2017年高考北京卷理科第20題的深度探究*

廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 冷東輝

高考不僅是選拔人才的考試,對(duì)中學(xué)的教學(xué)也有指導(dǎo)意義,高考試題貫徹新理念,全面考查學(xué)生能力,體現(xiàn)素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想.每年的高考試題中都會(huì)有一些蘊(yùn)涵著豐富內(nèi)容的優(yōu)秀試題,這些試題能在樸實(shí)中重基礎(chǔ),在平和中顯能力.如果我們教師能充分挖掘出試題的命制背景和能力立意,將為高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用.下面擬對(duì)2017年高考北京卷理科第20題進(jìn)行思考和探究,希望能為高三的教學(xué)提供一些幫助.

1.試題與解析

題目1(2017年北京卷理科第20題)已知拋物線C∶y2=2px(p＞0)過點(diǎn)P(1,1),過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程;

(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).

圖1

本題主要考查拋物線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),以及拋物線與直線的位置關(guān)系.考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用解析幾何方法解決幾何問題的能力.

解析(1)將點(diǎn)(1,1)代入y2=2px,得,則拋物線C的方程為y2=x,所以焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為.

(2)如圖1,由題意知直線l斜率存在,且不為零.設(shè)直線l方程為,交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立則,從而

由直線ON方程,得B點(diǎn)坐標(biāo)為,由直線OP方程y=x,得A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,x1),從而

所以點(diǎn)A為線段BM的中點(diǎn).

通過對(duì)題1的解答,筆者發(fā)現(xiàn)若連接y軸上的已知點(diǎn)與點(diǎn)P(1,1),此直線恰好為拋物線的切線,這是一種偶然?還是一種必然?是否有規(guī)律可尋?若將已知點(diǎn)變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)Q(0,t),點(diǎn)P(1,1)變?yōu)镃上對(duì)應(yīng)的切點(diǎn),A為線段BM的中點(diǎn)還成立嗎?筆者在接下來的探究中發(fā)現(xiàn)了一些端倪.

2.特殊到一般的探究

探究1在直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C∶y2=2px(p＞0),過點(diǎn)Q(0,t)(其中t/=0)分別作直線l1,l2,其中直線l1與C相切于點(diǎn)P,l2與C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B.求證:A為線段BM的中點(diǎn).

解析由題意可知直線l1與l2的斜率存在且不為零,設(shè)直線l1方程為y=k1x+t,直線l2方程為y=k2x+t,M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立y=k1x+t和y2=2px,由Δ=0可得點(diǎn)P坐標(biāo)為.聯(lián)立y=k2x+t和y2=2px,得,則

故點(diǎn)A為線段BM的中點(diǎn).

通過對(duì)探究1的證明可知,進(jìn)一步明確點(diǎn)Q、P與拋物線C在位置上特殊對(duì)應(yīng)的關(guān)系.除此之外,我們自然會(huì)想到,如果對(duì)探究1進(jìn)行逆向思考,將條件與結(jié)論互換,命題是否也成立?即A為線段BM的中點(diǎn)作為已知條件,去探究點(diǎn)P為對(duì)應(yīng)切點(diǎn).

3.條件與結(jié)論互逆的探究

探究2在直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C∶y2=2px(p＞0),過點(diǎn)Q(0,t)作直線l與C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線與直線ON交于點(diǎn)B,設(shè)線段BM的中點(diǎn)為A,連接OA并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)P.求證:直線QP為C的切線.

圖2

圖3

解析按照題目順序依次求出點(diǎn)M,N,B,A的坐標(biāo),可得點(diǎn)P坐標(biāo)為.聯(lián)立直線QP與拋物線C方程,驗(yàn)證Δ=0,從而達(dá)到證明直線QP是拋物線切線的目的.求出的點(diǎn)、線結(jié)果與上題完全相同,這里不再贅述.

筆者發(fā)現(xiàn)通過逆向探究出的探究2有較大的實(shí)用價(jià)值,因?yàn)樵撁}描述了從拋物線外一點(diǎn)通過尺規(guī)作圖的方法作拋物線切線的過程.同時(shí)在作圖的過程中還發(fā)現(xiàn),如圖2所示,如果直線l的斜率為正值,則點(diǎn)B在x軸的上方;如圖3所示,如果直線l的斜率為負(fù)值,則點(diǎn)B在x軸的下方;如果直線l的斜率越接近0,則點(diǎn)B越接近x軸.由此,筆者進(jìn)行大膽設(shè)想,極端化直線l,讓直線l的斜率為0,此時(shí)它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),對(duì)應(yīng)的條件該如何變化?是否還有相似的結(jié)論?

4.極限優(yōu)化的探究

探究3在直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C∶y2=2px(p＞0),過點(diǎn)Q(0,t)作x軸的平行線l∶y=t(t/=0)與C交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為B,設(shè)線段BM的中點(diǎn)為A,連接OA并延交拋物線于點(diǎn)P.求證:直線QP為C的切線.

解析如圖4,聯(lián)立y=t與y2=2px,可得點(diǎn),則中點(diǎn),再由直線OA方程,得點(diǎn).然后再聯(lián)立直線PQ與拋物線方程,驗(yàn)證Δ=0,問題得證.

圖4

極限優(yōu)化探究出的探究3使得尺規(guī)作圖得拋物線切線的方法更加簡(jiǎn)潔明了,不僅如此,隨著探究的不斷深入,筆者發(fā)現(xiàn)探究3與2016年全國(guó)新課標(biāo)I卷文科第20題如出一轍.

5.相關(guān)試題鏈接

題目2 (2016年全國(guó)I卷文科第20題)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l∶y=t(t/=0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C∶y2=2px(p＞0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON,并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.

(2)除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)?并說明理由.

圖5

解析本試題題面言簡(jiǎn)意賅,構(gòu)思巧妙,命制的出發(fā)點(diǎn)實(shí)際上是從拋物線外一點(diǎn)通過尺規(guī)作圖的方法作拋物線切線的過程,試題第(1)問是計(jì)算題.直線l是一條水平的動(dòng)直線,通過直線l與y軸以及與拋物線C的交點(diǎn)可確定出,由此確定點(diǎn),求出N,H點(diǎn)的坐標(biāo),解得的值為2.試題第(2)問是一個(gè)說明題,要求說明連接MH的直線就是拋物線的切線,得到的結(jié)論必須給出理由.

6.殊途同歸之效

題1與題2的命制背景都是向我們介紹一種應(yīng)用尺規(guī)作圖作過y軸上一點(diǎn)(0,t)作拋物線y2=2px切線的方法,原本沒有多少聯(lián)系,但通過筆者對(duì)題1的層層探究,將探究3與題2緊密的聯(lián)系到了一起,兩者殊途同歸達(dá)到相同的效果.探究3中是通過點(diǎn)找到切點(diǎn),題2中是通過點(diǎn)找到切點(diǎn);

探究3中A點(diǎn)為|OP|的四等分點(diǎn),題2中N點(diǎn)為|OH|的中點(diǎn).通過對(duì)比(0,t)和切點(diǎn)的坐標(biāo),筆者發(fā)現(xiàn)它們縱坐標(biāo)之間有倍數(shù)關(guān)系,這樣一來,應(yīng)用尺規(guī)過點(diǎn)(0,t)做拋物線y2=2px切線最便捷的方法應(yīng)該是:過點(diǎn)(0,2t)作x軸的平行線與拋物線所得交點(diǎn)即為切點(diǎn).

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中,提高他們的才智與推理能力.”這要求我們教師對(duì)高考試題做深入的分析與研究,教師跳入題海多做題多思考,才能做到融會(huì)貫通、信手拈來,幫助學(xué)生跳出題海.對(duì)高考試題的深度探究,不僅使我們教師清晰地理解命題人的思想、命題背景和考查目的,還可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì),提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).