單次空時(shí)域并行欠采樣下的頻率和到達(dá)角聯(lián)合估計(jì)?

黃翔東 劉明卓 楊琳 劉琨 劉鐵根

1)(天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,天津 300072)

2)(天津大學(xué)精密儀器與光電子學(xué)院,天津 300072)

單次空時(shí)域并行欠采樣下的頻率和到達(dá)角聯(lián)合估計(jì)?

黃翔東1)劉明卓1)楊琳1)劉琨2)?劉鐵根2)

1)(天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,天津 300072)

2)(天津大學(xué)精密儀器與光電子學(xué)院,天津 300072)

欠采樣,到達(dá)角估計(jì),頻率估計(jì),中國(guó)余數(shù)定理

1 引 言

在雷達(dá)[1]、無線通信系統(tǒng)[2,3]、電子戰(zhàn)等被動(dòng)目標(biāo)感知領(lǐng)域[4,5],入射電磁波的波長(zhǎng)和到達(dá)角(direction of arrival,DOA)是至關(guān)重要的兩個(gè)待測(cè)物理量.然而,隨著S波段(如美國(guó)宙斯盾防御系統(tǒng))、C波段、X波段(如美軍薩德反導(dǎo)系統(tǒng))、K波段等高頻段雷達(dá)應(yīng)用在近年來逐漸展開,客觀上要求在信號(hào)處理領(lǐng)域研發(fā)出相應(yīng)的入射波長(zhǎng)(實(shí)際上是頻率的檢測(cè))和DOA的檢測(cè)算法.然而以上高頻段應(yīng)用也給信號(hào)檢測(cè)帶來兩個(gè)突出問題:一方面,由于Ngsuist采樣定律要求采樣速率大于等于檢測(cè)信號(hào)最高頻率的兩倍,現(xiàn)有的模數(shù)轉(zhuǎn)換器(analog to digital converter,ADC)完全達(dá)不到如此高的采樣要求;另一方面,由于傳統(tǒng)均勻陣列天線要求陣元間距小于等于信號(hào)最小波長(zhǎng)的一半,故以上波段的雷達(dá)陣列天線的陣元布置相當(dāng)困難(如X波段AN/TPY-2的雷達(dá)系統(tǒng)需在9.2 m2的小范圍內(nèi)密集安裝30464個(gè)天線陣元),必然使得陣元間耦合變得非常嚴(yán)重.因此,急需研發(fā)出可在空間域和時(shí)間域均做稀疏欠采樣下的低成本、低復(fù)雜度、低功耗的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)算法.

目前,頻率與DOA的聯(lián)合估計(jì)的解決方案絕大多數(shù)都基于傳統(tǒng)特征空子空間分解法(如:多重信號(hào)分類(multiple signal classi fication,MUSIC)算法、借助旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)(estimating signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法或最大似然(maximum likelihood,ML)算法.文獻(xiàn)[6]結(jié)合快速傅里葉變換(fast fourier transform,FFT)和ML算法實(shí)現(xiàn)空時(shí)域參數(shù)聯(lián)合估計(jì),但是該算法需要通過多次迭代進(jìn)行多維度搜索,計(jì)算復(fù)雜度較高;文獻(xiàn)[7—10]利用子空間算法來實(shí)現(xiàn)頻率與DOA的聯(lián)合估計(jì),其中文獻(xiàn)[7]提出了長(zhǎng)基線和短基線的概念,在均勻線陣中不同位置的陣元上應(yīng)用不同的采樣速率,利用ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)頻率和DOA聯(lián)合估計(jì);文獻(xiàn)[9]提出一種樹形結(jié)構(gòu)FSF(frequency-spacefrequency)-MUSIC算法,即先后多次利用MUSIC算法進(jìn)行特征值分解與變換,從而實(shí)現(xiàn)頻率與DOA的聯(lián)合估計(jì).但是以上算法都是基于傳統(tǒng)均勻線陣和Nysuist采樣定理,且只適合檢測(cè)低于10 MHz的信號(hào).

近年來,稀疏陣列因其有靈活的布置方案(如最小冗余陣列[11]、最小空洞陣列[12]和互素陣列[13?15]等)、更低的硬件成本和空間限制(有利于減小陣元間耦合),故吸引了越來越多的關(guān)注.但這些稀疏陣列中,最小冗余陣列和最小空洞陣列不具有閉合的推導(dǎo)形式,因而難以在實(shí)際工程中應(yīng)用;而Vaidyanathan提出的互素陣列(coprime array)[13?15]及其改進(jìn)后的版本[16]和稀疏嵌套陣列[17?19],在某些局部陣元區(qū)域,仍不是稀疏的.在設(shè)計(jì)DOA估計(jì)算法方面,通常需要將這些稀疏陣列的觀測(cè)協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)化為Nysuist空間采樣的協(xié)方差矩陣,再對(duì)其做MUSIC分解而測(cè)算出入射方位角值.但這些估計(jì)器無法在欠采樣率條件下估計(jì)入射信號(hào)的頻率值(文獻(xiàn)[11—19]均把入射頻率當(dāng)做已知量來處理),故僅是單參數(shù)估計(jì)器,而不是聯(lián)合估計(jì)器.

文獻(xiàn)[20]提出時(shí)空欠采樣條件下的頻率與DOA聯(lián)合估計(jì)算法,但是該算法需要在單陣元上進(jìn)行多次時(shí)域欠采樣(各次采樣都得到等長(zhǎng)的快拍序列,采樣次數(shù)與陣元數(shù)目相等),并借助離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)和中國(guó)余數(shù)定理得到模糊頻率估計(jì),再利用多陣元的采樣值的DFT相位差獲得DOA估計(jì)值.很顯然,該方法對(duì)單陣元做多次采樣,不僅耗費(fèi)了過多的延時(shí),不利于捕獲快速目標(biāo),而且會(huì)增大數(shù)據(jù)處理負(fù)擔(dān).本文提出單次空時(shí)欠采樣下的基于互素稀疏陣列的頻率與DOA聯(lián)合估計(jì)算法,該算法基于一種具有高度稀疏度的陣列,把閉式魯棒中國(guó)余數(shù)定理(closed-form Chinese remainder theorem,closedform CRT)[21]與Tsui譜校正器[22]結(jié)合起來,僅僅依據(jù)稀疏分布的陣元上做單次并行欠采樣下的快拍數(shù)據(jù),即可獲得高精度的頻率與DOA的聯(lián)合估計(jì),從而大大縮短了延時(shí).仿真結(jié)果證明了本文所提出的聯(lián)合估計(jì)算法的可行性,并展現(xiàn)出優(yōu)良的性能.

2 互素稀疏陣列與信號(hào)模型

互素稀疏陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,由L(L>1)個(gè)傳感器陣元組成非均勻稀疏陣列.令陣元間距dl具有如下形式:

其中,λ為允許的最高檢測(cè)頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)(本文稱之為單位波長(zhǎng)),Mθ為正整數(shù),而Γ1,Γ2,···,ΓL?1互為素?cái)?shù),顯然,(1)和 (2)式可以保證dl?λ/2,l=1,2,···,L?1,即陣列具有很高的空間稀疏度.

不失一般性,將圖1的DOA為θ0的入射的遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)的窄帶信號(hào)表示如下:

其中A0,f0,φ0分別表示信號(hào)的幅值、頻率和初相.

圖1稀疏陣列的每個(gè)陣元上都配置了兩個(gè)采樣速率分別為fs1,fs2的ADC采樣器,對(duì)其做如下數(shù)值設(shè)置:

圖1 互素稀疏陣列結(jié)構(gòu)Fig.1.Structure of the proposed relaxed coprime sparse array.

其中η1和η2是互素整數(shù),Mf是正整數(shù).對(duì)Mf,η1,η2做適度設(shè)置,可以使得fs1,fs2?f0,也就是說,任意陣元上得到的都是時(shí)間域高度欠采樣的快拍數(shù)據(jù).

聯(lián)合估計(jì)器的任務(wù),就是在上述空間域和時(shí)間域均為高度欠采樣的苛刻條件下,僅僅依靠L陣元上單次并行欠采樣的快拍數(shù)據(jù)(文獻(xiàn)[20]需要在單陣元上做多次采樣),高精度地估計(jì)出入射信號(hào)的頻率值和DOA值.

3 頻率估計(jì)算法

3.1 單目標(biāo)頻率估計(jì)模型

考慮噪聲和相移的因素,不妨將第l個(gè)陣元上的接收信號(hào)表示為

其中φl(shuí)表示信號(hào)到達(dá)陣元的相位,ξl(t)表示零均值高斯白噪聲.將t=n/fs1,t=n/fs2代入(5)式,可得到兩個(gè)長(zhǎng)度為Mf的序列,

其中,n=0,1,···,Mf?1.

由于欠采樣,(6)式中的f0/fs1和f0/fs2必然都大于1,從而有

聯(lián)立(6)和(7)式,則xl,1(n)和xl,2(n)可進(jìn)一步表示為

其中,n=0,···,Mf?1.

為方便表示,令

將(4)和(9)式代入(7)式中,有

(10)式完全符合文獻(xiàn)[21]的閉式魯棒中國(guó)余數(shù)定理模型為模值,為余數(shù),n1,n2為折疊整數(shù)),關(guān)鍵在于兩個(gè)歸一化頻率的估計(jì).另外,為估計(jì)θ0,(8)式的相位值φl(shuí)也需估計(jì)出來.

3.2 基于CRT和譜校正的單目標(biāo)頻率和相位估計(jì)

DFT是常用的頻率和相位測(cè)量手段,然而由于固定的采樣速率與未知的信號(hào)頻率通常不成整數(shù)倍關(guān)系,無法直接從離散序列的DFT中獲得準(zhǔn)確的頻率、幅值和相位估計(jì)值.故需要借助頻譜校正措施獲得這3個(gè)參數(shù)的估計(jì).文獻(xiàn)[22]提出的Tsui估計(jì)器,只需通過1次迭代操作即可獲得高精度頻率估計(jì)值(其頻率估計(jì)誤差方差接近克拉美-羅理論下限).故本文采用Tsui估計(jì)器進(jìn)行頻譜校正,其流程如圖2所示.

結(jié)合3.1節(jié)的單目標(biāo)模型和圖2流程,可在各陣元上獲得目標(biāo)源的頻率估計(jì)和到達(dá)相位估計(jì),步驟如下.

圖2 Tsui估計(jì)器流程圖Fig.2.Overall data flow of the Tsui estimator.

步驟1在任意第l個(gè)陣元上(l=1,2,···,L),對(duì)欠采樣序列xl,1(n),xl,2(n)均按照?qǐng)D2的Tsui譜校正流程進(jìn)行參數(shù)估計(jì),分別得到參數(shù)估計(jì)集

步驟2構(gòu)造余數(shù)模值和重構(gòu)通?道數(shù)J=2.將這些參數(shù)代入附錄A所列出的閉式中國(guó)余數(shù)定理重構(gòu)流程,得到第l個(gè)陣元上的頻率估計(jì)結(jié)果

步驟3構(gòu)造均值矢量取其相角作為第l個(gè)陣元的相位估計(jì),即

步驟3的矢量平均操作,起到了抑制噪聲干擾、提升φl(shuí)估計(jì)精度的作用,為后續(xù)DOA估計(jì)打下基礎(chǔ).

3.3 最終信號(hào)頻率估計(jì)

既然DOA是在估計(jì)入射頻率f0后測(cè)出的,若f0的估計(jì)精度不足,其估計(jì)誤差會(huì)蔓延到DOA估計(jì)中去.提高f0估計(jì)精度的解決辦法是,對(duì)所獲得的各陣元入射頻率的粗估計(jì)值做平均,即

4 DOA估計(jì)

假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)s0(t)以角度θ0入射到圖1所示的稀疏陣列天線上,則其第l個(gè)陣元和第l+1個(gè)陣元所接收到的相位差可以表示為

由于陣元間距dl?λ/2,導(dǎo)致相位差必然包含2π整周模糊,即

其中nl表示未知整數(shù),故mod 2π(mod表示模除操作).將(12)和(13)式整理合并,

將(1)式代入到(14)式,有

令

聯(lián)立(15)和(16)式,有

顯然,(17)式符合閉式魯棒CRT模型,其中M1,···,ML?1表示模值,r1,···,rL?1表示余數(shù),n1,···,nL?1表示折疊整數(shù).把CRT的重構(gòu)值和已得到的波長(zhǎng)估計(jì)值代入(16)式,即可得DOA估計(jì)值

5 聯(lián)合估計(jì)器的總流程及其性能分析

5.1 聯(lián)合估計(jì)器總流程

基于前兩節(jié)的闡述,可將空時(shí)欠采樣下入射信號(hào)的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)器的流程總結(jié)如圖3所示.

從圖3可以看出,只需將L個(gè)稀疏陣元上并行采樣得到的欠采樣序列對(duì){xl,1(n),xl,2(n),l=1,2,···,L}饋入聯(lián)合估計(jì)器,經(jīng)基于CRT和譜校正的頻率、相位估計(jì)器(詳見3.2節(jié)的三步驟)做并行處理后,對(duì)其輸出的頻率估計(jì)值做簡(jiǎn)單平均即可得到入射信號(hào)頻率估計(jì)值對(duì)其輸出的相位估計(jì)值?φ1,···,?φL做差分、2π模除、對(duì)應(yīng)因子相乘和閉式魯棒CRT重構(gòu)、反三角運(yùn)算處理后,即可得到DOA估計(jì)值

圖3 空時(shí)欠采樣下入射信號(hào)的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)流程圖Fig.3.Overall data flow of the proposed frequency and DOA joint estimator.

5.2 聯(lián)合估計(jì)器性能分析

入射信號(hào)頻率測(cè)量精度和DOA估計(jì)的噪聲魯棒性這兩方面性能是工程應(yīng)用中所關(guān)心的.

入射信號(hào)的頻率測(cè)量精度可由足夠多的快拍數(shù)Mf和平均操作來保證.從圖3可看出,對(duì)各陣元已經(jīng)測(cè)出的入射頻率估計(jì)結(jié)果做平均,可起到抑制噪聲干擾,提升入射信號(hào)測(cè)量精度的作用.

而DOA估計(jì)的噪聲魯棒性是由CRT重構(gòu)的余數(shù)誤差容許上限決定的.文獻(xiàn)[21]已證明:閉式魯棒CRT的余數(shù)誤差容許上限等于各模值最大公約數(shù)(greatest common divisor,gcd)的1/4,由于(16)式CRT模型中的模值為Ml=MθΓl,l=1,2,···,L?1,故其估計(jì)誤差容許上限為gcd{M1,···,ML?1}/4=Mθ/4. 令設(shè)第l個(gè)陣元與第l+1個(gè)陣元的理論相位差為?φl(shuí),相位差測(cè)量誤差為εl,即有

則其CRT重構(gòu)的余數(shù)誤差應(yīng)滿足

即相位差測(cè)量誤差εl要求滿足

(21)式表明: 素?cái)?shù)組{Γ1,···,ΓL?1}值越大(對(duì)應(yīng)陣元間距dl也越大),相位差測(cè)量誤差的容錯(cuò)上限就越小.從而可得出結(jié)論:DOA估計(jì)的噪聲魯棒性與陣列的稀疏度成反比.

6 實(shí) 驗(yàn)

6.1 頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)

將圖1的陣列模型參數(shù)設(shè)置如下:θ0=38?,假設(shè)檢測(cè)X波段(即f∈[8,12]GHz,相應(yīng)的陣列單位波長(zhǎng)λ=c/fmax=0.025 m);本地陣列信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)設(shè)為5 dB,陣元數(shù)L=3,Mθ=2,互素整數(shù){Γ1,Γ2}={5,7}. 根據(jù)(1)和(2)式可算出陣元間距:{d1,d2}={0.175 m,0.125 m}. 顯然,d1,d2?λ/2,陣列具有很高的空間稀疏度.

對(duì)(3)式的目標(biāo)源參數(shù)設(shè)置如下:f0=8 GHz(λ0=c/f0=0.0375 mm),A0=2,φ0=100?;另外,互素?cái)?shù)組{η1,η2}={5011,5021},快拍數(shù)Mf=1024.根據(jù)(4)式將兩個(gè)ADC的采樣速率設(shè)置為:fs1=Mfη1=5.131264 MHz,fs2=Mfη2=5.141504 MHz.顯然,fs1,fs2?f0,屬于高度時(shí)域欠采樣情況.

表1列出了本文提出的聯(lián)合估計(jì)器測(cè)算的各陣元頻率檢測(cè)值、最終的頻率估計(jì)值和DOA估計(jì)值等實(shí)驗(yàn)結(jié)果(文獻(xiàn)[20]的聯(lián)合估計(jì)器只能在多次欠采樣條件下工作,故無法和在單次并行欠采樣條件下工作的本文提出的聯(lián)合估計(jì)器做對(duì)比).

表1 頻率與DOA聯(lián)合估計(jì)實(shí)驗(yàn)參數(shù)與結(jié)果Table 1.Parameters and results of the frequency and DOA joint estimation.

從表1可推出:頻率估計(jì)的相對(duì)誤差僅為|?f0?f0|/f0×100%=1.575×10?7%,而DOA測(cè)量誤差僅為0.0602?.

6.2 不同的時(shí)間域欠采樣對(duì)頻率估計(jì)的噪聲魯棒性的影響

時(shí)間域欠采樣程度可通過改變互素整數(shù)η1,η2值來調(diào)整. 保留6.1節(jié)的仿真參數(shù)設(shè)置,考慮兩種互素整數(shù)取值情況:{η1,η2}={5011,5021}和{η1,η2}={7013,7019}(即對(duì)應(yīng)兩組采樣速率{fs1,fs2}={5.131264,5.141504}MHz和{fs1,fs2}={7.181312,7.187456}MHz);另外,設(shè)置信噪比測(cè)試區(qū)間為SNR∈[?25,5]dB,對(duì)每種SNR條件進(jìn)行1000次蒙特卡羅測(cè)試,若某次測(cè)試的頻率估計(jì)值?f0滿足|?f0?f0|

如圖4所示, 對(duì)于{η1,η2}={5011,5021}的情況,當(dāng)SNR>?6 dB,頻率檢測(cè)成功率達(dá)到100%,而對(duì)于{η1,η2}={7013,7019}的情況,當(dāng)SNR>?3 dB,頻率檢測(cè)成功率達(dá)到100%,即前

圖4 頻率檢測(cè)成功概率Fig.4.Probability of frequency detection.

6.3 不同的空間域欠采樣對(duì)DOA估計(jì)的噪聲魯棒性的影響

空間域欠采樣程度(即陣列稀疏度)可通過改變互素組{Γ1,···,ΓL?1}值來調(diào)整. 在保留6.1節(jié)的主要仿真參數(shù)設(shè)置的基礎(chǔ)上,僅考慮慮兩組Γ取值:{Γ1,Γ2}={5,7}和{Γ1,Γ2}={13,17},根據(jù)(1)和(2)式可算出陣元間距:{d1,d2}={0.175 m,0.125 m},{d1,d2}={0.425 m,0.325 m}.設(shè)定SNR∈[?25,5]dB,對(duì)于每種SNR條件進(jìn)行1000次蒙特卡羅測(cè)試,若某次測(cè)試的DOA測(cè)量值?θ0滿足|?θ0?θ0|<1?,則視為檢測(cè)成功,否則視為失敗.

如圖5所示,對(duì)于{Γ1,Γ2}={5,7}的情況,當(dāng)SNR>?6 dB時(shí),DOA檢測(cè)成功率達(dá)到100%.對(duì)于{Γ1,Γ2}={13,17}的情況,當(dāng)SNR>0 dB,DOA檢測(cè)成功率達(dá)到100%,即前者成功率曲線相比于后者左移了約6 dB,這就意味著當(dāng)互素組{Γ1,···,ΓL?1}取值較小時(shí)(即陣元間距較小, 陣列稀疏度較低),DOA估計(jì)的抗噪魯棒性更好.從而驗(yàn)證了5.2節(jié)得出的DOA估計(jì)的噪聲魯棒性與陣列的稀疏度成反比的結(jié)論.者的成功率曲線相比于后者約左移了3 dB.這就意味著當(dāng)互素組{η1,η2}取值較小時(shí),頻率估計(jì)的噪聲魯棒性更好.其原因在于:互素組{η1,η2}取值越小,采樣速率就越小,采樣時(shí)間間隔就越大,當(dāng)快拍數(shù)Mf固定時(shí),必然占據(jù)更長(zhǎng)的觀測(cè)時(shí)間,故頻率測(cè)量的噪聲魯棒性增強(qiáng).

圖5 DOA檢測(cè)成功概率Fig.5.Probability of DOA detection.

6.4 與經(jīng)典互素MUSIC分解的DOA估計(jì)器的性能比較

將本文提出的聯(lián)合估計(jì)器的DOA測(cè)量結(jié)果與文獻(xiàn)[16]提出的基于經(jīng)典互素陣列的(包括兩個(gè)子陣列)MUSIC估計(jì)器做對(duì)比,檢測(cè)頻段仍為f∈[8,12]GHz(對(duì)應(yīng)單位波長(zhǎng)λ=0.025 m).將(5)式信號(hào)模型中的參數(shù)共同設(shè)置為:入射信號(hào)頻率f0=9 GHz,幅值A(chǔ)0=2,初相φ0=100?;令θ0=45?,且兩個(gè)估計(jì)器的接收陣元個(gè)數(shù)同為L(zhǎng)=6個(gè),每個(gè)陣元收集的快拍數(shù)目同為Mf=512.需指出,文獻(xiàn)[16]的估計(jì)器僅能測(cè)算DOA值,無法實(shí)現(xiàn)時(shí)域欠采樣下的頻率估計(jì),因而本仿真只能把f0值當(dāng)作已知量來處理.另外,為實(shí)現(xiàn)L=6個(gè)陣元布置,該估計(jì)器還需指定1對(duì)素?cái)?shù)N=3,M=2,則其中第1個(gè)子陣的N=3個(gè)陣元的參考坐標(biāo)為

第2個(gè)子陣的2M?1=3個(gè)陣元的參考坐標(biāo)為

由于兩個(gè)子陣排布在同一直線上,則所有6個(gè)陣元的參考坐標(biāo)為故第2,3,4個(gè)陣元之間的距離僅為λ/2,在空間域不完全符合稀疏采樣.

對(duì)于本文的聯(lián)合估計(jì)器,設(shè)定(4)式中的兩個(gè)素?cái)?shù)為[η1,η2]=[5101,5107](對(duì)應(yīng)兩個(gè)ADC的采樣速率為[fs1,fs2]=[2.611712,2.614784]MHz).另外,令Mθ=2,設(shè)定L?1=5個(gè)素?cái)?shù)值為{Γ1,···,Γ5}=[2,3,5,7,11], 將其代入(1)式和(2)式,可確定所有6個(gè)陣元的參考坐標(biāo)為從而所有相鄰陣元的間距都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于λ/2,屬于稀疏度非常高的空間采樣.

考慮信噪比測(cè)試區(qū)間為SNR∈[?15,30]dB,對(duì)于每種SNR條件,對(duì)兩個(gè)估計(jì)器均進(jìn)行1000次蒙特卡羅測(cè)試,并統(tǒng)計(jì)其DOA測(cè)量值的均方根誤差(root mean square error,RMSE),如圖6所示.

圖6 DOA估計(jì)的RMSE對(duì)比Fig.6.RMSE comparion of DOA estimation.

從圖6的RMSE曲線,可得出如下兩個(gè)結(jié)論.

1)當(dāng)SNR高于6 dB時(shí),本文估計(jì)器的DOA測(cè)量具有非常高的精度,其RMSE值比文獻(xiàn)[16]的互素MUSIC估計(jì)器低3個(gè)數(shù)量級(jí).這是因?yàn)楸疚墓烙?jì)器所選取的內(nèi)嵌的頻譜校正器精度非常高,且CRT本身不會(huì)引入重構(gòu)誤差,故DOA估計(jì)精度高;而文獻(xiàn)[16]的估計(jì)器,需要將6個(gè)陣元上直接觀測(cè)得到的協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)化為Nysuist意義上的協(xié)方差矩陣,由于空間欠采樣的緣故,會(huì)引入誤差,降低了精度.

2)在低SNR區(qū)域,兩個(gè)估計(jì)器都會(huì)出現(xiàn)閾值效應(yīng)(即SNR低于該閾值時(shí)估計(jì)器失效),具體而言,文獻(xiàn)[16]估計(jì)器的SNR閾值為?12 dB,本文估計(jì)器的SNR閾值為6 dB(即魯棒性更差).這是因?yàn)?本文估計(jì)器的陣列陣元是高度稀疏放置的(如前所述,其最小陣元間距高達(dá)420×λ/2),而文獻(xiàn)[16]的陣列陣元是局部稀疏放置的(如前所述,其最小陣元間距僅為λ/2),故根據(jù)5.2節(jié)得出的“DOA估計(jì)的噪聲魯棒性與陣列的稀疏度成反比”的結(jié)論,本文估計(jì)器的噪聲魯棒性不如文獻(xiàn)[16]的估計(jì)器,這可看作是高度稀疏的空間采樣所付出的代價(jià).

7 結(jié) 論

本文提出了基于互素稀疏陣列的單目標(biāo)入射頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)器,該估計(jì)器融合了中國(guó)余數(shù)定理、陣列信號(hào)處理和頻譜校正三大理論,使得空間稀疏布置的各陣元并行做單次時(shí)間欠采樣的苛刻條件下,估計(jì)出入射信號(hào)的頻率和DOA成為可能.相比于現(xiàn)有的聯(lián)合估計(jì)器和稀疏陣列DOA估計(jì)方法,本文的聯(lián)合估計(jì)器進(jìn)一步放松了空、時(shí)域的采樣限制,降低了硬件成本與計(jì)算復(fù)雜度.理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)表明,該算法具有較高的抗噪聲性能,故在雷達(dá)、遙感等在超高頻段以上的被動(dòng)感知的目標(biāo)探測(cè)領(lǐng)域具有較為廣泛的應(yīng)用前景.未來將會(huì)在多目標(biāo)的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)方面做拓展工作.

附錄A 閉式魯棒中國(guó)余數(shù)定理重構(gòu)流程

假設(shè)有J個(gè)余數(shù)公約數(shù)為M,互素整數(shù)為

Γ1,···,ΓJ,因此有Mi=MΓi,i=1,2···,J,按照如下步驟可重構(gòu)得到

步驟1利用所給余數(shù)構(gòu)造J?1個(gè)參數(shù)

其中[·]表示四舍五入取整.

步驟2對(duì)關(guān)于Γi取模,得

其中,bi,1表示γ1/Γi關(guān)于Γi的模逆,定義γ1,Γ2···ΓJ.

步驟4通過下式計(jì)算出其余J?1個(gè)折疊整數(shù)

步驟5最終,未知數(shù)可以由下式重構(gòu)得到

[1]Xu L,Li J,Stoica P 2008IEEE Trans.Aerosp.Electron Syst.44 927

[2]Rappaport T S 1996Wireless Communications:Principles and Practice(New Jersey:Prentice Hall PTR Upper Saddle River)p43

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Joint estimation of frequency and direction of arrival under the single-and-parallel spatial-temporal undersampling condition?

Huang Xiang-Dong1)Liu Ming-Zhuo1)Yang Lin1)Liu Kun2)?Liu Tie-Gen2)

1)(School of Electrical and Information Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

2)(School of Precision Instrument and Opto-electronics Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

11 April 2017;revised manuscript

5 May 2017)

As the application frequency is increasingly high,it becomes difficult to design joint estimators for the frequencies and directions of arrival(DOAs)under the spatial-temporal undersampling condition.Specifically,on one hand,the temporal Nyquist theorem requires that the sampling rate be at least twice the highest frequency,which is unfordable for the existing analog-to-digital converters;on the other hand,the spatial Nyquist theorem also requires that each inter-element spacing be less than or equal to half the wavelength,which inevitably results in severe mutual coupling among sensors.To solve these intractable problems,in this paper,we propose a joint estimator based on a co-prime sparse array.Firstly,based on the combination of this sparse array and the closed-form robust Chinese remainder theorem(CRT),the theoretical model for the proposed frequency and DOA joint estimator is built up.Secondly,at each sensor,a frequency estimate for the source object can be calculated through implementing the closed-form robust CRT on two frequency remainders,which are generated by applying the Tsui spectrum correction to the discrete Fourier transform results of two receiver sequences.Then,averaging these estimates at all sensors yields the final frequency estimate.Lastly,on the basis of frequency estimation,the final DOA estimate can be calculated through implementing the closed-form robust CRT on all phase-difference remainders,which are also derived from the Tsui spectrum correction.It needs to be emphasized that the proposed joint estimator possesses two attractive merits.One merit is that due to the fact that the proposed array allows a high sparsity of element-spacings,both the hardware cost and the mutual coupling among sensors can be considerably reduced;the other merit is that compared with the existing estimators,the proposed joint estimator achieves high estimation precision even in the single-and-parallel undersampling condition(i.e.,multi-time undersampling is bypassed in each sensor element,leading to a high data processing efficiency).In particular,this high accuracy attributes to two aspects:1)the Tsui spectum corrector incorporated in the proposed joint estimator can provide high-accuracy remainders for the CRT recovery;2)the closed-form robust CRT itself is unbiased and thus the CRT recovery brings no extra system errors.Numerical results verify that the proposed joint estimator possesses both strong noise robustness and high estimation accuracy,which presents a vast potential application in several passive sensing fields such as radar and remote sensing.

undersampling,direction of arrival estimation,frequency estimation,Chinese remainder theorem

(2017年4月11日收到;2017年5月5日收到修改稿)

隨著應(yīng)用頻段的不斷升高,空時(shí)域欠采樣下的入射信號(hào)的頻率和到達(dá)角的聯(lián)合估計(jì)變得愈加困難.為解決此難題,本文提出了一種基于互素稀疏陣列的聯(lián)合估計(jì)器.首先,結(jié)合互素稀疏陣列和閉式中國(guó)余數(shù)定理,建立了頻率估計(jì)和到達(dá)角估計(jì)的理論模型;其次,將頻譜校正理論和中國(guó)余數(shù)定理結(jié)合起來,導(dǎo)出了頻率估計(jì)算法;再次,將相位差校正和中國(guó)余數(shù)定理結(jié)合起來,導(dǎo)出了到達(dá)角估計(jì)算法.該估計(jì)器不僅可降低現(xiàn)有估計(jì)器的硬件成本,而且僅需對(duì)單次并行采樣的快拍做并行處理即可獲得聯(lián)合估計(jì)結(jié)果,無需對(duì)單陣元做多次采樣,數(shù)據(jù)處理效率較高.仿真實(shí)驗(yàn)表明,該估計(jì)器具有較高的魯棒性估計(jì)精度,因而在雷達(dá)、遙感等被動(dòng)感知領(lǐng)域具有較廣闊的應(yīng)用前景.

10.7498/aps.66.188401

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):61671012,61475114)和國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)(批準(zhǔn)號(hào):2013YQ030915)資助的課題.

?通信作者.E-mail:beiyangkl@tju.edu.cn

感謝夏香根教授在閉式魯棒中國(guó)余數(shù)定理方面提供的指導(dǎo).

PACS:84.40.–x,84.40.Ua,07.07.Df,07.50.QxDOI:10.7498/aps.66.188401

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61671012,61475114)and the Special Funds of the Major Scientific Instruments Equipment Development of China(Grant No.2013YQ030915)

?Corresponding author.E-mail:beiyangkl@tju.edu.cn