基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)探究活動—以《等腰三角形的性質(zhì)》為例

廣東省中山市石岐啟發(fā)初級中學(xué)(528400) 孔進

史寧中教授指出,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達成目標就是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗：用數(shù)學(xué)的眼光看問題,用數(shù)學(xué)思維思考問題,用數(shù)學(xué)語言表達問題.不論是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)還是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,都需要在“做”的過程和“思考”的過程中積累.有效的數(shù)學(xué)探究活動,是學(xué)生積累數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要途徑.可以說,數(shù)學(xué)探究活動始于基本活動經(jīng)驗的積累,終于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

教材中有較多實驗型探究活動,即需要通過操作實驗、觀察并抽象才能完成的活動.教師應(yīng)該如何準確理解這些探究活動,在課堂教學(xué)中如何組織教學(xué),以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢?下面以人教2011版八年級上冊《等腰三角形的性質(zhì)》為例,談?wù)勛约旱淖龇?

一、教材內(nèi)容呈現(xiàn)

本節(jié)課的內(nèi)容是探索并證明等腰三角形的性質(zhì),在此之前,學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形和軸對稱等知識.在回顧了等腰三角形的概念后,教材設(shè)置了探究活動1：

探究活動1比較簡單,不用耗費太多的時間,學(xué)生先折疊,再剪出三角形.學(xué)生在剪完這個三角形后,教師把這個動手操作活動進行數(shù)學(xué)化處理：這個三角形有什么特點?為什么是等腰三角形?從而回顧等腰三角形的概念,同時在剪三角形的過程中也保留了中間折痕,這是等腰三角形的對稱軸,為第二個探究活動做準備.

探究活動2

這是上一個探究的繼續(xù),也就是“剪后再折”的活動.受剪出等腰三角形過程的啟發(fā),學(xué)生很容易想到它是一個軸對稱圖形,通過找出其中重合的角和線段,利用軸對稱的性質(zhì),很容易引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并概括等腰三角形的兩個性質(zhì)：“等邊對等角”和“三線合一”.然后讓學(xué)生畫一個等腰三角形,剪下來后通過“折”的方式再驗證一次.

二、探究活動設(shè)置意圖

(一)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

“讓學(xué)生體驗到一種自己在親身參與掌握知識的情感,乃是喚起少年特有的對知識的興趣的重要條件.”八年級學(xué)生,好奇心強,思維活躍,討厭枯燥乏味式學(xué)習(xí),喜歡動手操作,在這節(jié)課中,如果能從他們熟悉和喜歡的內(nèi)容、方式出發(fā),從“折疊、剪紙”操作開始,既能回顧這節(jié)課的教學(xué)起點——軸對稱,又為后面的新知識、新方法作出鋪墊,起到激發(fā)興趣、承上啟下的作用.

(二)有利于突破難點

八年級學(xué)生剛接觸到幾何證明,對于添加輔助線經(jīng)驗不足,本節(jié)課的難點就是在證明“等邊對等角”性質(zhì)的過程中,學(xué)生對為什么要添加輔助線,怎么添加輔助性感到茫然,通過這兩個“探究”的鋪墊,學(xué)生再證明時就水到渠成了.此外,由于學(xué)生認知經(jīng)驗不足,對等腰三角形“三線合一”的理解容易出現(xiàn)錯誤,通過這兩個探究活動,可以加深學(xué)生對“三線合一”性質(zhì)的理解.

(三)為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供直接經(jīng)驗

對初中生而言,知識的獲得要以直接經(jīng)驗做基礎(chǔ).如果教師直接將結(jié)論告訴給學(xué)生,學(xué)生不了解這一結(jié)論的來龍去脈,只能機械地記憶和運用,并不能真正的理解,既容易遺忘又不利于后續(xù)相關(guān)幾何知識的學(xué)習(xí).學(xué)生通過親自動手、裁剪,經(jīng)歷了等腰三角形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程,對等腰三角形的性質(zhì)才會有深切的了解和認識,此時的動手實踐活動為學(xué)生提供了深刻而直接的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,另外,通過與老師和同學(xué)們的大量交流,這種經(jīng)驗又得到了進一步的升華.

(四)形成研究幾何圖形問題的基本思路

等腰三角形性質(zhì)的探索是通過軸對稱進行的,教材以這兩個動手實踐活動,發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的性質(zhì),也獲得了添加輔助線證明性質(zhì)的方法.性質(zhì)的證明是把欲證明相等的兩個角或者兩條線段置于兩個全等三角形中,這是證明兩個角相等或者兩條線段相等的基本策略.

三、落實核心素養(yǎng)的途徑

(一)在探究活動中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題的核心素養(yǎng)

什么是數(shù)學(xué)的眼光?數(shù)學(xué)的“看”就是抽象,也就是把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.在探究活動1中,學(xué)生在經(jīng)歷了“折疊”和“剪”動手操作之后,老師引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的數(shù)學(xué)問題：

1.你剪出來的圖形為什么是等腰三角形?

2.和你周圍的同學(xué)交流一下,你們剪出來的等腰三角形大小相同嗎?形狀相同嗎?都具有什么特征?

學(xué)生手中已經(jīng)有數(shù)量合適的模型,在思考老師提出問題、和同伴的分享交流的過程中,學(xué)生有了充分的從感性的具體的材料進入抽象的概念的機會,更加體會了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性就是抽象出某一類對象或事物的共同本質(zhì)特征,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到了發(fā)展.

探究活動2,是把剪出來的等腰三角形進行再次“折疊”,在學(xué)生動手實踐后,老師引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的數(shù)學(xué)問題：

1.把你手中的等腰三角形沿著折痕對折,找出其中重合的線段和角.

2.由這些重合的線段和角,你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形又哪些性質(zhì)?

3.與你周圍的同學(xué)交流一下,你們剪出來的等腰三角形是否都符合上述概括的特征?

受剪出等腰三角形過程的啟發(fā),學(xué)生容易想到它是一個軸對稱圖形,通過找出其中重合的角和線段,利用軸對稱的性質(zhì),很容易引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并概括等腰三角形的兩個性質(zhì)：“等邊對等角”和“三線合一”.也就是說,老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從實驗操作走向理性思考,把這些動手操作活動抽象為數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納出等腰三角形的性質(zhì),從而為新知、新性質(zhì)的概括做出鋪墊,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

(二)在探究活動中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達問題的核心素養(yǎng)

在把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后,接下來需要做的工作就是把數(shù)學(xué)問題符號化,培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的數(shù)學(xué)語言來表述數(shù)學(xué)問題的核心素養(yǎng).

通過學(xué)生的觀察、討論,直觀猜想出等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”后,就需要把這個命題需要進行演繹推理,這時得到的是一個用文字表示出來的命題,老師需要引導(dǎo)學(xué)生用圖形語言和幾何語言來表述這個命題,這時老師可以設(shè)置這樣的問題串引導(dǎo)學(xué)生：

1.這個命題的題設(shè)和結(jié)論是什么?

2.根據(jù)題意畫出圖形;

3.寫出已知和求證.

學(xué)生初學(xué)幾何,對很多專業(yè)術(shù)語并不熟悉.例如,他們想表述“等腰三角形”時,用的數(shù)學(xué)語言常是“等腰△ABC”,老師可以引導(dǎo)他們,用“△ABC中,AB=AC”更合適,因為后一種數(shù)學(xué)語言可以看出等腰三角形的腰,比前一種表示方法更加準確.最后用規(guī)范的幾何語言來表述這個數(shù)學(xué)問題：

已知：如圖 1,△ABC中,AB=AC.

求證：∠B=∠C

這樣證明了等腰三角形的兩個底角相等這個性質(zhì).

圖1

由于等腰三角形的性質(zhì)2：“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”具體高度的概括性,例如如何理解“相互重合”?受折紙活動的啟發(fā),學(xué)生能夠說出：如果AD為等腰三角形的頂角的角平分線,那么這條線也是底邊上的中線和底邊上的高······.學(xué)生對這一性質(zhì)的理解容易出現(xiàn)兩個問題：一是不知道或不會將性質(zhì)2分解為三個命題,二是不能正確理清命題的條件和結(jié)論.老師可以設(shè)置以下活動,幫助學(xué)生圖形語言和幾何語言來表述這個性質(zhì)：

1.把“三線合一”分解為三個命題,

2.描述這三個命題的內(nèi)容,這些命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么?

3.用數(shù)學(xué)語言描述這三個命題：分別畫圖,寫出已知、求證.

已知：如圖2,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC.

求證：AD⊥BC,BD=CD.

已知：如圖 2,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC.求證：AD平分∠BAC,BD=CD.

已知：如圖 2,△ABC中,AB=AC,BD=CD.

求證：AD⊥BC,AD平分∠BAC.

圖2

八年級是規(guī)范學(xué)習(xí)幾何語言、學(xué)習(xí)幾何推理語句的關(guān)鍵時期,過了這一階段,例如到了九年級,再訓(xùn)練幾何推理的規(guī)范表達就會為時過晚.

(三)在探究活動中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題的核心素養(yǎng)

探究活動2中,學(xué)生在實驗操作后的觀察發(fā)現(xiàn)得到是直觀猜想,得出的命題需要走向演繹推理,也就是用數(shù)學(xué)的思維思考問題,數(shù)學(xué)原理的驗證、推廣,這是初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)的重要不同.在這節(jié)課中,學(xué)生將實驗操作中發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進行演繹推理證明,老師可以設(shè)置這樣的活動：

1.結(jié)合所畫的圖形,你認為證明兩個底角相等的思路是什么?

2.如何在一個等腰三角形中構(gòu)造出兩個全等三角形?從“折疊”、“剪紙”的過程中你能獲得什么啟發(fā)?

3.和周圍的同學(xué)交流一下你的證明方法.

最后,和學(xué)生一起通過嚴格的邏輯推論證明等腰三角形的性質(zhì).在證明命題的過程中,讓學(xué)生體會證明方法的多樣性.

當完成等腰三角形的性質(zhì)證明之后,老師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧反思整個過程,也就是用數(shù)學(xué)的方法解決問題的核心素養(yǎng)：動手操作得出概念、觀察實驗得出結(jié)論、演繹推理證明性質(zhì),這就是研究幾何圖形的過程：觀察、實驗、猜想、論證.研究等腰三角形如此,今后研究其他圖形也類似,讓學(xué)生養(yǎng)成反思的好習(xí)慣,豐富研究幾何圖形問題的經(jīng)驗.

在教學(xué)實踐中,以數(shù)學(xué)探究活動為抓手,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)應(yīng)該成為主旋律之一.教師應(yīng)該在深入研究2011版課程標準和教材的基礎(chǔ)上,以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ),精心設(shè)計問題,引導(dǎo)學(xué)生主動進行探究有點,讓學(xué)生在探究過程中體會用數(shù)學(xué)的眼光看問題,用數(shù)學(xué)的語言表達問題,用數(shù)學(xué)思維思考問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).