彈性基底粘接薄板起皺的非局部分析

彭香武,趙建中,郭興明

微納米薄膜/基底結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在納機(jī)電系統(tǒng)(nano electro-mechanical system,NEMS)中有著十分重要的地位.在復(fù)合微納電子組件(薄膜、基底、封裝)生產(chǎn)過程中,由于熱學(xué)與力學(xué)參量的失配,薄膜在各種成型工藝過程的加熱冷卻,會引起殘余熱應(yīng)力或錯(cuò)位應(yīng)變,從而使得NEMS失效.事實(shí)上,Bowden等[1]和Chen等[2]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),彈性基底加熱后粘合一層薄膜,待系統(tǒng)冷卻后,未脫粘的薄膜會自發(fā)形成有序的結(jié)構(gòu)(起皺或屈曲).對于薄膜/基底系統(tǒng),薄膜發(fā)生起皺失穩(wěn)但仍未脫粘.Allen[3]通過研究夾層板模型,得出臨界薄膜力由基底的模量所決定的結(jié)論.Cerda等[4]對薄膜起皺的幾何和物理原理進(jìn)行了闡述.Chen等[5]和Song等[6]分別使用數(shù)值法和解析法對3種起皺模態(tài)所具有的勢能進(jìn)行了分析,其中基底被模擬為半無限空間.Huang等[7]和Li等[8]根據(jù)實(shí)際基底為有限厚的情況,分別對條紋形和棋盤形的起皺模態(tài)進(jìn)行了非線性分析.Zhou等[9]研究了石墨烯圓片覆蓋在球基體上的非局部起皺行為.通過與分子動(dòng)力方法的模擬結(jié)果比較,Yakobson等[10]發(fā)現(xiàn)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型在微納尺度器件的力學(xué)問題具有相當(dāng)?shù)挠行?關(guān)于微納尺度的研究表明需要建立更為精確的理論.Eringen[11-12]通過取消“局部化假設(shè)”建立了非局部理論,認(rèn)為一點(diǎn)處的應(yīng)力應(yīng)與整個(gè)變形物體的應(yīng)變有關(guān).Pradhan等[13-14]和Behfar等[15]利用非局部理論研究了納米板和石墨烯的振動(dòng)問題.Peng等[16]和劉亮等[17]利用非局部理論對復(fù)合粘接材料系統(tǒng)屈曲進(jìn)行了尺度分析.

本工作研究了粘接在彈性基底上的薄板的單軸受壓起皺問題,利用彈性屈曲理論和非局部理論分別對薄板和彈性基底進(jìn)行了建模,其中界面條件遵循“位移連續(xù)”和“零剪切應(yīng)力”,分析了彈性基底的下表面條件、泊松比以及彈性基底與薄板的厚度比、模量比對薄板系統(tǒng)起皺行為的影響.模型的計(jì)算結(jié)果對微納尺度復(fù)合材料系統(tǒng)的構(gòu)建具有參考意義.

1 理論模型與屈曲分析

薄板/彈性基底系統(tǒng)的條紋形起皺如圖1所示.由圖可以看出,厚度為h的薄板完全粘接在厚度為H的彈性基底上.薄板和彈性基底的彈性模量分別為Ep,Es,泊松比分別為μp,μs.單軸受壓的薄板發(fā)生條紋形起皺,且起皺過程中薄板和彈性基底粘接完好.

圖1 彈性基底上粘接薄板的條紋形起皺Fig.1 Stripes wrinkle of thin plate bonded on an elastic substrate

1.1 薄板的屈曲控制方程

由Kirchhoあ板假設(shè)可知,薄板上點(diǎn)(x,y,z)的位移場為

式中,u,v,w為中面上對應(yīng)點(diǎn)的位移.

薄板的幾何方程為

非局部本構(gòu)方程可表示為[12,16]

薄板的內(nèi)力和內(nèi)力矩可表示為

把式(3)代入式(4),則有

若不計(jì)體力,則薄板的力和力矩的平衡方程為

式中,q表示彈性基底對薄板的法向作用.

令Nx=N,Ny=0,Nxy=0,則其自然滿足式(6)和(7).同時(shí),彈性基底等效為Winkler彈性后,應(yīng)有q=Kww,其中Kw為對應(yīng)變形的Winkler彈性系數(shù).薄板的非局部屈曲控制方程可表示為

若考慮薄板的條紋形模態(tài)屈曲,則有w=Acos(kx).將其帶入式(9),可得

1.2 Winkler彈性系數(shù)的計(jì)算

當(dāng)薄板發(fā)生條紋形模態(tài)起皺時(shí),彈性基底也相應(yīng)地發(fā)生變形,如圖2所示.

圖2 彈性基底的變形Fig.2 Deformation of elastic substrate

設(shè)彈性基底上點(diǎn)(x,z)的位移為(ux,uz),則其應(yīng)變?yōu)?/p>

從而,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可表示為

彈性基底的非局部本構(gòu)方程為[12]

若忽略體力,彈性基底的受力平衡方程為

聯(lián)立式(12),(13)和(14),可推得應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程為

相應(yīng)的應(yīng)力分量分別為

假設(shè)應(yīng)力函數(shù)Φ(x,z)=F(z)cos(kx),將其代入相容方程(15),整理可得

特征方程為

其特征根為

因此,方程(17)的解為

式中,a0,a1,b0,b1,c,d都是待定系數(shù).

從而,所求的應(yīng)力函數(shù)為

進(jìn)而,相應(yīng)的應(yīng)力分量分別為

對應(yīng)的位移分別為

下面考慮彈性基底的邊界條件.若彈性基底下表面為完全粘接界面,此時(shí)彈性基底上表面與表層板粘結(jié),其變形應(yīng)與薄板的條紋形模態(tài)一致,且剪應(yīng)力為0,下表面與剛性支撐完全粘接,其位移也為0,即有

另外,當(dāng)非局部參數(shù)退化為0時(shí),應(yīng)有

聯(lián)立式(24)和(25),最終得到Winkler彈性系數(shù)為

若彈性基底的下表面為滑動(dòng)界面,則彈性基底的下表面所受剪應(yīng)力為0.同時(shí),彈性基底的上表面與薄板粘結(jié),其變形應(yīng)為條紋形,且剪應(yīng)力為0.因此有

同樣,式(25)也成立.

聯(lián)立式(25)和(27),最終得到Winkler彈性系數(shù)為

2 算例與討論

下面討論非局部理論下各種參數(shù)對系統(tǒng)屈曲行為的影響,首先引進(jìn)如下無量綱參數(shù):

2.1 彈性基底的下表面

當(dāng)彈性基地的下表面不同時(shí),計(jì)算得到的Winkler彈性系數(shù)也不同,因此需要了解下界面條件對薄板起皺行為的影響.取薄板的厚度h=10 nm,彈性基底的泊松比μs=0.4,薄板與彈性基底的模量比=100,彈性基底與薄板的厚度比H/h=10,則可得到不同界面下非局部參數(shù)e0a對臨界載荷的影響,結(jié)果如圖3所示.

圖3 非局部參數(shù)對臨界載荷和波長的影響Fig.3 Eあects of nonlocal parameter on critical load and wavelength

由圖3可以看出:不論是完全粘接界面還是自由滑動(dòng)界面,起皺載荷Nc和波長λc均隨著非局部參數(shù)e0a的增大而下降;與自由滑動(dòng)界面相比,完全粘接界面下的臨界載荷Nc更大,而波長λc更小.

2.2 泊松比μs

彈性基底決定了Winkler彈性系數(shù),因此彈性基底的泊松比影響薄板起皺行為.圖4為完全粘接界面下臨界載荷比和波長比關(guān)于泊松比μs的變化,其中為經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)(非局部參數(shù)e0a=0)中對應(yīng)的臨界載荷和波長.薄板的厚度h=10 nm,彈性模量比=100和厚度比H/h=10.

圖4 臨界載荷比和波長比關(guān)于泊松比的變化Fig.4 Curves of critical load ratio and wavelength ratio on Poission ratio

由圖4可以看出:非局部參數(shù)e0a越大,臨界載荷比隨著泊松比μs的增大而下降的趨勢越明顯;波長比隨著泊松比μs的變化基本不變.由此可見,引入非局部參數(shù)e0a后,薄板發(fā)生起皺時(shí)的臨界載荷對彈性基底的不可壓縮性變得敏感,而波長不受影響.

2.3 厚度比H/h

彈性基底和薄板的厚度比對Winkler彈性系數(shù)的影響較大,因此對薄板起皺行為也有影響.圖5為完全粘接界面下臨界載荷比和波長比關(guān)于厚度比H/h的變化,其中薄板的厚度h=10 nm,彈性基底的泊松比μs=0.4,彈性模量比=100.固定非局部參數(shù)e0a的情況下,臨界載荷比和波長比均隨著厚度比H/h的增大而增大,且趨于1.由此可見,彈性基底越薄,非局部效應(yīng)越顯著.另外,彈性基底的厚度遠(yuǎn)大于薄板時(shí),非局部效應(yīng)可忽略.

圖5 臨界載荷比和波長比關(guān)于厚度比的變化Fig.5 Curves of critical load ratio and wavelength ratio on thickness ratio

2.4 薄板與彈性基底的模量比

臨界載荷和波長的表達(dá)式中均含有表示薄板和彈性基底的模量比的變量,因此模量比對薄板的起皺行為有影響.圖6為完全粘接界面下臨界載荷比和波長比關(guān)于模量比的變化,其中薄板的厚度h=10 nm,彈性基底的泊松比μs=0.4,厚度比H/h=10.由圖6可以看出:隨著模量比的增大,臨界載荷比和波長比均增大,且趨于1;對于較小的模量比,非局部參數(shù)e0a越大,臨界載荷比和波長比的數(shù)值越小.因此,對于粘接在彈性基底的薄板系統(tǒng),彈性基底的模量比薄板更大時(shí),薄板的起皺行為具有顯著的非局部效應(yīng).

3 結(jié)束語

本工作基于非局部理論對彈性基底上粘接薄板的起皺問題進(jìn)行了研究,分析了彈性基底的下表面、泊松比以及薄板與彈性基底的厚度比、模量比對薄板起皺行為的影響.研究結(jié)果表明,非局部參數(shù)的引入降低了薄板的有效抗彎剛度和彈性基底對薄板的法向作用,從而使得薄板發(fā)生起皺所需的載荷和起皺波長均減小.因此,對于厚軟的彈性基底,薄板系統(tǒng)的非局部效應(yīng)可忽略.

圖6 臨界載荷比和波長比關(guān)于楊模量比的變化Fig.6 Curves of critical load ratio and wavelength ratio on modulus ratio

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