處理球的“內(nèi)切”“外接”問題

崔麗麗

與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.作為這種特殊的位置關系在高考中也是考查的重點，但學生們又因缺乏較強的空間想象能力而感到模糊.解決這類題目時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置及球心的位置，畫好截面圖是關鍵，可使這類問題迎刃而解.

一、棱錐的內(nèi)切、外接球問題

例1正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？

分析運用正四面體的二心合一性質，作出截面圖，通過點、線、面關系解之.

解如圖1所示，設點O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a.由圖形的對稱性知，點O也是外接球的球心.設內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R.

正四面體的表面積S表=4×34a2=3a2.

正四面體的體積VA-BCD=13×34a2×AE

=312a2AB2-BE2

=312a2a2-33a2=212a3.

∵13S表·r=VA-BCD，∴r=3VA-BCDS表=3×212a33a2=612a.

在Rt△BEO中，BO2=BE2+EO2，即R2=33a2+r2，得R=64a，得R=3r.

點評由正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即內(nèi)切球的半徑為h4（h為正四面體的高），且外接球的半徑為3h4，從而可以通過截面圖中Rt△OBE建立棱長與半徑之？淶墓亍糐P〗系.

二、球與棱柱的組合體問題

1.正方體的內(nèi)切球：球與正方體的每個面都相切，切點為每個面的中心，顯然球心為正方體的中心.設正方體的棱長為a，球半徑為R.

如圖3所示，截面圖為正方形EFGH的內(nèi)切圓，得R=a2.

2.與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，如圖4所示，作截面圖，圓O為正方形EFGH的外接圓，易得R=22a.

3.正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上，如圖5所示，以對角面AA1作截面圖，得圓O為矩形AA1C1C的外接圓，易得R=A1O=32a.

例2在球面上有四個點P，A，B，C.如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球的表面積是.

解由已知可得PA，PB，PC實際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點的三條棱，正方體的對角線長就是球的直徑，連接過點C的一條對角線CD，則CD過球心O，對角線CD=3a，

∴S球表面積=4π·32a2=3π·a2.

練習一棱長為2a的框架型正方體，內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球，求當球與正方體棱恰好接觸但又不至于變形時的球的體積.（答案為V=34（2a）3=62a3）

4.構造直三角形，巧解正棱柱與球的組合問題：

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點處，由球心、底面中心及底面一頂點構成的直角三角形便可得球半徑.

例3已知三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點在球O1上，又知球O2與此正三棱柱的5個面都相切，求球O1與球O2的體積之比與表面積之比.

分析先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關系.

解如圖6所示，由題意得兩球心O1，O2是重合的，過正三棱柱的一條側棱AA1和它們的球心作截面，設正三棱柱底面邊長為a，則R2=36a，正三棱柱的高為h=2R2=33a，由Rt△A1D1O中，得

R21=33a2+R22=33a2+36a2=512a2，

∴R1=512a，

∴S1∶S2=R21∶R22=5∶1，V1∶V2=55∶1.

練習正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各頂點都在半徑為R的球面上，求正四棱柱的側面積的最大值.（答案為42R2）

點評求解“內(nèi)切”和“外接”等有關問題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要是指特殊的點、線、面之間關系，然后把相關的元素放到這些關系中解決問題，作出合適的截面圖來確定有關元素間的數(shù)量關系，是解決這類問題的最佳途徑.endprint