用余弦定理解“邊邊角”條件下的三角形

北京市順義牛欄山第一中學(xué)(101301) 張傳海 胡亞萍

初中的時候,就知道三角形全等判定中沒有“邊邊角”定理.高中學(xué)習(xí)了正弦、余弦定理后,這種條件下的解三角形問題也隨之出現(xiàn),同學(xué)們可以通過“數(shù)量關(guān)系”對三角形進行新的認知.什么樣條件下的三角形是兩解、是一解、還是無解?這個問題始終讓一些學(xué)生感覺到困惑.教材的課后閱讀中以正弦定理為工具進行了討論,本文以余弦定理為工具來探討“邊邊角”條件下的解三角形問題.

所謂的條件“邊邊角”,準確的說指的是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角這三個元素;解這個三角形,就是求出另外三個元素.

看下面幾個問題:

(1)已知三角形△ABC的兩邊長60°,解這個三角形;

(2)已知三角形△ABC的兩邊長,解這個三角形;

(3)已知三角形△ABC的兩邊長a=1,b=2,A=30°,解這個三角形;

(2)已知三角形△ABC的兩邊長a=1,b=3,A=30°,解這個三角形.

分析問題中的條件,都是“邊邊角”,下面我們以余弦定理為工具,運用方程的思想,設(shè)c的值為x,建立方程然后解方程.

解(1)得方程,所以或,只有一個正根,三角形一個解;下略.

(2)得方程x2?3x+2=0,所以x1=c1=1或x1=c1=2,方程(2)有兩個正根,三角形兩個解;下略.

上面幾個題目,做完之后學(xué)生可以畫圖檢驗.但是,學(xué)生很快就會提出問題:已知三角形△ABC的兩邊長a,b和角A,如何解這個三角形?并進一步探究:此類問題中,解的情況分幾種,分類的標準是什么?如何來認識、把握這類問題,解題中需要注意什么?下面利用余弦定理進行討論.

對于上述問題,利用方程的思想.把邊長c的值設(shè)為x,由余弦定理有a2=x2+b2?2bxcosA,即

我們把三角形解的個數(shù)歸結(jié)成這個一元二次方程“有效根”的個數(shù),所謂的“有效根”,根據(jù)實際意義,就是這個方程正實根的個數(shù),這個方程的判別式

圖1

圖2

圖3

1.當(dāng)Δ＜0,即a＜bsinA時,方程(?)無實根;不論A為銳角、直角或鈍角,三角形無解(如圖1,2,3).

2.當(dāng)Δ=0,即a=bsinA時,方程(?)有兩個相等的根,根為

若A為銳角,x=c=bcosA＞0,是有效根,三角形有一解;若A為直角,x=c=bcosA=0,非有效根,三角形無解;若A為鈍角,x=c=bcosA＜0,非有效根,三角形無解(參考上圖1,2,3).

3.當(dāng)Δ＞0,即a＞bsinA時,方程(?)有兩個不等的實根,兩根之和為2bcosA,兩根之積為b2?a2.

下面按兩根之和、兩根之積的值的情況分成如下幾類:

圖4

圖5

圖6

(1)若b2?a2=0

解方程(?)有x1=c1=0,x2=c2=2bcosA＜0,非有效根;此時A=B,不可能出現(xiàn)兩個鈍角,三角形無解(如圖4);

(2)若b2?a2＜0

方程(?)一正根,一負根,即一個有效根;不論A為銳角、直角或鈍角,三角形有一解(如圖6).

(3)若b2?a2＞0

方程(?)有兩個正根,有兩個有效根;此時A為銳角,三角形有兩解(如圖7);

圖7

圖8

此時方程(?)有兩個負根,無有效根;此時A為鈍角,所以三角形無解(如圖8).

上面就是以余弦定理為工具,運用方程的思想,建立關(guān)于第三邊的值為未知數(shù)的一元二次方程,討論“邊邊角”條件下解的所有情況.問題的結(jié)論非常簡單,那就是這個一元二次方程有幾個有效根即幾個正實根的問題.