)整個(gè)分析體系的把握，學(xué)生不能夠站在更高、更宏觀的角度看待整個(gè)分析學(xué)的體系，長(zhǎng)遠(yuǎn)來看不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，更不利于日后的繼續(xù)學(xué)習(xí)深造。

三、延拓的基本定義及其在課程中的體現(xiàn)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中，主張創(chuàng)新性學(xué)習(xí)、自發(fā)性學(xué)習(xí)與探索性學(xué)習(xí)。因此我們?cè)谌粘Ｖv學(xué)過程中，一直在想辦法適應(yīng)學(xué)生的思維變換，尋找既能夠充當(dāng)線索又能夠在學(xué)習(xí)的過程中反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生基本數(shù)學(xué)方法的切入點(diǎn)，通過實(shí)踐與研究，我們發(fā)現(xiàn)延拓的思想是一個(gè)很好的切入點(diǎn)。

簡(jiǎn)單來說，如果函數(shù)的定義域包含了f的定義域，并且在f的定義域內(nèi)滿足F（x）=f（x），則稱函數(shù)F是f的延拓。事實(shí)上，遵照一定的方法，我們可以向更高維的拓?fù)淇臻g定義相應(yīng)的延拓。

在實(shí)際教學(xué)中，很多老師并沒有把延拓當(dāng)做一個(gè)可以串聯(lián)分析類課程的知識(shí)點(diǎn)去講解，很多地方只是一帶而過。但事實(shí)上，延拓幾乎出現(xiàn)在了所有的分析類課程中。例如在華東師大版數(shù)學(xué)分析函數(shù)連續(xù)的課后習(xí)題中，就出現(xiàn)了這樣的函數(shù)[1]：

同時(shí)在許多學(xué)校的本科課程中還加開了泛函分析的內(nèi)容，在泛函分析中，延拓的思想得到了更為廣泛的應(yīng)用。例如著名的Hahn-Banach延拓定理。

定理2[3]：設(shè)V0是線性空間V的線性子空間，并且給定V0上的線性泛函l0滿足對(duì)任意v∈V0都有l(wèi)0（v）≤p（v），其中p是正齊性次可加泛函，即滿足

利用，作為分析類課程間聯(lián)系的紐帶加以剖析。分析學(xué)體系龐大繁雜，如果缺乏實(shí)例的引導(dǎo)和串聯(lián)，學(xué)生很容易對(duì)這些難學(xué)的基礎(chǔ)課程失去興趣。延拓基本可以覆蓋到分析學(xué)的每一個(gè)角落，利用它組織串聯(lián)分析類課程，對(duì)學(xué)生進(jìn)行積極的引導(dǎo)，可以達(dá)到拓展學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的目的，這在現(xiàn)代數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)中是非常重要的。

四、結(jié)論

基于上述事實(shí)，現(xiàn)有的教學(xué)活動(dòng)中，強(qiáng)調(diào)對(duì)各個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)的精確把握，注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算、證明能力的訓(xùn)練，但是不利于學(xué)生從整體上把握整個(gè)分析學(xué)體系。將延拓的思想串聯(lián)在整個(gè)分析類課程體系中加以應(yīng)用，既能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)科整體課程的把握，也能夠利用在延拓問題的研究中所用的基本數(shù)學(xué)方法和思想（如本文給出的幾個(gè)定理的證明，陸續(xù)用到了逼近、分解和變換這幾種分析學(xué)中最基本的思想方法）達(dá)到有效地訓(xùn)練學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。在課堂教學(xué)中，可以以現(xiàn)在較為成熟的授課體系作為授課的主線，以延拓等重要的概念與思想作為學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探索的輔線，對(duì)學(xué)生加以正確的引導(dǎo)，雙管齊下，既可以磨練學(xué)生們的基本功，也能引導(dǎo)學(xué)生探索分析類課程的廣度和深度，加強(qiáng)串聯(lián)，有助于同學(xué)們更好地理解整個(gè)體系，達(dá)到事半功倍的效果。

同時(shí)，在延拓的研究中，滲透了許多深刻的思想方法，例如在復(fù)變函數(shù)中，我們可以利用傅里葉變換及其逆變換得到一個(gè)滿足特定下降條件的函數(shù)積分表達(dá)式，再對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行解析延拓；同時(shí)，我們可以將一般的線性空間分解為低維的子空間，然后利用超限歸納法得到泛函的延拓。這實(shí)際上是一個(gè)具體到抽象再到具體的思維過程，在分析學(xué)循序漸進(jìn)的教學(xué)中，慢慢的將這些數(shù)學(xué)思想滲入學(xué)生的思維體系中，對(duì)學(xué)生日后的深入學(xué)習(xí)極為重要，而很多時(shí)候被我們忽視的延拓可以在這樣的滲透中充當(dāng)一個(gè)關(guān)鍵的紐帶。

因此，在教學(xué)中利用延拓將各類分析課程串聯(lián)起來，讓學(xué)生從整體上把握分析類課程的聯(lián)系；同時(shí)，也可以通過延拓來訓(xùn)練運(yùn)算能力。以點(diǎn)帶面，很好地修正現(xiàn)今教學(xué)中的不足，為分析類課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：80-85.

[2]余家榮.復(fù)變函數(shù)[M].4版.北京：高等教育出版社，2007：20-31.

[3]劉炳初.泛函分析[M].3版.北京：科學(xué)出版社，2015：77-90.

[4]季全寶.淺談高等師范院校數(shù)學(xué)系《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)改革和課程建設(shè)[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2007，（13）：105-105.

[5]李文赫，張彩霞，李陽(yáng).數(shù)學(xué)分析——課程的教學(xué)改革探索與實(shí)踐[J].教育教學(xué)論壇，2012，（13）：23-24.

[6]金玲玉，房少梅，劉文琰.數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28（4）：25-30.endprint