剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點直線運動的簡單類比

王棟

摘 要 在大學(xué)物理中，剛體定軸轉(zhuǎn)動部分的內(nèi)容，幾乎全部物理概念、物理規(guī)律及推導(dǎo)過程都可以與質(zhì)點直線運動進(jìn)行類比。文章從運動的描述、動力學(xué)方程、做功及動能、沖量矩及角動量四個方面展開類比。教師通過類比把知識呈現(xiàn)給學(xué)生，可以使學(xué)生快速而牢固地掌握這部分內(nèi)容。

關(guān)鍵詞 定軸轉(zhuǎn)動 直線運動 類比

中圖分類號：O311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

在大學(xué)物理課程中，剛體的定軸轉(zhuǎn)動部分是一個難點，有些概念是質(zhì)點力學(xué)中從未提及的，又比較抽象，老師講起來比較困難，學(xué)生學(xué)起來也比較困難。即使記住公式，也不知道該怎么代。實際上，剛體定軸轉(zhuǎn)動是剛體力學(xué)的基礎(chǔ)，也是最簡單的部分，只要掌握一定的方法，就可以達(dá)到較好的教學(xué)效果。在物理學(xué)中，不論是科學(xué)研究過程，還是教學(xué)過程，有一個方法必須重視，那就是類比法。物理教學(xué)中的類比法隨處可見，在幫助學(xué)生理解物理概念和規(guī)律方面非常值得推薦。剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點直線運動就有很多可以類比的地方。本文從以下四個方面進(jìn)行類比。

1運動的描述

質(zhì)點直線運動是一維的，只在一條直線上運動，因此其位置只用一個坐標(biāo)就可以確定。建立一條坐標(biāo)軸x軸，用坐標(biāo)x描述質(zhì)點的位置，速度和加速度也可用標(biāo)量v和a表示。從x到v再到a，是求導(dǎo)的關(guān)系，而反過來，就是積分的關(guān)系。剛體定軸轉(zhuǎn)動時，雖然各質(zhì)點均做圓周運動，但整個剛體的轉(zhuǎn)動也是“一維”的，這是因為轉(zhuǎn)軸是固定的。類似地，其位置用角坐標(biāo) 描述，角坐標(biāo)的變化快慢用角速度 描述，角速度的變化快慢用角加速度 描述。從 到 再到 ，是求導(dǎo)的關(guān)系，而反過來，就是積分的關(guān)系。

關(guān)于方向，剛體的轉(zhuǎn)動是用轉(zhuǎn)軸的指向來描述的。因為轉(zhuǎn)軸固定，所以方向只有兩個。先選定一個正方向，正如質(zhì)點運動學(xué)中的坐標(biāo)軸一樣。約定：從轉(zhuǎn)軸正方向看過去，剛體逆時針轉(zhuǎn)動為正，即 取正值；順時針轉(zhuǎn)動為負(fù)， 取負(fù)值。也可以用右手螺旋法則，右手四指繞向剛體轉(zhuǎn)動的方向，拇指的指向若沿轉(zhuǎn)軸正方向，則剛體轉(zhuǎn)動方向為正，反之為負(fù)。雖然轉(zhuǎn)動的方向判定比質(zhì)點運動復(fù)雜，但依然可以找到對應(yīng)關(guān)系。剛體逆時針轉(zhuǎn)動對應(yīng)于質(zhì)點沿坐標(biāo)軸正方向運動，順時針轉(zhuǎn)動則對應(yīng)于質(zhì)點沿坐標(biāo)軸負(fù)方向運動。

2動力學(xué)方程

在質(zhì)點力學(xué)中，若質(zhì)點所受的合外力為零，則質(zhì)點運動狀態(tài)不變，即運動速度的大小和方向均不發(fā)生變化；若所受合外力不為零，質(zhì)點將獲得一個加速度，使其運動狀態(tài)發(fā)生變化。因此，力是改變質(zhì)點運動狀態(tài)的原因。質(zhì)點做直線運動時，力與加速度之間滿足，這就是質(zhì)點運動的動力學(xué)方程，人們熟知的牛頓第二定律。

在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，力不再是改變運動狀態(tài)的原因了，與力相對應(yīng)的，是力矩。與質(zhì)點力學(xué)類似，若剛體所受的合外力矩為零，則剛體的轉(zhuǎn)動角速度不發(fā)生變化；若所受合外力矩不為零，剛體將獲得一個角加速度，使其轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化。因此，力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因。力矩與角加速度之間滿足M=I ，這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程，稱為轉(zhuǎn)動定律。當(dāng)然，這里需要注意，M、I、 都必須是對于同一固定轉(zhuǎn)軸而言的。I為剛體的轉(zhuǎn)動慣量，是一個描述剛體轉(zhuǎn)動慣性的物理量，正如質(zhì)點力學(xué)中的質(zhì)量一樣。

3功與動能

在質(zhì)點直線運動中，力對空間的積分稱為做功，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：W=Fdx；而在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，力矩對空間的積分稱為做功，只是空間量用角度描述：：W=Md 。在兩種運動中做功都等于動能的增量，這就是動能定理。質(zhì)點的動能等于慣性質(zhì)量乘以速度平方除以2：Emv2，剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能也是非常類似的，只要把慣性質(zhì)量換成描述轉(zhuǎn)動慣性的轉(zhuǎn)動慣量，把速度換成角速度就可以了，表示為：Ek= I2。

4角動量與沖量矩

在質(zhì)點力學(xué)中，有兩個非常重要的物理量：沖量和動量。力對時間的積分稱為沖量，慣性質(zhì)量和速度的乘積稱為動量，用p表示：p=mv。一段時間內(nèi)，作用于質(zhì)點上的合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量，這就是質(zhì)點的動量定理。該定理可以從質(zhì)點運動的動力學(xué)方程-牛頓第二定律推導(dǎo)而來：

F= Fdt=dp Fdt=dp=p2p1。

類似地，在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，也有兩個對應(yīng)于沖量和動量的物理量：沖量矩和動量矩，動量矩常稱為角動量。力矩對時間的積分稱為沖量矩，轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積稱為角動量，通常用L表示：L=I 。一段時間內(nèi)，作用于剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量，這稱為剛體的角動量定理。同樣，這個定理也可以從剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程-轉(zhuǎn)動定律推導(dǎo)而來：M= Mdt=dL Mdt=dL=L2L1 。

沖量矩和角動量是兩個全新的物理量，也比較抽象，學(xué)生理解起來會比較困難。但這兩個量又非常重要，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，特別是在量子力學(xué)中，角動量會經(jīng)常出現(xiàn)。因此必須讓學(xué)生理解透徹，與質(zhì)點力學(xué)的類比可以幫助學(xué)生快速理解角動量。

以上四個方面囊括了剛體定軸轉(zhuǎn)動的大部分內(nèi)容。通過類比可以看出，雖然剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點運動是完全不同的兩種運動，但研究方法卻非常類似，幾乎每一個物理量、定理及推導(dǎo)方法都能夠?qū)?yīng)。對兩種運動進(jìn)行類比教學(xué)，不僅能夠使學(xué)生快速而牢固地掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的知識，而且可以領(lǐng)略物理學(xué)中理論結(jié)構(gòu)的對稱美。

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