基于相關(guān)熵的擴(kuò)頻周期估計(jì)方法

金 艷, 孫玖玲, 姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

直接序列擴(kuò)頻(direct sequence spread spectrum, DSSS)信號(hào)采用擴(kuò)頻序列將信號(hào)頻譜展寬,以滿足傳送帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于發(fā)送信息所需帶寬的條件,降低了發(fā)射端信號(hào)的功率譜密度,使得信號(hào)能夠在低信噪比情況下傳播,因而直擴(kuò)信號(hào)有很好的抗干擾性和抗截獲性,廣泛應(yīng)用于軍事通信、衛(wèi)星通信和衛(wèi)星導(dǎo)航等系統(tǒng)中。在非合作通信中,直擴(kuò)通信的這些優(yōu)點(diǎn)給信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)。準(zhǔn)確估計(jì)出接收信號(hào)的載頻、碼元速率、擴(kuò)頻周期及擴(kuò)頻序列等參數(shù)是完成信號(hào)的解調(diào)、解擴(kuò)處理以及實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)的捕獲的前提。

其中,擴(kuò)頻周期的精確估計(jì)能夠更好地完成后續(xù)擴(kuò)頻碼的估計(jì)工作,因此實(shí)現(xiàn)擴(kuò)頻周期估計(jì)是非常重要的一步。針對(duì)擴(kuò)頻周期估計(jì)問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]根據(jù)偽隨機(jī)碼良好的相關(guān)性和周期特性提出了相關(guān)檢測(cè)法,由接收信號(hào)相關(guān)函數(shù)的峰值間隔即可估計(jì)出擴(kuò)頻周期;文獻(xiàn)[2]基于自相關(guān)提出了波動(dòng)相關(guān)法,選擇合適的滑動(dòng)窗對(duì)接收數(shù)據(jù)無(wú)重疊分段,由各段數(shù)據(jù)自相關(guān)二階矩累加平均的峰值間隔可估計(jì)擴(kuò)頻周期。在國(guó)內(nèi)研究中,文獻(xiàn)[3]提出了基于四階統(tǒng)計(jì)量的2-D切片法,高階統(tǒng)計(jì)量可以很好地抑制高斯噪聲,能達(dá)到較低信噪比容限,但其計(jì)算量較大;文獻(xiàn)[4]提出的倒譜法,對(duì)輸入信號(hào)的功率譜進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算后再求其功率譜,在信噪比大于-12 dB的情況下能得到準(zhǔn)確估計(jì);文獻(xiàn)[5-7]提出二次譜處理方法,即對(duì)信號(hào)的功率譜作二次功率譜處理,在周期處得到譜峰;文獻(xiàn)[8]提出用四階累積量與二次譜相結(jié)合的方法,利用接收信號(hào)的四階累積量一維切片代替信號(hào)的相關(guān)函數(shù)做二次功率譜檢測(cè),對(duì)高斯白噪聲有更好的抑制效果,但依然存在計(jì)算量大的問(wèn)題。

文獻(xiàn)[9]提出了相關(guān)熵理論,相關(guān)熵可以看成是基于Parzen核估計(jì)Renyi二次熵的一種退化表示,廣泛應(yīng)用于信道的盲均衡、時(shí)延估計(jì)等[10]領(lǐng)域。同時(shí)其又能夠反映兩個(gè)隨機(jī)變量的相似度,因此相關(guān)熵也可用于估計(jì)由信號(hào)傳輸遠(yuǎn)近的不同而引起的信號(hào)時(shí)延。本文首先由相關(guān)熵定義,結(jié)合直擴(kuò)信號(hào)模型分析了其隱含的周期性,據(jù)此提出一種估計(jì)擴(kuò)頻周期的相關(guān)熵法,然后針對(duì)信息碼對(duì)擴(kuò)頻周期估計(jì)的影響,引入延時(shí)相乘處理,得到一種改進(jìn)方法。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于相關(guān)熵的算法可在低信噪比下準(zhǔn)確估計(jì)出擴(kuò)頻周期。

1 基于相關(guān)熵函數(shù)的擴(kuò)頻周期估計(jì)

1.1 信號(hào)模型

1.1.1 短碼直擴(kuò)信號(hào)

假設(shè)以擴(kuò)頻碼速率Rc對(duì)信號(hào)采樣得到離散時(shí)間短碼直擴(kuò)信號(hào)模型為

(1)

式中,A表示信號(hào)幅度;τ為傳輸時(shí)延對(duì)應(yīng)的離散采樣值;n表示采樣時(shí)刻序號(hào);b(k)、c(k)分別表示信息碼和擴(kuò)頻碼,取值均為1或-1;v(k)表示均值為零、方差為σ2的加性高斯白噪聲;由于擴(kuò)頻碼速率為Rc,則Tc=1/Rc為擴(kuò)頻碼時(shí)寬;假設(shè)擴(kuò)頻周期T0等于L倍擴(kuò)頻碼元寬度,即T0=LTc。此時(shí)，短碼的每一位信息碼對(duì)應(yīng)一周期擴(kuò)頻碼。

1.1.2 長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào)

對(duì)接收的長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào)以擴(kuò)頻碼速率Rc采樣后可表示為

(2)

式中,A、n、L、c(n)、v(n)定義與短碼直擴(kuò)信號(hào)相同；b(n)表示離散的信息碼波形,信息碼元速率可以表示為Rb,信息碼元寬度Tb=1/Rb,則b(n)可以表示為

(3)

(4)

定義擴(kuò)頻調(diào)制比M=L/G,表示每周期擴(kuò)頻碼對(duì)應(yīng)調(diào)制的碼元個(gè)數(shù),當(dāng)G1時(shí)為長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào),而G=L或M=1時(shí)為短碼直擴(kuò)信號(hào)。根據(jù)M是否為整數(shù),又可將長(zhǎng)碼分為周期長(zhǎng)碼和非周期長(zhǎng)碼，每周期擴(kuò)頻碼調(diào)制多個(gè)信息碼。

1.2 相關(guān)熵及其性質(zhì)

相關(guān)熵是一種廣義的相關(guān)函數(shù),對(duì)于隨機(jī)過(guò)程{Xt,t∈T},T為時(shí)間集合,則其相關(guān)熵可定義[11]為

Vσ(t1,t2)=E[kσ(Xt1,Xt2)]

(5)

(2) 相關(guān)熵函數(shù)是一個(gè)對(duì)稱函數(shù),Vσ(τ)=Vσ(-τ);

(3) 假設(shè)隨機(jī)過(guò)程X和Y滿足關(guān)系|Xt1-Xt2|>|Yt1-Yt2|,則Vσ(τX(jué))

(6)

1.3 擴(kuò)頻周期估計(jì)

1.3.1 短碼情況

m=1,2,…

(7)

Vest(m)=E[kσ(d(n)-d(n+m))]=

(8)

(9)

(10)

式中,P表示1倍周期長(zhǎng)度L個(gè)擴(kuò)頻碼元中有P個(gè)滿足d(n)=d(n+m),另外的L-P個(gè)滿足d(n)=-d(n+m)。所以,當(dāng)N/2包含n0(n0≥2)個(gè)完整擴(kuò)頻周期時(shí),有

(11)

式中,n1表示N/2個(gè)信息碼元對(duì)應(yīng)的n0個(gè)周期里有n1個(gè)信息碼取值符號(hào)相同,同理n2表示符號(hào)相反個(gè)數(shù),則滿足n1+n2=n0;Q表示N個(gè)碼元中有Q個(gè)滿足d(n)=d(n+m)。

當(dāng)n1≤n2時(shí),有

(12)

當(dāng)n1>n2時(shí),有

(13)

1.3.2 長(zhǎng)碼情況

對(duì)式(2),若記

由以上理論分析可得出基于相關(guān)熵的直擴(kuò)信號(hào)周期估計(jì)方法的步驟如下:

步驟1對(duì)采樣后的信號(hào)進(jìn)行相關(guān)熵計(jì)算,得到V(m);

步驟3整合得到的兩組坐標(biāo),根據(jù)周期性對(duì)這些坐標(biāo)做進(jìn)一步修正調(diào)整,由相鄰兩坐標(biāo)之間間隔即可求得擴(kuò)頻周期。

2 延時(shí)相乘相關(guān)熵法的擴(kuò)頻周期估計(jì)

2.1 信息碼對(duì)相關(guān)熵法的影響

2.2 延遲相乘相關(guān)熵

為了減弱信息碼的影響,本文提出延遲相乘相關(guān)熵算法。取y(n)與延遲一個(gè)碼元的y(n+1)相乘得到新的序列y′(n)。m序列具有移位相加性,即m序列和它的移位序列模二相加后所得序列的本原多項(xiàng)式與m序列本原多項(xiàng)式相同,只是初始相位不同。因此,經(jīng)延時(shí)相乘后序列的擴(kuò)頻周期不會(huì)改變[12]。而信息碼寬遠(yuǎn)大于擴(kuò)頻碼元寬度,故延時(shí)相乘后信息碼對(duì)擴(kuò)頻碼的影響可忽略不計(jì)。

以短碼直擴(kuò)信號(hào)為例,即

y(n)×y(n+1)=

(14)

假設(shè)噪聲與信息碼和擴(kuò)頻碼均不相關(guān),忽略n=kL(k=1,2,…)對(duì)應(yīng)的少數(shù)點(diǎn),可得

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 相關(guān)熵核長(zhǎng)參數(shù)σ的選取

仿真實(shí)驗(yàn)擴(kuò)頻碼采用m序列,擴(kuò)頻碼周期L=63的短碼直擴(kuò)信號(hào),采樣速率為擴(kuò)頻碼元速率。數(shù)據(jù)總長(zhǎng)N=27L,SNR=-5 dB情況下,在σ取{0.01,0.1,1,5,10,20,50,100}時(shí)分別進(jìn)行300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

σ取值對(duì)相關(guān)熵值的影響可由相關(guān)熵定義式分析得到,σ越大,熵值越大;σ越小,熵值越小。圖1(a)給出了擴(kuò)頻周期估計(jì)結(jié)果的相對(duì)誤差隨σ取值變化情況,圖1(b)為對(duì)應(yīng)局部放大圖。由仿真結(jié)果可知σ≥1時(shí)都能較準(zhǔn)確估計(jì)出擴(kuò)頻碼周期。

圖1 估計(jì)結(jié)果與σ取值的關(guān)系Fig.1 Relationship between the estimation result and the value of σ

3.2 延時(shí)相乘相關(guān)熵仿真

圖2是在擴(kuò)頻碼采用m序列,擴(kuò)頻碼周期L=63的短碼直擴(kuò)信號(hào),采樣速率為擴(kuò)頻碼元速率,σ=10,不加噪聲情況下進(jìn)行300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。可以看出,在擴(kuò)頻周期的整數(shù)倍處相關(guān)熵峰值的取值情況與第2節(jié)理論分析一致。

圖2 不加噪聲短碼直擴(kuò)信號(hào)的相關(guān)熵Fig.2 Correntropy of short-code DSSS signal without noise

圖3給出了在與圖2對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)同等條件下,僅有擴(kuò)頻碼的相關(guān)熵,可以看出不受信息碼影響時(shí)擴(kuò)頻碼相關(guān)熵在周期整數(shù)倍處有峰值,且峰值均大于非周期整數(shù)倍處取值。對(duì)比圖2、圖3及前面的分析可知,信息碼的存在使得擴(kuò)頻碼相關(guān)熵的取值在一定程度上減小了,并使其在擴(kuò)頻碼整數(shù)倍處的取值出現(xiàn)小于均值(如式(12)所示)和大于均值(如式(13)所示)兩種情況。

圖3 不加噪聲擴(kuò)頻碼的相關(guān)熵Fig.3 Correntropy of spreading codes without noise

在與圖2對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)同等條件下,對(duì)新得到的序列作相關(guān)熵,得到結(jié)果如圖4所示。與圖2、圖3對(duì)比可知,直擴(kuò)信號(hào)經(jīng)延時(shí)相乘處理后能有效消除信息碼的影響。同時(shí),峰值間隔沒(méi)有發(fā)生改變,驗(yàn)證了延時(shí)相乘處理不會(huì)改變擴(kuò)頻周期。

圖4 不加噪聲直擴(kuò)信號(hào)延遲相乘相關(guān)熵Fig.4 Delay-multiplied correntropy of DS/SS without noise

3.3 擴(kuò)頻碼周期估計(jì)仿真

在已有的擴(kuò)頻周期估計(jì)方法中,目前最常用的有波動(dòng)相關(guān)法[13]、倒譜估計(jì)法[14]和二次譜估計(jì)法[15],因此本文用這3種方法作為對(duì)比方法。

仿真實(shí)驗(yàn)擴(kuò)頻碼采用周期L=63的m序列[10],信號(hào)分別為短碼直擴(kuò)信號(hào),數(shù)據(jù)總長(zhǎng)N1=27;擴(kuò)頻調(diào)制比M2=3的周期長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào),數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N2=81;擴(kuò)頻調(diào)制比M3=4.5的非周期長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào),數(shù)據(jù)總長(zhǎng)N3=162。3種情況均取σ=10,采樣速率等于擴(kuò)頻碼元速率。不同信噪比下,分別采用相關(guān)熵方法、延時(shí)相乘相關(guān)熵方法和波動(dòng)相關(guān)法估計(jì),做300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。圖5～圖7分別為上述短碼、周期長(zhǎng)碼和非周期長(zhǎng)碼3組實(shí)驗(yàn)在不同信噪比下對(duì)擴(kuò)頻周期估計(jì)的相對(duì)誤差。

圖5 短碼直擴(kuò)信號(hào)擴(kuò)頻周期估計(jì)Fig.5 PN sequence period estimation of short-code DS/SS signal

圖6 周期長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào)擴(kuò)頻周期估計(jì)Fig.6 PN sequence period estimation of periodic long-code DS/SS signal

圖7 非周期長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào)擴(kuò)頻周期估計(jì)Fig.7 PN sequence period estimation of non-periodiclong-code DS/SS signal

短碼情況下,如圖5所示,對(duì)于擴(kuò)頻碼周期估計(jì),相關(guān)熵法能在SNR=-18 dB時(shí)達(dá)到97%的估計(jì)準(zhǔn)確率,延時(shí)相乘相關(guān)熵法、倒譜估計(jì)法和二次譜估計(jì)法在信噪比不小于-13 dB 時(shí)可達(dá)到準(zhǔn)確估計(jì),而相關(guān)波動(dòng)法只有在SNR≥-12 dB時(shí)估計(jì)準(zhǔn)確率才能達(dá)到90%以上。相關(guān)熵法對(duì)短碼直擴(kuò)信號(hào)擴(kuò)頻周期估計(jì)的信噪比容限比倒譜法和二次譜法低3 dB,比波動(dòng)相關(guān)法低6 dB,可見(jiàn)相關(guān)熵法的估計(jì)性能相對(duì)最優(yōu),而延時(shí)相乘相關(guān)熵法估計(jì)性能與倒譜和二次譜估計(jì)性能相當(dāng)。

數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=81L的周期長(zhǎng)碼情況下,如圖6所示,相關(guān)熵法在SNR≥-13 dB時(shí)能達(dá)到96%以上估計(jì)準(zhǔn)確率,二次譜估計(jì)法在SNR >-11 dB 時(shí),估計(jì)性能不如相關(guān)熵法;倒譜法和延時(shí)相乘相關(guān)熵法信噪比均為-10 dB,波動(dòng)相關(guān)法在SNR≥-10 dB 情況下才能得到準(zhǔn)確估計(jì),可以看出在上述實(shí)驗(yàn)條件下5種方法的估計(jì)效果從信噪比容限角度分析差別不是很大,依然是相關(guān)熵法相對(duì)最佳,延時(shí)相乘相關(guān)熵法估計(jì)性能不如二次譜法,而較倒譜法和波動(dòng)相關(guān)法好。

數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=162的非周期長(zhǎng)碼情況,如圖7所示,基于相關(guān)熵的兩種新方法都能在SNR≥-14 dB 時(shí)得到準(zhǔn)確估計(jì),倒譜估計(jì)法和二次譜估計(jì)法均可達(dá)到-9 dB 的信噪比容限,但波動(dòng)相關(guān)法只有在SNR≥-9 dB 時(shí)才能得到準(zhǔn)確估計(jì)。結(jié)果表明在非周期長(zhǎng)碼直擴(kuò)情況下,對(duì)于估計(jì)效果,基于相關(guān)熵兩種方法明顯優(yōu)于常用的倒譜法、二次譜法和波動(dòng)相關(guān)法。

對(duì)比圖5～圖7可以看出,對(duì)于相關(guān)熵法和延時(shí)相乘相關(guān)熵法,在短碼直擴(kuò)信號(hào)情況下,前者的估計(jì)性能明顯優(yōu)于后者,但在長(zhǎng)碼情況下,前者并沒(méi)有顯著優(yōu)勢(shì)。特別地,延時(shí)相乘相關(guān)熵法對(duì)非周期長(zhǎng)碼直擴(kuò)信號(hào)擴(kuò)頻周期估計(jì)性能較相關(guān)熵法好。

4 結(jié) 論

針對(duì)高斯噪聲環(huán)境下直接序列擴(kuò)頻信號(hào)的擴(kuò)頻周期估計(jì)問(wèn)題,本文首先推導(dǎo)出相關(guān)熵隱含的周期性,在此基礎(chǔ)上提出了相關(guān)熵法。然后分析了直擴(kuò)信號(hào)中信息碼序列對(duì)擴(kuò)頻周期估計(jì)的影響,對(duì)此提出一種能消除信息碼影響的延遲相乘相關(guān)熵估計(jì)法。論文通過(guò)數(shù)值仿真確定了相關(guān)熵定義中核長(zhǎng)參數(shù)σ在擴(kuò)頻周期估計(jì)中的最優(yōu)取值范圍。最后,將本文所提出的基于相關(guān)熵的兩種方法與工程實(shí)際常用的倒譜法、二次譜法和波動(dòng)相關(guān)法進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明基于相關(guān)熵的兩種方法在短碼和長(zhǎng)碼情況下對(duì)擴(kuò)頻周期的估計(jì)均有較好的性能。其中,在短碼和周期性長(zhǎng)碼情況下,相關(guān)熵法估計(jì)性能明顯優(yōu)于其他方法。特別地,對(duì)于短碼,相關(guān)熵法在信噪比低至-18 dB條件下都能準(zhǔn)確估計(jì)出擴(kuò)頻周期;延時(shí)相乘相關(guān)熵法估計(jì)性能與倒譜估計(jì)法相當(dāng),雖一定程度增加了計(jì)算量,但對(duì)于長(zhǎng)碼,尤其是對(duì)非周期長(zhǎng)碼情況下的擴(kuò)頻周期估計(jì)性能優(yōu)勢(shì)較為明顯。

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