混聯(lián)機(jī)器人空間插值迭代補(bǔ)償法研究

郭瑞峰，彭戰(zhàn)奎，張文輝

（西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710055）

0 引言

隨著離線編程技術(shù)的應(yīng)用與發(fā)展，在機(jī)器人離線編程技術(shù)實(shí)用化的過程中，誤差補(bǔ)償成了關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。軟件補(bǔ)償法是利用機(jī)器人控制系統(tǒng)改變輸入變量來實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償?shù)姆椒?，該方法成本低，操作性?qiáng)，是目前常用的補(bǔ)償方法。

關(guān)于機(jī)器人軟件補(bǔ)償?shù)膰?guó)內(nèi)外研究比較多。Z. S.Roth[2]等系統(tǒng)地提出了通過標(biāo)定的方法來提高機(jī)器人的精度。蔡鶴皋[3]等運(yùn)用修正的D-H模型推導(dǎo)了RMA-I型機(jī)器人的實(shí)際連桿幾何參數(shù)識(shí)別公式，標(biāo)定后[4～6]機(jī)器人的精度能提高一個(gè)數(shù)量級(jí)。Wang[7]等運(yùn)用視覺測(cè)量系統(tǒng)，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法完成了機(jī)器人非模型誤差補(bǔ)償。周煒[8]等提出了基于機(jī)器人誤差空間網(wǎng)格插值的補(bǔ)償方法?？臻g網(wǎng)格插值補(bǔ)償法[9]是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而被提出的一種新型誤差補(bǔ)償方法，該方法需要占用一定的存儲(chǔ)資源，數(shù)據(jù)量比較大，補(bǔ)償精度與誤差數(shù)據(jù)的密度、準(zhǔn)確度以及插值函數(shù)有關(guān)。

本文參考周煒等提出的空間網(wǎng)格插值補(bǔ)償法，綜合考慮混聯(lián)機(jī)器人靜態(tài)誤差與動(dòng)態(tài)誤差因素對(duì)其定位精度的影響；在空間網(wǎng)格插值補(bǔ)償法的基礎(chǔ)上，提出空間網(wǎng)格插值迭代補(bǔ)償法，通過最大允許誤差控制迭代次數(shù)來得到不同的定位精度；最后通過MATLAB仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 機(jī)器人工作空間分析

新型四自由度混聯(lián)機(jī)器人[10]總體結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。實(shí)際加工要求如下：各連桿加工精度等級(jí)ITi=9，根據(jù)機(jī)器人各連桿理論值結(jié)合公差標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1800.3-1998以及平行度標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1184-1996（其中相鄰關(guān)節(jié)軸線的平行度誤差βi，分別由連桿l4，l5的加工精度確定），得到各連桿名義值和偏差值如表1所示。

考慮到傳統(tǒng)DH[11]模型忽略關(guān)節(jié)軸線的微小偏角對(duì)機(jī)器人定位精度的影響，為了避免機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異性[9]，本文采用5參數(shù)的MDH模型[10,11]建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；然后選取機(jī)器人關(guān)節(jié)變量θ1，θ2以及θ3的所有排列組合值，帶入建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，可以得到機(jī)器人的整個(gè)工作空間，如圖2所示。為便于觀察，圖2中只顯示了θ1∈(0,270°)時(shí)機(jī)器人工作空間。

表1 新型混聯(lián)機(jī)器人連桿名義值和偏差值（單位：mm）

圖1 新型混聯(lián)機(jī)器人總體結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 θ1∈((0°，270°)時(shí)的機(jī)器人工作空間

2 誤差分析

2.1 靜態(tài)誤差分析

由靜態(tài)誤差因素引起的機(jī)器人定位誤差稱為靜態(tài)誤差，靜態(tài)誤差因素主要有各連桿加工誤差和電機(jī)跟隨誤差。各連桿加工誤差如表1所示，三個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的最大跟隨誤差均為0.01°。

無需通過微分計(jì)算，將各定位點(diǎn)實(shí)際位置與理論位置坐標(biāo)Hj0(j=x,y,z)相減，即可得到機(jī)器人定位誤差在j軸方向上的分量ΔPj為：

其中：Hj0（理論位置坐標(biāo)在各軸的分量）為θi和的函數(shù)。

由矢量和定理，機(jī)器人的絕對(duì)靜態(tài)誤差ΔP為：

綜上，將各連桿名義值及偏差值帶入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以得到機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)各定位點(diǎn)的實(shí)際位置P′；然后將各定位點(diǎn)實(shí)際位置與理論位置坐標(biāo)相減即可得到對(duì)應(yīng)工作點(diǎn)各軸方向上的靜態(tài)誤差ΔPj。通過MATLAB編程分別以變量X，Y，Z為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，機(jī)器人的絕對(duì)靜態(tài)誤差ΔP作為第四維顏色坐標(biāo)，繪制得到機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的靜態(tài)誤差云圖如圖3所示。

圖3 θ1∈(0，270°)時(shí)的靜態(tài)誤差云圖

2.2 動(dòng)態(tài)誤差分析

在動(dòng)態(tài)誤差分析時(shí)，為簡(jiǎn)化模型提高分析效率，將具有互換性的末端執(zhí)行器及變形量很小的底座、回轉(zhuǎn)平臺(tái)和支座作為剛體，對(duì)其他連桿進(jìn)行柔性化處理；考慮到機(jī)器人工作空間的對(duì)稱性，只需仿真計(jì)算機(jī)器人在某一個(gè)豎直平面內(nèi)的動(dòng)態(tài)誤差，其他豎直平面內(nèi)的動(dòng)態(tài)誤差可以通過計(jì)算得到。通過LMS Virtual.lab Motion軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)靜力學(xué)仿真分析，可以得到機(jī)器人在o-xz正半平面上各定位點(diǎn)的實(shí)際位置P′。將各定位點(diǎn)實(shí)際位置與理論位置坐標(biāo)相減即可得到對(duì)應(yīng)工作點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)誤差，然后由矢量和定理，得到機(jī)器人的絕對(duì)動(dòng)態(tài)誤差云圖如圖4所示。

從圖4中可以看出，當(dāng)載荷為80kg時(shí)，機(jī)器人在o-xz正半平面上動(dòng)態(tài)誤差的最大值主要集中在兩個(gè)區(qū)域：左上角區(qū)域和右下角區(qū)域。在實(shí)際工作中，可以將這兩個(gè)區(qū)域設(shè)為非工作區(qū)域。

山東省東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)是呂劇的發(fā)祥地，一代又一代藝人不斷致力于呂劇的傳承、弘揚(yáng)。雅俗共賞的呂劇已成為東營(yíng)人田間地頭、堂前屋后、廣場(chǎng)劇場(chǎng)演唱的一門群眾藝術(shù)。在現(xiàn)代多元文化的影響下，隨著一些老藝人相繼去世，40歲以下年輕人群體漸不知呂劇為何物。因此，有必要對(duì)國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)呂劇文化的發(fā)展壯大，對(duì)呂劇在實(shí)施“黃藍(lán)”國(guó)家戰(zhàn)略背景下發(fā)揮其作用，促進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)等進(jìn)行思考和研究探討。

分析機(jī)器人的對(duì)稱結(jié)構(gòu)可知，在豎直方向載荷的作用下，機(jī)器人連桿變形量與的取值無關(guān)。因此只需要根據(jù)機(jī)器人在o-xz正半平面上的動(dòng)態(tài)誤差數(shù)據(jù)，通過數(shù)學(xué)關(guān)系推導(dǎo)，即可得到機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的動(dòng)態(tài)誤差。具體的推導(dǎo)過程如下：

圖4 G=80kg時(shí)，機(jī)器人在o-xz平面內(nèi)的動(dòng)態(tài)誤差云圖

由齊次變換法可知，考慮連桿彈性變形時(shí)，機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的實(shí)際定位點(diǎn)可以表示為：

機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的動(dòng)態(tài)誤差為：

結(jié)合式(4)與式(5)，可得：

在MATLAB中編程計(jì)算得到載荷為80kg時(shí)，機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的動(dòng)態(tài)誤差云圖如圖5所示。

比較圖3與圖5可知，動(dòng)態(tài)誤差因素對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器位置精度的影響程度遠(yuǎn)大于靜態(tài)誤差因素。且負(fù)載這一可變因素對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器所受廣義力造成的影響，明顯的引起了各連桿彈性力的變化。

2.3 誤差綜合

機(jī)器人靜態(tài)誤差是由連桿加工誤差引起，屬于剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差范疇；動(dòng)態(tài)誤差是由連桿彈性變形引起，屬于柔性體靜力學(xué)誤差范疇；兩個(gè)過程相對(duì)獨(dú)立，由誤差獨(dú)立作用原則，靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差可以進(jìn)行線性疊加。由此可得機(jī)器人綜合誤差表達(dá)式為：

圖5 G=80kg時(shí)，機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的動(dòng)態(tài)誤差云圖

由于靜態(tài)誤差分析和動(dòng)態(tài)誤差分析是兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立的過程，因此需要將機(jī)器人靜態(tài)誤差數(shù)據(jù)和動(dòng)態(tài)誤差數(shù)據(jù)分別存儲(chǔ)，分別進(jìn)行插值計(jì)算以獲得整個(gè)工作空間內(nèi)任意點(diǎn)的綜合定位誤差。結(jié)合數(shù)據(jù)庫原理，以數(shù)據(jù)庫形式對(duì)機(jī)器人靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差進(jìn)行存儲(chǔ)。

由于機(jī)器人的實(shí)際工作空間是連續(xù)的，因此還需要對(duì)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算，以得到整個(gè)工作空間內(nèi)連續(xù)點(diǎn)的定位誤差。

3 空間插值迭代補(bǔ)償法

3.1 空間網(wǎng)格插值補(bǔ)償法

空間網(wǎng)格插值補(bǔ)償法以機(jī)器人整個(gè)工作空間內(nèi)離散定位點(diǎn)的點(diǎn)位誤差數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過空間網(wǎng)格插值的方式對(duì)機(jī)器人期望定位點(diǎn)的定位誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)的誤差值逆補(bǔ)償?shù)嚼碚撟鴺?biāo)上，以提高機(jī)器人的定位精度。該方法簡(jiǎn)單，適用范圍廣，可進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償。

以機(jī)器人整個(gè)工作空間內(nèi)的離散點(diǎn)為關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行四面體網(wǎng)格劃分，其中空間相鄰的八個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)四面體，劃分后的空間效果如圖6所示（只顯示了局部圖形）。

圖6 機(jī)器人工作空間網(wǎng)格劃分局部示意圖

本文采用反距離加權(quán)法[9]以兩點(diǎn)之間距離的倒數(shù)作為權(quán)值，是一種加權(quán)平均算法。該方法以小四面體網(wǎng)格為最小單元，可以預(yù)測(cè)出網(wǎng)格內(nèi)任意點(diǎn)P(X,Y,Z)處的定位誤差，步驟如下：

1）假設(shè)四面體網(wǎng)格8個(gè)頂點(diǎn)Ki(i=1,2,…,8)的坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的定位誤差為計(jì)算P點(diǎn)與四面體網(wǎng)格各頂點(diǎn)的距離di，根據(jù)距離反求各頂點(diǎn)的權(quán)值qi如下：

2）根據(jù)第一步所求權(quán)值qi，在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上分別進(jìn)行加權(quán)平均計(jì)算，可以得到機(jī)器人在(,,)PXYZ處沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的定位誤差預(yù)測(cè)值為：

由于不同定位點(diǎn)處的機(jī)器人定位誤差不同，且在整個(gè)工作空間內(nèi)機(jī)器人定位誤差呈非線性分布，采用修正后的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)角驅(qū)動(dòng)機(jī)器人并不能使補(bǔ)償后的機(jī)器人末端位置與期望的位置完全重合，僅能使其逼近期望位置，提高機(jī)器人定位精度。

考慮到空間網(wǎng)格插值補(bǔ)償法能使機(jī)器人末端執(zhí)行器逼近期望位置，而不能完全與期望位置重合，提出空間網(wǎng)格插值迭代補(bǔ)償法，這種方法以空間網(wǎng)格插值補(bǔ)償法為基礎(chǔ)，通過增加補(bǔ)償次數(shù)來進(jìn)一步提高機(jī)器人的定位精度。

3.2 迭代補(bǔ)償原理

圖7 空間網(wǎng)格插值迭代補(bǔ)償法流程圖

本文按照?qǐng)D7所示的流程圖對(duì)新型混聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行定位誤差補(bǔ)償。以機(jī)器人靜態(tài)和動(dòng)態(tài)誤差數(shù)據(jù)庫為基礎(chǔ)，通過空間網(wǎng)格插值計(jì)算機(jī)器人在工作空間內(nèi)任意點(diǎn)處的綜合定位誤差，然后判斷實(shí)際定位點(diǎn)與期望定位點(diǎn)之間的誤差，如果誤差大于設(shè)定值，則將誤差值再次逆補(bǔ)償?shù)嚼碚撐恢米鴺?biāo)上；如此反復(fù)，直至定位誤差小于或者等于設(shè)定值。最后通過逆解方程得到修正后的各關(guān)節(jié)角，并用其驅(qū)動(dòng)機(jī)器人。

3.3 定位誤差補(bǔ)償仿真試驗(yàn)

對(duì)新型混聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行定位誤差補(bǔ)償仿真試驗(yàn)，設(shè)計(jì)試驗(yàn)條件如下：新型混聯(lián)機(jī)器人的連桿加工誤差為最大偏差值，具體數(shù)據(jù)如表1所示，三個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的最大跟隨誤差為0.01°，末端載荷為80kg，補(bǔ)償后最大允許定位誤差為0.1mm。在工作空間內(nèi)任意選取10個(gè)位置點(diǎn)，進(jìn)行MATLAB仿真得到計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

從圖8中可以看出，通過迭代補(bǔ)償后機(jī)器人絕對(duì)定位誤差減小到0.1mm以內(nèi)，定位精度得到了很大程度的提高，充分說明了空間插值迭代補(bǔ)償法的有效性。

圖8 補(bǔ)償前后末端定位誤差對(duì)比

4 結(jié)論

為提高混聯(lián)機(jī)器人的定位精度，本文綜合考慮靜態(tài)誤差中運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差與動(dòng)態(tài)誤差中連桿柔性誤差對(duì)混聯(lián)機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)定位精度的影響；對(duì)誤差補(bǔ)償方法進(jìn)行研究，提出一種空間插值迭代補(bǔ)償法，通過最大允許誤差控制迭代次數(shù)可以得到不同的定位精度，用以滿足不同的定位精度要求；最后通過定位誤差補(bǔ)償仿真試驗(yàn)將此算法應(yīng)用到新型混聯(lián)機(jī)器人定位誤差補(bǔ)償當(dāng)中，并與空間網(wǎng)格插值補(bǔ)償法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

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