三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)直線度誤差線性回歸方法研究

顧天奇，陳劍雄，黃繼威，閆二樂(lè)

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350116)

0 引言

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的直線度誤差直接影響到測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量精度，其分布情況可采用標(biāo)準(zhǔn)件掃描的方式進(jìn)行分析標(biāo)定. 為了準(zhǔn)確地處理測(cè)量機(jī)的直線度誤差測(cè)量數(shù)據(jù)，盡可能真實(shí)地反映測(cè)量機(jī)的直線度，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者提出了許多處理方法，如基因算法[1]、支持向量機(jī)算法[2]、計(jì)算幾何算法[3]等. Murthy等[4]采用復(fù)雜搜索的方法，以漸變的梯度檢驗(yàn)尋優(yōu)進(jìn)行誤差標(biāo)定. Huang等[5]提出最小勢(shì)能的方法解決錐度問(wèn)題. Carr等[6]采用線性規(guī)劃模型解決三維直線度問(wèn)題，該方法將非線性優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂芯€性目標(biāo)函數(shù)的非線性約束規(guī)劃問(wèn)題，具有易操作性. 最小二乘法[7](ordinary least square, OLS)一般用來(lái)進(jìn)行形狀或面形誤差標(biāo)定，該方法通過(guò)約束因變量方向最小平方值的方式對(duì)變量進(jìn)行估計(jì)，可有效適用于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的數(shù)據(jù)回歸處理. 總體最小二乘法[8](total least square, TLS)可以看作是最小二乘法的進(jìn)一步發(fā)展，同時(shí)考慮自變量和因變量的誤差，用于處理全誤差模型條件下的回歸計(jì)算. 然而，總體最小二乘法無(wú)法處理測(cè)量數(shù)據(jù)中的粗大誤差，受粗大誤差的影響較大. 因此，該算法并不具備穩(wěn)健性. 有鑒于此，本研究擬結(jié)合最小截平方法(least trimmed square, LTS))和總體最小二乘法，使原有的總體最小二乘法在處理所有變量隨機(jī)誤差的同時(shí)，針對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中的粗大誤差采用截?cái)嗵幚?，使改進(jìn)后的算法具有穩(wěn)健性. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法具有更好的線性回歸精度.

1 線性回歸方法

1.1 最小二乘法

利用線性回歸模型進(jìn)行最小二乘估計(jì)的Guass-Markov模型[9]為:

其中:

1.2 總體最小二乘法

考慮自變量誤差的總體最小二乘法EIV誤差模型[10-13]為:

其中:

圖1 基于OLS和TLS的線性回歸Fig.1 OLS and TLS method for linear regression

其中:

因此，其總體最小二乘解為:

基于不同的誤差模型，由于最小二乘法和總體最小二乘法約束方向的不同，在進(jìn)行直線度評(píng)定時(shí)其區(qū)別可如圖1所示.

2 改進(jìn)的線性回歸方法

如上所述，最小二乘法和總體最小二乘法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中的粗大誤差較為敏感，不具備穩(wěn)健性. 而最小截平方法[14-17]正是針對(duì)粗大誤差提出的一種回歸方法. 在最小截平方法中，殘差定義為:

相較于前兩種方法，最小截平方法能夠很好地處理數(shù)據(jù)中的粗大誤差，但是該方法傳統(tǒng)的定義方式顯然不具備處理EIV模型中自變量誤差的能力. 因此，結(jié)合最小截平方法和總體最小二乘法兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，能有效測(cè)量數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差和粗大誤差，重新定義殘差為:

其中，E為線性回歸自變量系數(shù). 因此，殘差約束的方向重新定義為正交方向，同時(shí)考慮自變量和因變量的誤差.

3 測(cè)量實(shí)驗(yàn)

以三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)Leitz Reference Xi直線度誤差標(biāo)定實(shí)驗(yàn)為例，驗(yàn)證提出方法的有效性，測(cè)量機(jī)如圖2所示. 采用測(cè)量高精度平晶的方法確定測(cè)量機(jī)的直線度，該平晶的厚度為25 mm，口徑為100 mm，平面度為30 nm，測(cè)量機(jī)X軸重復(fù)定位誤差為5 μm，測(cè)頭重復(fù)測(cè)量誤差為1 μm, 測(cè)量實(shí)驗(yàn)如圖3所示.

圖2 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)Fig.2 Coordinate measuring machine

圖3 平晶測(cè)量實(shí)驗(yàn)Fig.3 Measurement experiment for glass-plat

實(shí)驗(yàn)采用曲率半徑為1 mm的紅寶石探針進(jìn)行測(cè)量，X軸方向量程為0～57 mm，測(cè)量間距為0.5 mm，測(cè)量數(shù)據(jù)如圖4所示. 在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于系統(tǒng)或外界環(huán)境的突然變化，不可避免地會(huì)存在粗大誤差，在進(jìn)行數(shù)據(jù)回歸處理之前需要處理粗大誤差. 采用改進(jìn)的回歸算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，這里m=3，剔除粗大誤差后的測(cè)量數(shù)據(jù)及回歸直線如圖5所示.

圖4 平晶測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.4 Measurement data of glass-plat

圖5 測(cè)量數(shù)據(jù)線性回歸Fig.5 Linear regression of measurement data

針對(duì)平晶測(cè)量的原始數(shù)據(jù)和剔除粗大誤差后的處理數(shù)據(jù)，分別采用最小二乘法和總體最小二乘法進(jìn)行線性回歸計(jì)算直線度，計(jì)算結(jié)果如表1所示，直線度誤差σ分布情況如圖6所示.

表1 兩組數(shù)據(jù)直線度計(jì)算值

圖6 直線度誤差分布Fig.6 Distribution of straightness error

如表1所示，粗大誤差的存在對(duì)測(cè)量機(jī)直線度的評(píng)估存在嚴(yán)重的影響，采用最小截平方法能夠有效剔除粗大誤差. 同時(shí)，在測(cè)量數(shù)據(jù)自變量和因變量都存在誤差的情況下，相較于最小二乘法，總體最小二乘法具有更好的回歸精度. 改進(jìn)后的算法同時(shí)具備了處理粗大誤差和隨機(jī)誤差的優(yōu)點(diǎn).

4 結(jié)語(yǔ)

1) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用最小截平方法能夠有效地剔除測(cè)量數(shù)據(jù)中的粗大誤差. 本次實(shí)驗(yàn)中，基于經(jīng)驗(yàn)考慮截取參數(shù)m=3，處理后的數(shù)據(jù)回歸精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí). 另外，截取參數(shù)的選取也可考慮采用遞進(jìn)假設(shè)檢驗(yàn)的方式，通過(guò)比較直線度誤差標(biāo)準(zhǔn)差與測(cè)量機(jī)標(biāo)定隨機(jī)誤差的接近程度確定截取參數(shù).

2) 結(jié)合最小截平方法和總體最小二乘法處理包含粗大誤差和隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)具有顯著提高的回歸精度. 本次實(shí)驗(yàn)X軸測(cè)量范圍在60 mm以內(nèi)，測(cè)量數(shù)據(jù)樣本較小，改進(jìn)算法的回歸精度并不十分明顯. 隨著測(cè)量數(shù)據(jù)及包含隨機(jī)誤差和粗大誤差的增多，在運(yùn)動(dòng)軸重復(fù)定位誤差和測(cè)頭重復(fù)測(cè)量誤差接近或相等的情況下，改進(jìn)算法將具有更加明顯的優(yōu)越性.

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