二項分布與泊松分布教學(xué)探析

朱華

摘 要 二項分布與泊松分布是離散型隨機變量的兩個重要分布，具有非常重要的實際意義。筆者結(jié)合教學(xué)實踐，引導(dǎo)學(xué)生理解并運用公式去解決實際問題，體會概率在生活中的魅力，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

關(guān)鍵詞 二項分布 泊松分布 教學(xué)初探

中圖分類號：O211.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

在日常生活中處處都和概率有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此，在概率論的教學(xué)中應(yīng)以生活為出發(fā)背景，理論聯(lián)系實際。二項分布與泊松分布是離散型隨機變量的兩個重要分布，與實際聯(lián)系緊密，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的兩個難點，經(jīng)常出現(xiàn)學(xué)生照搬公式，照葫蘆畫瓢，出現(xiàn)很多漏洞。筆者通過幾年來對概率論課程的教學(xué)研究，反復(fù)總結(jié)自己多次教學(xué)過程的優(yōu)缺點，結(jié)合小概率原理，以此調(diào)動學(xué)員的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)員用概率知識解決實際問題的能力。

實例1：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需要經(jīng)過4盞信號燈，每盞信號燈以的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已經(jīng)通過的信號燈盞數(shù)（設(shè)各信號燈的工作是相互獨立的），求X的分布律。

實例2：設(shè)書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布。經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率。

實例3：設(shè)騎一次摩托車出事故的概率為0.02，獨立重復(fù)400次，求至少出2次事故的概率。

實例4：由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售額可以用參數(shù) =10的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，試問商店在月底至少應(yīng)該進(jìn)這種商品多少？

1二項分布

二項分布實質(zhì)即為貝努里定理的全部情形，是獨立性問題的典型應(yīng)用，為此，關(guān)于獨立性的理解一定要充分。

如實例1：

汽車通過信號燈只有兩種可能：紅燈或者綠燈。這是很典型的貝努里試驗，但這與貝努里定理有區(qū)別，X表示首次遇到紅燈時通過的信號燈盞數(shù)，我們不妨以p表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則汽車通過的概率為1p，0

以p=代入得P（X=k）=（1）k=（）k+1，k=0，1，2，3，4

實際上，p（1p）k，k=0，1，2，3，4是幾何級數(shù)p（1p）k的一般項，于是人們稱它為幾何分布。

二項分布是指n次獨立的貝努里試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率。

如：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊10次，試求恰好擊中5次的概率。

解析：將每次射擊看成一次試驗。設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X～B（10，0.02）.

X的分布律為P（X=k）=Cpk（1p） 10-k=C0.02k（10.02）10-k，k=0，1，2，…，10于是所求概率為：P（X=5）=C0.025（10.02）

2泊松（Poisson）分布

體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。

實際問題中若干隨機現(xiàn)象是服從或近似服從Poisson分布的：

服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；

交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y；

礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)；

顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；

單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目

如實例2：

解析：書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，所以可得：P（X=1）=P（X=2），即e- =e- ，算得 =2；

于是X～P（2），每頁的印刷錯誤的個數(shù)為0的概率P（X=0）=e-2=e-2；

任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率為（e-2）4=e-8；

本例是泊松分布與二項分布的綜合應(yīng)用。

3二項分布的泊松近似

在二項分布中，要計算P（X=k）=Cp（1p），當(dāng)n比較大時，計算量是令人煩惱的，如果這時np不太大，那么有泊松定理就有

B（k，n，p）≈e-

其中 =np，而要計算e- ，有專用的泊松分布表可查，這就方便多了。

實例3

解析：設(shè)騎摩托車發(fā)生事故的次數(shù)為X，則X～B（400，0.02）

至少出2次事故的概率P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）=10.98400C14000.021（10.02）400-1

令 =np=4000.02=8，查泊松分布表k=0及（下轉(zhuǎn)第145頁）（上接第143頁）k=1的值，可得

P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）≈10.0030.0027=0.997

4泊松分布的實際應(yīng)用

由于許多實際問題中的隨機變量都可以用泊松分布來描述，從而使得泊松分布在概率論中有著廣泛的應(yīng)用。

實例4：

解析：設(shè)該商店每月銷售某種商品x件，月底的進(jìn)貨為a件，則當(dāng)x≤a時就不會脫銷，因而按題意要求為：

P（X≤a）≥0.95

因為已知X服從 =10的泊松分布，也就是

e-10≥0.95

查泊松分布知

e-10≈0.9166<0.95

e-10≈0.9513>0.95

于是，這家商店只要在月底進(jìn)這種商品15件（假定上個月沒有存貨），就有95%以上的把握保證這種商品在下個月內(nèi)不會脫銷。

5小結(jié)

二項分布與泊松分布在實際中有著非常廣泛的應(yīng)用，本文從實際出發(fā)介紹了兩個分布的具體應(yīng)用方法，重點是要弄清本質(zhì)再多加練習(xí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 朱曉穎，蔡高玉，陳小平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].人民郵電出版社，2016.

[2] 吳傳生.經(jīng)濟(jì)學(xué)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].高等教育出版社，2009.

[3] 傅文玥.案例教學(xué)法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2013.

[4] 胡慧敏，張禮波.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)策略幾點思考[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2011（27）：159-161.