例談算法中的交匯問題

陳國林

1. 引言

算法是高考每年必考內容，多以客觀題形式出現，難度為中等或中等以下，考查方式多為程序框圖，按題型劃分主要有求結果、填補過程、求輸入參量三類，它的考查方式十分靈活，具有?？汲Ｐ拢疃浑y的特點.并且此類問題常和其他知識交匯，其中與函數、三角、不等式、數列、概率與統計的交匯是高考熱點.

2. 算法綜合試題呈現

2. 1算法與概率、統計的交匯問題

【例1】隨機抽取某中學甲、乙兩個班各10名同學，測量他們的身高獲得身高數據的莖葉圖如圖（1），在樣本的20人中，記身高在[150，160），[160，170），[170，180），[180，190）的人數依次為A1，A2，A3，A4. 如圖（2）是統計樣本中身高在一定范圍內的人數的算法框圖.若圖中輸出的S=18，則判斷框內應填________.

【解析】由于i從2開始，也就是統計大于或等于160的所有人數，于是就要計算A2+A3+A4，因此，判斷框應填“i<5？”或“i≤4？”.

【點評】解決循環(huán)結構的程序框圖問題要注意幾個常用變量：

①計數變量：用來記錄某個事件發(fā)生的次數，如i=i+1.

②累加變量：用來計算數據之和，如S=S+i.

③累乘變量：用來計算數據之積，如p=p×i.

2. 2算法與三角函數的交匯問題

【點評】本題是條件結構的程序框圖，條件結構主要用在一些需要依據條件進行判斷的算法中，解決此類問題必須準確判斷輸出結果時的判斷條件，否則極易出錯.

2. 3算法與函數的交匯問題

【例3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[-1，3]，則輸出的S屬于（ ）

【點評】含有條件結構的程序框圖用在需要對條件進行判斷的算法程序中，恰好可看做為分段函數的算法表示，充分體現了分類討論的思想，解決此類問題務必需要分清各層條件的邏輯關系.

2. 4算法與不等式的交匯問題

【點評】解決本類問題先從宏觀理清框圖是解決什么具體問題的，然后需要嚴格根據算法程序步驟執(zhí)行其流程要求，如果對于比較復雜的循環(huán)程序，可以將每個變量進行一一列出，這樣便于發(fā)現和總結規(guī)律，如等差、等比數列通項、周期以及前n項和等；如果循環(huán)次數較少，可以將其全部列出.也可直接通過觀察，對程序框圖內容進行初步判斷，例如本題實為裂項法求數列的和，然后求解即可.

2. 6算法與數學文化交匯問題

【例6】“歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框圖的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”，執(zhí)行該程序框圖（圖中“aMODb”表示除以的余數），若輸入的a，b分別為675，125，則輸出的a=（ ）

A. 0 B. 25 C. 50 D. 75

【解析】當a=675，b=125，c=aMODb=100，a=125，b=100，此時c=100，否，c=125MOD100=25，a=100，b=25，否，c=100MOD25=0，a=25，b=0，c=0，是，輸出a=25，選B.

【點評】數學文化與程序框圖的交匯是近幾年高考熱點，此類問題歸根到底就是由數學文化引出數學背景，實質還是算法的交匯問題，有時還會以新定義或是新運算的形式考查學生對新信息的處理能力.

3. 跟蹤訓練

1. 如圖所示的程序框圖的算法思路來源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，分別為30， 18，則輸出的a值為（ ）

A. 0 B. 2 C. 6 D. 14

【解析】由程序框圖可以知道：當a=30，b=18時，滿足a>b，則a變?yōu)?0-18=12，由b>a，則b變?yōu)?8-12=6，由b

【解析】當條件x≥0，y≥0，x+y≤1不成立時輸出S的值為1，當條件x≥0，y≥0，x+y≤1不成立時S=2x+y，下面用線性規(guī)劃的方法求此時S的最大值.作出不等式組x≥0，y≥0，x+y≤1表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知當直線S=2x+y經過點M（1，0）時S最大，其最大值為2×1+0=2，故輸出S的最大值為2.

4. 公元263年左右，我國數學家劉徽發(fā)現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形的面積無限接近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術”，利用“割圓術”，劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”，如圖所示是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序，則輸出的n值為（ ）

【解析】由程序框圖的第一個判斷條件為f（x）>0，當f（x）=cosx，x∈[-1，1]時滿足，然后進入第二個判斷框，需要解不等式f（x）=-sinx≤0，即0≤x≤1.故輸出區(qū)間為[0，1].

6.（2016·成都診斷）圖1是某地區(qū)參加2017年高考的學生身高的條形統計圖，從左至右的各條形圖表示的學生人數依次記為A1，A2，A3，…，A10（如A2表示身高（單位：cm）在[150，155）內的學生人數）. 圖2是圖1中統計身高在一定范圍內學生人數的一個算法程序框圖. 現要統計身高在[160，180）內的學生人數，那么流程圖中判斷框內整數k的值為__________.

【解析】依題意，注意到身高在[160，180）內的學生屬于第4組至第7組，因此結合題中的程序框圖可知，流程圖中判斷框內整數k的值是7.故填7.

4. 結語

算法考查是高中數學重要的知識系列，難度一般不大，它注重知識的基礎性、綜合性、交匯性和創(chuàng)新性. 由于交匯型的試題不僅能夠全面的考查知識之間的內在聯系，而且能夠考查學生的基礎知識和基本技能，在歷年高考中算法考查注重基礎，因此每位考生都需要做到細心應對，方能勝券在握.

責任編輯 徐國堅