從單擺到微分方程近似解的新解法

從高中物理教材對單擺簡諧性質(zhì)的介紹出發(fā)，更深一步認(rèn)識簡單的擺的運動性質(zhì)和視為簡諧運動的條件，聯(lián)系單擺作為計時器件的不足。通過用不同方式化簡微分方程和使用計算機計算數(shù)值解并繪圖，針對單擺模型的理論計算和現(xiàn)實中的摩擦阻尼試進行進一步討論。

在高中物理選修課上我們已學(xué)習(xí)過單擺系統(tǒng)在小角度擺動的條件下可以近似為簡諧運動，并了解了通過單擺測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?；在實驗中，我們得到了與實際值較為符合的實驗結(jié)果，可見這樣的近似是合理的。然而，在實際生活中擺角并不能做到很小，否則單擺的能量很快回衰減到0，同時也會給測量上帶來困難。因此在實際生活中，單擺的周期存在一定的誤差，進一步計算表明，當(dāng)擺角為5°時周期誤差小于0.5%。本文討論單擺在非小角度情況下的運動規(guī)律，得到非小角度下單擺周期的修正公式，并以此為基礎(chǔ)討論其在實際生活中的應(yīng)用。誠然，單擺作為力學(xué)經(jīng)典模型之一，其理論和各個方向的應(yīng)用早已被討論透徹，但從學(xué)生的角度還有一些東西可以發(fā)掘探究。

求理想模型中單擺的周期

初解方程

假設(shè)單擺長l，小球質(zhì)量為m，初始擺角為α，空氣摩擦不計。

從表中我們可以看到，當(dāng)單擺的擺角增大時，單擺周期也隨之增大，并且偏差有加速增加的趨勢。

修正周期公式

1）通過待定系數(shù)求解。

單擺在任意位置的運動狀態(tài)都是確定的，因此即使在大角度下單擺依舊做周期運動，只是周期和周期內(nèi)角度關(guān)于時間的分布有所改變。因此，我們不妨假設(shè)新的單擺仍做簡諧運動，并通過待定系數(shù)法求解使得在某一最大擺角下最貼近真實運動的ω。

可以看到，待定系數(shù)方法修正的結(jié)果與實際情況最為接近，即使在60度的擺角之下，依然和數(shù)值解符合的很好。而高階小量修正法的結(jié)果更加簡潔明了，易于應(yīng)用。另外，在“通過高階小量展開近似求解”的討論中，我們將其（1）的式子展開到二次項，但只將其（2）的式子展開一次項，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)后者更精確，這也是很有意思的。

在實際中的應(yīng)用

擺鐘很早就被廣泛應(yīng)用于實際生活中。如果不能夠充分考慮較大擺角下面周期變化，可能使得擺鐘有較大的誤差。

考慮空氣阻力

定性分析：在一個單擺周期中，空氣阻力產(chǎn)生的作用大約一半朝正放向，一半朝負(fù)方向，但總阻礙小球擺動。鑒于空氣阻力始終與單擺運動方向相反，因此可以預(yù)見，由于空氣阻力的存在，單擺的周期會有所變長。同時，當(dāng)小球質(zhì)量不太小，最大速度不太大時，系統(tǒng)在一個適合觀察的時段內(nèi)擺動幅度縮小不太過明顯，可近似認(rèn)為做周期運動。

對此方程，在各項數(shù)值確定的情況下可以方便地通過計算機做出將來的運動圖像，由此即可與理想狀況進行比較。

其他在單擺中存在而能夠被忽略或較難以研究的因素

考慮地球引力場是有心力場；考慮地球參考系中由地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科里奧利加速度；懸繩所掛節(jié)點在多次扭轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的熱量損失；繩能被視作具有非常大勁度系數(shù)的彈性繩等。

結(jié)論

雖然單擺在實際生活中的作用已經(jīng)逐漸減小，但是在單擺求解過程中的思考卻可以給我?guī)砗芏鄦l(fā)。本文從單擺的大角度求解出發(fā)，從數(shù)值求解，泰勒展開求解以及待定系數(shù)優(yōu)化誤差三個角度分別討論了單擺在大角度情況下周期的變化，并驗證了，我們所提出的泰勒展開法與待定參數(shù)法所得到的結(jié)果與實際結(jié)果在60度的大擺角的情況下依然相當(dāng)吻合。

同時基于誤差最小優(yōu)化參數(shù)的方法是我們獨立提出的具有創(chuàng)新性的一種微分方程的新解法，這對微分方程近似解求解有著積極的指導(dǎo)作用。

參考文獻

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（作者簡介：朱嘉瑋，江蘇省丹陽高級中學(xué)。）endprint