循環(huán)荷載下非飽和黏彈性地基一維固結(jié)特性分析

秦愛芳,呂康立

傳統(tǒng)的土力學(xué)研究基本上都是以飽和土為主,而在實(shí)際工程中,大多數(shù)的土處于非飽和狀態(tài),在干旱、半干旱地區(qū)尤為如此.對(duì)于工程中的非飽和土路堤和土壩等問題,若仍然用飽和土的理論來指導(dǎo)施工的話,將會(huì)影響工程建造的質(zhì)量以及施工的進(jìn)度.

對(duì)于非飽和土,典型的固結(jié)理論分別由Blight[1],Scott[2],Barden[3]和Fredlund等[4-5]提出,其中Fredlund固結(jié)理論比較完善且具有權(quán)威性.

對(duì)于飽和黏彈性地基固結(jié)問題,王奎華等[6]、蔡袁強(qiáng)等[7-8]、謝康和等[9]分別采用Merchant和Kelvin模型進(jìn)行了大量的深入研究.對(duì)于非飽和黏彈性土地基在變荷載作用下的固結(jié)問題,國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究還較少.Shan等[10]對(duì)恒載和加荷隨時(shí)間指數(shù)變化時(shí)多層非飽和土彈性地基的固結(jié)進(jìn)行了研究.Zhou等[11]研究了多種初始條件和邊界條件下,變荷載作用時(shí)的非飽和土彈性地基一維固結(jié)問題.Liem等[12]將非飽和土彈性地基的固結(jié)理論拓展到了二維空間.

對(duì)于非飽和黏彈性土地基一維固結(jié)問題,秦愛芳等[13-15]依據(jù)Fredlund非飽和土一維固結(jié)理論,并對(duì)其進(jìn)行了一些假設(shè),得到了瞬時(shí)加荷下黏彈性土地基一維固結(jié)的半解析解.本工作在上述研究的基礎(chǔ)上,對(duì)實(shí)際工程中常用的3種循環(huán)荷載(正弦荷載、三角形荷載和梯形荷載)作用下的黏彈性地基,采用Merchant黏彈性模型求得了一維固結(jié)的半解析解,并對(duì)其固結(jié)特性進(jìn)行了分析.研究結(jié)果對(duì)工程中的實(shí)際問題具有指導(dǎo)作用.

1 半解析解的推導(dǎo)

1.1 計(jì)算模型和本構(gòu)方程

本工作中的基本假定與Fredlund的非飽和土一維固結(jié)理論[5]相同,計(jì)算模型如圖1所示.非飽和土層的頂面為透水透氣面,底面為不透水不透氣面.土層厚度為H,施加的循環(huán)荷載為σ(t),坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在地表,深度方向(z軸)以豎直向下為正.取底面積為1、高度為dz的單元體V0=1×1×dz為研究對(duì)象.

黏彈性模型采用Merchant模型(三單元模型),該模型由一個(gè)Kelvin體(由一個(gè)彈性體和一個(gè)黏性體并聯(lián)而成)和一個(gè)彈性體串聯(lián)組成,如圖2所示.Merchant模型的本構(gòu)方程為

式中,σ為應(yīng)力,η為黏性體的黏滯系數(shù),ε為應(yīng)變,E0和E1為彈性體的彈性模量.對(duì)式(1)作關(guān)于時(shí)間t的Laplace變換,得到

式中,s為L(zhǎng)aplace變量.

圖1 計(jì)算模型Fig.1 Calculation model

圖 2 Merchant模型Fig.2 Merchant model

1.2 任意加荷時(shí)Laplace變換下的解

本工作依據(jù)Fredlund一維固結(jié)理論的本構(gòu)方程[5],針對(duì)Merchant黏彈性地基模型,采用李氏比擬法,引入Laplace變換下的柔度系數(shù)V(s)代替線彈性模型中的常數(shù)1/E,再通過線彈性情況下的液相和氣相的控制方程、Darcy定律及Fick定律,采用文獻(xiàn)[13]中的方法,得到Laplace變換下的4個(gè)微分方程.

式中:

其中

將式(3),(4),(5),(6)寫為矩陣形式的偏微分方程[13],即

式中,~X(z,s)=[~ua(z,s),~uw(z,s),~Ja(z,s),~vw(z,s)]T,

根據(jù)Cayley-Hamilton理論[16],式(7)的解的一般形式為

式中,T(z,s)=exp[zA(s)],S(z,s)=0T(z ? ?)B(s)d?.由式(8)可得,土層頂面的狀態(tài)向量與任意深度處狀態(tài)向量的傳遞關(guān)系為

式中,T11～T44及S1～S4的含義同文獻(xiàn)[13].

1.3 邊界條件和初始條件

因?yàn)橥翆由媳砻鏋橥笟馔杆?底面為不透氣不透水面,所以邊界條件為

初始條件為

將邊界條件和初始條件代入式(9),可解得Laplace變換下任意深度處的超孔隙氣壓力~ua(z,s)、超孔隙水壓力~uw(z,s)和土層壓縮量~w(z,s),方法同文獻(xiàn)[13].

2 循環(huán)荷載及其Laplace變換下的解

2.1 正弦荷載

式中:σ0為外荷載的峰值,取σ0=100 kPa;w為圓頻率,取w=10?6rad/s;t為荷載加載時(shí)間.

圖3 正弦荷載Fig.3 Sinusoidal load

對(duì)式(15)作關(guān)于t的Laplace變換,可得

2.2 三角形荷載

三角形荷載如圖4所示,表達(dá)式為

圖4 三角形荷載Fig.4 Triangle load

對(duì)式(17)作關(guān)于時(shí)間t的Laplace變換,可得

式中,σ0=100 kPa,T=106s.

2.3 梯形荷載

梯形荷載如圖5所示,表達(dá)式為

對(duì)式(19)作關(guān)于時(shí)間t的Laplace變換,可得

式中,σ0=100 kPa,T=106s.

將上述3種循環(huán)荷載情況下的~σ(s),σ(0)分別代入式(12),(13)和(14),可得Laplace變換下的解,然后再進(jìn)行Laplace逆變換,即可求得3種循環(huán)荷載作用下任意深度的超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及土層沉降量.

由于本工作中的~ua(z,s),~uw(z,s)和~w(z,s)非常復(fù)雜,通過Laplace逆變換無法直接獲得超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及土層沉降的數(shù)學(xué)表達(dá)式,因而需要通過數(shù)值法求解逆變換.本工作運(yùn)用較常用且精度較高的Durbin和Crump方法[17],通過編制程序?qū)ua(z,s),~uw(z,s)和 ~w(z,s)進(jìn)行Laplace逆變換.

3 算例分析

下面分析3種循環(huán)荷載作用下非飽和黏彈性地基固結(jié)過程中的超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力以及固結(jié)度隨時(shí)間的變化規(guī)律.固結(jié)度為各時(shí)刻的土體沉降與土體最終沉降的比值,即Us=~w(z,t)/~w(z,∞).當(dāng)加荷到一定時(shí)間,土體固結(jié)趨于穩(wěn)定,在循環(huán)荷載作用下所能達(dá)到的最大沉降趨近于一固定值,即認(rèn)為此最大沉降為土體固結(jié)的最終沉降~w(z,∞).

3.1 正弦荷載

圖6為ka/kw=100時(shí)正弦荷載作用下超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力和固結(jié)度隨時(shí)間的變化規(guī)律.由圖可以看出,超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力的消散和土體的固結(jié)均隨荷載呈周期性變化.超孔隙氣壓力在第一個(gè)周期內(nèi)就消散到趨近于0,然后在0附近上下振動(dòng);超孔隙水壓力在第一個(gè)周期內(nèi)消散到0.2,然后在0.2附近上下振動(dòng),形成一段“平臺(tái)期”,最后又消散到0,并在0附近上下振動(dòng);固結(jié)度在第一個(gè)周期前半段一直增大,隨后上下振動(dòng)(整體呈現(xiàn)逐漸固結(jié)趨勢(shì)),最后在Us=1附近上下振動(dòng).

圖6正弦荷載作用下非飽和黏彈性地基的固結(jié)特性隨時(shí)間的變化(ka/kw=100)Fig.6 Change in consolidation characteristics of viscoelastic unsaturated soils for sinusoidal loading(ka/kw=100)

圖7 為正弦荷載作用下ka/kw不同時(shí)超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及固結(jié)度隨時(shí)間的變化規(guī)律.由圖可以看出,ka/kw的大小對(duì)超孔隙氣壓力的消散影響非常明顯.當(dāng)ka/kw較大時(shí),超孔隙氣壓力在第一個(gè)周期就消散到趨近于0,之后在0附近上下振動(dòng);ka/kw越大,超孔隙水壓力達(dá)到的峰值越小,超孔隙水壓力消散越快;當(dāng)ka/kw較小時(shí),超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力的消散曲線的切線斜率幾乎相同;ka/kw越大,固結(jié)度在周期內(nèi)達(dá)到的峰值越大,固結(jié)速度越快.

圖7 正弦荷載作用下ka/kw不同時(shí)非飽和黏彈性地基的固結(jié)特性隨時(shí)間的變化Fig.7 Change in consolidation characteristics of viscoelastic unsaturated soils for sinusoidal loading at diあerent values of ka/kw

3.2 三角形荷載

圖8三角形荷載作用下ka/kw不同時(shí)非飽和黏彈性地基的固結(jié)特性隨時(shí)間的變化Fig.8 Change in consolidation characteristics of viscoelastic unsaturated soils for triangle loading at diあerent values of ka/kw

圖8 為三角形荷載作用下ka/kw不同時(shí)超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及土層沉降隨時(shí)間的變化.由圖可以看出,三角形荷載作用下超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力和固結(jié)度的變化規(guī)律與正弦荷載作用下的規(guī)律基本相同.ka/kw較大時(shí),超孔隙氣壓力很快消散到0,然后在0附近上下振蕩;ka/kw越大,超孔隙氣、水壓力消散越快,超孔隙氣、水壓力的峰值越小.超孔隙水壓力雖不類似超孔隙氣壓力很快消散至0附近,但整體呈消散趨勢(shì)(中心線向下傾斜).另外,由圖8(c)可以看出,ka/kw越大,固結(jié)速度越快.

3.3 梯形荷載

圖9為梯形荷載作用下ka/kw不同時(shí)超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及固結(jié)度隨時(shí)間的變化規(guī)律.由圖可以看出,梯形荷載作用下的變化規(guī)律與正弦荷載、三角形荷載作用下的變化規(guī)律類似.另外,在每個(gè)周期的中間段,均有一個(gè)帶凹陷的“平臺(tái)期”,而在“平臺(tái)期”的兩端各有一個(gè)凸起,這是由于土體黏滯性的存在,土中孔隙壓力的消散尚未適應(yīng)荷載的突變引起的.另外,ka/kw越大,超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力消散越快,土體固結(jié)速度越快.

圖9 梯形荷載作用下ka/kw不同時(shí)非飽和黏彈性地基的固結(jié)特性隨時(shí)間的變化Fig.9 Change in consolidation characteristics of viscoelastic unsaturated soils for trapezoidal loading at diあerent values of ka/kw

4 結(jié)束語(yǔ)

本工作基于已有的非飽和黏彈性地基一維固結(jié)理論,應(yīng)用Merchant黏彈性模型,運(yùn)用Laplace變換和Cayley-Hamilton方法,求得了正弦荷載、三角形荷載和梯形荷載3種情況下的非飽和黏彈性地基一維固結(jié)時(shí)超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力以及土層沉降的解;然后,采用Crump及Durbin方法實(shí)現(xiàn)Laplace逆變換,獲得了半解析解;最后,通過算例分析了3種循環(huán)荷載作用下非飽和黏彈性地基的一維固結(jié)特性.研究結(jié)果表明:①循環(huán)荷載作用下超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力和固結(jié)度的變化與荷載類似,呈周期性變化;②循環(huán)荷載作用下非飽和黏彈性地基固結(jié)時(shí)的超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力的變化規(guī)律基本相同,當(dāng)ka/kw越大時(shí),超孔隙氣壓力越快消散到0,超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力消散越快;③循環(huán)荷載作用下非飽和土黏彈性地基的固結(jié)過程中,ka/kw越大,固結(jié)速度越快;④循環(huán)荷載作用下超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力和固結(jié)度呈上下振動(dòng)趨勢(shì),但從整體上看,變化曲線的中心線向下傾斜,超孔隙壓力越來越小(一直在消散),而固結(jié)度越來越大(土體一直在固結(jié)).

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