與過程相聯(lián)系的σ-代數(shù)流

羅建華， 馮志明

（1.中南林業(yè)科技大學理學院，長沙 410004； 2.樂山師范學院數(shù)學系，樂山 614000）

與過程相聯(lián)系的σ-代數(shù)流

羅建華1， 馮志明2

（1.中南林業(yè)科技大學理學院，長沙 410004； 2.樂山師范學院數(shù)學系，樂山 614000）

討化了σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu)，并給出其一般性的結(jié)果；歸納出各σ-代數(shù)流的相互關(guān)系；最后介紹其兩個簡單應(yīng)用.

π系；σ-代數(shù)流；停時；兩參數(shù)隨機過程；鞅

1 引 言

σ-代數(shù)流的概念散見于各概率論、隨機過程的專著及論文中，但由于一般將其作為常識性知識，對其結(jié)構(gòu)關(guān)系未充分重視.受無窮乘積可測空間構(gòu)造的啟發(fā)，本文對σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu)作了探討，并給出了一般性結(jié)果，藉此全面準確理解各σ-代數(shù)流的關(guān)系.

2 預(yù)備知識

設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是完備的概率空間，X＝｛Xt，t∈T｝是其上的實值隨機過程（T＝［0，∞）），可測空間（E，ε）＝（R1，B1）為其狀態(tài)空間（相空間）.

引理1 設(shè)f：（Ω，F(xiàn)）→（E，E）為可測映射，f-1（E）是Ω中的σ-代數(shù)（稱之為由f導出的σ-代數(shù)）.由此，若記σ（f）＝f-1（E），則σ（f）是σ-代數(shù)，且σ（f）?F.

特別地，若X＝｛Xt，t∈T｝是隨機過程，則對?t∈T，由Xt產(chǎn)生的σ-代數(shù)記為σ（Xt），顯然σ（Xt）?F.

注 f-1（E）＝｛f-1（B）；B∈E｝.

定義1 （i）稱F的子σ-代數(shù)族｛Ft，t≥0｝為σ-代數(shù)流，如果Fs?Ft，0≤s≤t.特別稱σ-代數(shù)流｛Nt，t≥0｝為隨機過程｛Xt，t≥0｝的自然σ-代數(shù)流（隨機過程產(chǎn)生的σ-代數(shù)流），其中Nt＝σ（Xs，s≤t）.記N＝σ（Xt，t≥0）.

（ii）稱隨機過程｛Xt，t≥0｝關(guān)于σ-代數(shù)流｛Ft，t≥0｝為適應(yīng)的（簡稱｛Xt｝為｛Ft｝適應(yīng)過程），如果對每一t≥0，Xt是Ft可測（記作Xt∈Ft）.

注 若｛Fα，α∈Γ｝為F的一族子σ-代數(shù)，則其交Fα仍為σ-代數(shù)，但其并Fα一般不再是σ-代數(shù)，我們以Fα表示由它所產(chǎn)生的σ-代數(shù)σ（Fα）.

定義2 稱定義在可測空間（Ω，F(xiàn)）上的非負可測函數(shù)τ（ω）（可?。逓橹担殛P(guān)于F的子σ-代數(shù)流｛Ft，t≥0｝的停時（可選時），如果對?t≥0，有

引理2 設(shè)τ為｛Ft｝停時，令

則Fτ為σ-代數(shù)（稱之為伴隨停時τ的σ-代數(shù)，也稱τ前σ-代數(shù)）.

顯然有Fτ?F∞?F.Fτ可理解為過程到τ為止的全部信息.

為使討論引向深入，下面介紹兩參數(shù)隨機過程的有關(guān)記號、概念：

3 主要結(jié)果

推論1 N＝σ（Xt，t∈T）＝σ（Π），其中Π＝｛（Xti∈Γi，1≤i≤n）；Γi∈ε，ti∈T，n≥1｝.

證將定理1證明過程中的“s≤t，s∈T”改為“t∈T”便得證.

推論2 Nt＝σ（Xs，s≥t）＝σ（Π），其中Π＝｛（Xti∈Γi，1≤i≤n）；Γi∈ε，ti≥t，n≥1｝.

證將定理1證明過程中的“s≤t，s∈T”改為“s≥t，s∈T”便得證.

推論3 N＝σ（Xu，s≤u≤t）＝σ（Π），其中Π＝｛（Xti∈Γi，1≤i≤n）；Γi∈ε，s≤ti≤t，n≥1｝.

證將定理1證明過程中的“s≤t，s∈T”改為“s≤u≤t，u∈T”便得證.

定理2 （i）若｛Xt｝為｛Ft｝適應(yīng)過程，則Nt?Ft，N?Ft，0≤s≤t；

（ii）對?0≤s≤t，有Ns?Nt?N，Nt?Ns?N；

（iii）若ti≤t，i＝1，2，…，n，則σ（Xt1，…，Xtn）?Nt＝σ（Xs，s≤t）；

（iv）若｛Xt｝為｛Ft｝適應(yīng)過程，則N＝σ（Xt，t∈T）?F.

證（i）對任意0≤s≤t，有Xs∈Fs?Ft，所以Xs∈Ft，即σ（Xs）?Ft，又因為Nt＝σ（Xs，s≤t），故Nt?Ft.類似可得?Ft.

（ii）結(jié)論顯然成立.

定理3 （i）設(shè)τ∈T，則τ為Fτ可測；

（ii）若τ1，τ2∈T，且τ1≤τ2，則Fτ1?Fτ2.

證（i）由引理2知Fτ為σ-代數(shù).對?s∈T，顯然（τ≤s）∈F∞，又（τ≤s）∩（τ≤t）＝（τ≤s∧t）∈Fs∧t?Ft，t∈T，其中s∧t＝min（s，t），故（τ≤s）∈Fτ，即τ關(guān)于Fτ可測.

（ii）設(shè)A∈Fτ1，則A∈F∞，且A∩（τ1≤t）∈Ft，t∈T，從而A∩（τ2≤t）＝A∩（τ2≤t）∩（τ1≤t）＝［A∩（τ1≤t）］∩（τ2≤t）∈Ft，t∈T.故A∈Fτ2，因此Fτ1?Fτ2.

注 由引理2和定理3（ii）及定義1，｛Fτ，τ∈T｝顯然是σ-代數(shù)流.

定理4 設(shè)τ為｛Nt｝停時，｛Xt｝為｛Ft｝適應(yīng)過程，則Nτ?Fτ.

證一方面（τ≤t）∈Nt?Ft，得τ為｛Ft｝停時；另一方面，設(shè)A∈Nτ，則A∈F∞，A∩（τ≤t）∈Nt?Ft，?t≥0，即得A∈Fτ，故Nτ?Fτ.

下面是關(guān)于兩參數(shù)隨機過程的σ-代數(shù)流若干結(jié)果.

證類似于定理1之證明.

定理6 若｛X（z），z∈｝關(guān)于σ-代數(shù)流｛Fz，z∈T｝為適應(yīng)過程，即X（z）∈Fz，則?Fz.

證因為σ（X（z））?σ（X（y），y≤z）＝，所以X（z）∈，故?Fz.

類似于定理2所列舉的關(guān)系，兩參數(shù)隨機過程也有相應(yīng)關(guān)系，此處不再詳述.

注 本文中未加說明之處均為單參數(shù)隨機過程情形.

4 結(jié)束語

Ft（Fτ）—t（τ）前事件σ-代數(shù)，表示到t（τ）為止的全部信息，也即［0，t］（［0，τ］）中的全部信息，那么｛Ft，t∈T｝（｛Fτ，τ∈T｝）σ-代數(shù)流也就成為信息流，凡涉及此類現(xiàn)象的問題，諸如Markov過程，Martingale過程等，均須運用σ-代數(shù)流加以討論.

定義4 如果對于一切0≤s≤t及?！蔈，有

其中P（·｜Xs）＝P（·｜σ（Xs）），就稱關(guān)于σ-代數(shù)流｛Ft，t≥0｝適應(yīng)的過程｛Xt，t≥0｝為Markov過程.此時記｛Xt，F(xiàn)t，t≥0｝為Markov過程.

以此定義為基礎(chǔ)，借助于σ-代數(shù)流的關(guān)系，我們很容易得出以下結(jié)論：

例1 若｛Xt，F(xiàn)t，t≥0｝是Markov過程，則｛Xt，Nt，t≥0｝也是Markov過程.

事實上，在（1）兩邊取關(guān)于Ns的條件期望，由Ns?Fs?F，σ（Xs）?Ns?F，并利用重條件期望公式，得

即｛Xt，Nt，t≥0｝是Markov過程.

對任意有限多個0≤t1＜t2＜…＜tn及?！师牛顃＝tn，s＝tn-1，對（2）的兩邊取關(guān)于σ（Xt1，…，Xtn-1）的條件期望，由重條件期望公式得：｛Xt，t≥0｝是Markov過程的充分必要條件

證明見文獻［2］.

定義5 適應(yīng)過程｛Xt，F(xiàn)t，t∈T｝稱為鞅（Martingale），如果對?t∈T，E｜Xt｜＜∞，且對T中任意s＜t，有

如將上式“＝”換成“≤”，“≥”，相應(yīng)得上（下）鞅.

以此定義為基礎(chǔ)，借助于σ-代數(shù)流的關(guān)系，我們很容易得出以下結(jié)論：

例2 設(shè)｛Xt，t≥0｝是Wiener過程且是標準馬氏過程，令Nt＝σ（Xs，s≤t），則過程｛-t，Nt，t≥0｝關(guān)于概率測度Px，x∈R1是鞅.

因此得證｛Yt，Nt，t≥0｝關(guān)于Px是鞅.

可見，σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu)關(guān)系在Markov過程，Martingale過程的研究中起著重要的作用.σ-代數(shù)流已成為現(xiàn)代概率論和隨機過程論中最基本的概念［9，10］.

［1］ 嚴士健，王雋驤，劉秀芳.概率論基礎(chǔ)［M］.2版.北京：科學出版社，2009.

［2］ 李漳南，吳榮.隨機過程教程［M］.北京：高等教育出版社，1987.

［3］ 黃志遠.隨機分析學基礎(chǔ)［M］.北京：科學出版社，2001.

［4］ 楊向群，李應(yīng)求.兩參數(shù)馬爾可夫過程論［M］.長沙：湖南科學技術(shù)出版社，1995.

［5］ 王梓坤.隨機過程通論（上，下）［M］.北京：北京師范大學出版社，1996.

［6］ 王壽仁.概率論基礎(chǔ)和隨機過程［M］.北京：科學出版社，1986.

［7］ 錢敏平，龔光魯.隨機過程論［M］.北京：北京大學出版社，1997.

［8］ 胡迪鶴.隨機過程基礎(chǔ)·理論·應(yīng)用［M］.武漢：武漢大學出版社，2000.

［9］ 汪嘉岡.現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)［M］.上海：復旦大學出版社，1988.

［10］ Olav Kallenberg.Foundations of Modern Probability［M］.Springer-Verlag，2001.

［11］ Chung Kailai.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion［M］.New York：Springer-Verlag，1982.

Filtrations Associated with Process

LUO Jian-hua1， FENG Zhi-ming2
（1.College of Sciences，Central South University of Forestry and Technology，Changsha 410004，China；2.Department of Mathematics，Leshan Teachers College，Leshan 614000，China）

The structures of filtrations are discussed，and the general results are given.The interrelationships of a few filtrations are generalized.Finally two brief applications of filtrations are introduced.

π-system；filtrations；stopping tiom；two-parameter stochastic process；Martingale

O211.62

A

1672-1454（2012）04-0050-04

2010-05-06；

2011-05-23