帶角度控制的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律設(shè)計(jì)*

姚 奕，范作娥，馮林平

（海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266044）

0 引言

隨著防空導(dǎo)彈以及防空雷達(dá)的不斷發(fā)展，反艦導(dǎo)彈成功突防的難度越來(lái)越大，為了提高反艦導(dǎo)彈的突防概率，在突防敵方的防空導(dǎo)彈攻擊水面艦艇時(shí)，希望反艦導(dǎo)彈能夠從防空雷達(dá)的薄弱區(qū)進(jìn)入，或者從防空火力弱的區(qū)域進(jìn)入。為了獲得最大的戰(zhàn)斗部毀傷效果，對(duì)于特定的目標(biāo)也希望戰(zhàn)斗部以特定的命中角度侵入目標(biāo)，而對(duì)于有較強(qiáng)防空能力的戰(zhàn)斗群目標(biāo)，則需要多枚反艦導(dǎo)彈分別從期望的攻擊角度，同時(shí)對(duì)目標(biāo)實(shí)施飽和攻擊，以增加反艦導(dǎo)彈的突防能力［1］。這就使得反艦導(dǎo)彈在攻擊敵方艦艇的時(shí)候，不僅僅希望導(dǎo)引頭能夠具有零脫靶量，實(shí)現(xiàn)精確打擊目標(biāo)，還要求導(dǎo)引頭能夠控制末端攻擊目標(biāo)的角度。要想實(shí)現(xiàn)反艦導(dǎo)彈末端攻擊角度的控制，就需要設(shè)計(jì)帶有角度控制的導(dǎo)引律。

為了設(shè)計(jì)合理有效的帶角度控制的末端導(dǎo)引律，提高反艦導(dǎo)彈末端指定方向的突防能力，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。有文獻(xiàn)將比例導(dǎo)引進(jìn)行改進(jìn)，融合進(jìn)其他控制理論，發(fā)展出增廣比例導(dǎo)引用于末端角度控制，但是由于比例導(dǎo)引對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的魯棒性有所欠缺，因此，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中受到限制［2］。最優(yōu)控制導(dǎo)引律具有自身很多優(yōu)點(diǎn)，但是由于導(dǎo)彈控制過(guò)程中有太多不確定性因素，加之最優(yōu)控制本身魯棒性較差，容易對(duì)反艦導(dǎo)彈的打擊精度造成不好影響。對(duì)于導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，導(dǎo)彈在實(shí)際飛行過(guò)程中，不可避免地受到風(fēng)的擾動(dòng)、海浪擾動(dòng)以及自身不確定性的影響，這就要求導(dǎo)彈的導(dǎo)引律具有強(qiáng)魯棒性［3-4］。隨著人們對(duì)變結(jié)構(gòu)控制理論的深入研究，變結(jié)構(gòu)控制對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)的魯棒性得到越來(lái)越多的重視，變結(jié)構(gòu)控制理論在導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)里面的控制問(wèn)題中得到了應(yīng)用［5-6］。傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制只能保證反艦導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)，能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂至滑動(dòng)模態(tài)，但在滑動(dòng)模態(tài)上狀態(tài)變量并不具有有限時(shí)間收斂的特性。因此，在導(dǎo)彈控制領(lǐng)域，制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂問(wèn)題開(kāi)始受到越來(lái)越多的重視。文獻(xiàn)［7］基于有限時(shí)間穩(wěn)定性定理，設(shè)計(jì)了有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律，但是不能進(jìn)行角度控制。本文基于航向平面內(nèi)導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)非線性控制系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，研究了帶角度控制的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引規(guī)律。

1 導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

在實(shí)際工程應(yīng)用過(guò)程中，導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系是非線性的，為了研究問(wèn)題方便，參考文獻(xiàn)［8］，將目標(biāo)和導(dǎo)彈均視為質(zhì)點(diǎn)，把導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程相對(duì)于理想彈道線性化。在上述條件下，垂直施加于導(dǎo)彈或者目標(biāo)速度矢量的加速度矢量，僅僅改變導(dǎo)彈或者目標(biāo)的速度方向，而不改變速度的大小。由于導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為質(zhì)點(diǎn)，加之導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)特性比制導(dǎo)回路的動(dòng)態(tài)特性要快得多，因此，在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)過(guò)程中，忽略導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

導(dǎo)彈與目標(biāo)之間相對(duì)航向平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)關(guān)系見(jiàn)圖1所示。參考導(dǎo)彈導(dǎo)引彈道的運(yùn)動(dòng)特性［8］，定義導(dǎo)彈與目標(biāo)的攻擊坐標(biāo)系xoy，選取基準(zhǔn)線（或參考線）為。M為導(dǎo)彈，T為目標(biāo)，連線即為目標(biāo)瞄準(zhǔn)線，又稱為目標(biāo)線或視線。

圖1 導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖

根據(jù)飛航導(dǎo)彈彈道學(xué)理論，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可以用定義在攻擊平面內(nèi)的極坐標(biāo)參數(shù)r2、q2的變化規(guī)律來(lái)描述，相關(guān)參數(shù)的定義如下。

r2為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的距離。r2=0表示導(dǎo)彈碰撞目標(biāo)，即零脫靶量。

q2為目標(biāo)瞄準(zhǔn)線與基準(zhǔn)線之間的夾角，稱為目標(biāo)瞄準(zhǔn)角（又叫視線角）。從基準(zhǔn)線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到瞄準(zhǔn)線上，則定義視線角為正。

q˙2為視線角速率，即視線角相對(duì)于時(shí)間的變化率；

vm、vt分別定義為導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度。

φm、φt分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的方位角。從基準(zhǔn)線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到方位角上，則定義方位角為正。

由圖1所示，根據(jù)極坐標(biāo)參數(shù)r2、q2的變化規(guī)律，可得到如下的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。

把式（5）～式（8）代入式（3）和式（4），并結(jié)合式（1）和式（2），經(jīng)過(guò)整理得出：

由式（5）和式（6）可以看出，wr2是目標(biāo)加速度在視線方向上的分量，ur2是導(dǎo)彈加速度在視線方向上的分量。由式（7）和式（8）可以看出，w2是目標(biāo)加速度在視線法向上的分量，u2是導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量。

導(dǎo)彈末端制導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)過(guò)程中，ur2只需在視線角穩(wěn)定的前提下，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度即可。在導(dǎo)彈實(shí)際攻擊目標(biāo)的過(guò)程中，導(dǎo)彈迎頭攔截目標(biāo)時(shí)，可以令ur2=0。因此，飛航導(dǎo)彈的末端導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)問(wèn)題，就轉(zhuǎn)換為通過(guò)設(shè)計(jì)u2來(lái)控制視線角速率趨近于零，最好能夠等于零，來(lái)最終實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的精確打擊或者碰撞打擊。

2 導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

假設(shè)導(dǎo)彈末端雷達(dá)的開(kāi)機(jī)初始時(shí)刻t=0，針對(duì)式（11）和式（12）的制導(dǎo)控制模型，此時(shí)制導(dǎo)控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為；在t時(shí)刻，制導(dǎo)控制系統(tǒng)的狀態(tài)為。定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其中為期望的導(dǎo)彈在打擊目標(biāo)時(shí)刻的視線角，定義系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，則制導(dǎo)控制系統(tǒng)模型可以轉(zhuǎn)換為如下形式的時(shí)變微分方程：

式（13）就是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變換得到的新制導(dǎo)控制模型，在此制導(dǎo)模型里面，系統(tǒng)的狀態(tài)變量既包含脫靶量因素，又包括終端落角約束，因此，如果能夠設(shè)計(jì)合適的控制量，使得系統(tǒng)狀態(tài)變量x能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，即，則就意味著導(dǎo)彈可以在精確打擊目標(biāo)的同時(shí)，同時(shí)能夠控制末端攻擊角度。

導(dǎo)彈末端雷達(dá)開(kāi)機(jī)后，在制導(dǎo)系統(tǒng)導(dǎo)引導(dǎo)彈飛向目標(biāo)的過(guò)程中，制導(dǎo)狀態(tài)的下列不等式成立

在上述條件下，應(yīng)用非線性有限時(shí)間收斂控制理論［9-10］，可得出制導(dǎo)系統(tǒng)式（13）的狀態(tài)變量有限時(shí)間收斂的充分條件，見(jiàn)如下定理。

定理1 對(duì)于制導(dǎo)系統(tǒng)（13），設(shè)計(jì)控制量u2使其滿足式（15）成立：

其中，β2＞0且為常數(shù)，則制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)變量x在有限時(shí)間內(nèi)將收斂至零。

證明 選取光滑正定李雅普諾夫函數(shù)

則由式（15）可得：

由于導(dǎo)彈末制導(dǎo)飛行過(guò)程中不等式（14）成立，因此，有：

由定理1可知制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)變量x在有限時(shí)間tr1內(nèi)收斂至零，收斂時(shí)間tr1滿足

證畢。

根據(jù)定理 1，將式（13）代入式（15）：

設(shè)計(jì)如下導(dǎo)引律：

將式（21）代入式（20）可得出：

由于不等式（22）成立，則根據(jù)定理 1，式（21）就是使導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零的導(dǎo)引律。而且由式（19）可以看出，β2越大，收斂時(shí)間tr1收斂速度越快，即視線角速率收斂至零q˙2→0的收斂速度越快，同時(shí)意味著視線角收斂到期望視線角q2→q2d的收斂速度越快。

導(dǎo)引律式（21）中可以看出，導(dǎo)引律中包含著目標(biāo)加速度信息w2，由式（7）可以看出，w2是目標(biāo)的加速度在視線法向上分量，導(dǎo)彈飛行過(guò)程中不能準(zhǔn)確獲得，但是可以通過(guò)近似估計(jì)來(lái)代替w2，假設(shè)一個(gè)足夠大的正數(shù)ε2使得目標(biāo)加速度的最大界限滿足，那么在式（21）中用 ε2sgn（x2）代替 w2，得到導(dǎo)引律：

3 仿真研究

假設(shè)航向平面內(nèi)導(dǎo)彈末端雷達(dá)開(kāi)機(jī)時(shí)刻位置為（0，-5 600），敵方水面艦艇的位置為（10 000，0），單位均為m；反艦導(dǎo)彈速度為500 m/s，末端雷達(dá)開(kāi)機(jī)時(shí)導(dǎo)彈彈道初始航向角0°。導(dǎo)彈打擊目標(biāo)時(shí)期望的末端航向角φd=-30°，選擇導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律參數(shù)：β2=380，ε2=20，η2=1，k=0.03。用飽和函數(shù)代替導(dǎo)引律中的開(kāi)關(guān)函數(shù)，其參數(shù)選為δ=0.01（s-1）。

圖2 彈道航向角φm

圖3 導(dǎo)彈目標(biāo)軌跡

上述仿真條件下，對(duì)本文設(shè)計(jì)的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律進(jìn)行仿真驗(yàn)證，在制導(dǎo)系統(tǒng)攻擊末端，導(dǎo)彈最終脫靶量0.3 m，末端實(shí)際落角-30.1°，相關(guān)仿真曲線見(jiàn)圖2和圖3。由上述仿真結(jié)果可以看出，本文設(shè)計(jì)的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律能夠滿足導(dǎo)彈精確打擊目標(biāo)的脫靶量要求，同時(shí)滿足控制導(dǎo)彈末端攻擊角度的要求，導(dǎo)引精度比較高。根據(jù)仿真曲線圖2同時(shí)可以得出，導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的收斂速度，受導(dǎo)引律系數(shù)β2的影響比較大，β2越大，制導(dǎo)系統(tǒng)的狀態(tài)收斂速度越快，因此，通過(guò)選擇不同的β2，可以控制制導(dǎo)系統(tǒng)的收斂速度。

4 結(jié)論

從工程實(shí)際出發(fā)，針對(duì)某型反艦導(dǎo)彈航向平面內(nèi)的導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，在不影響導(dǎo)彈打擊精度前提下，考慮反艦導(dǎo)彈末端角度約束條件，應(yīng)用有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了帶角度控制的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律，并可以通過(guò)導(dǎo)引律參數(shù)的選擇來(lái)控制制導(dǎo)系統(tǒng)的收斂速度。由仿真結(jié)果可以看出，本文設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律能夠在滿足高精度的前提下，實(shí)現(xiàn)角度控制，并且使制導(dǎo)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。

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