數(shù)學(xué)思想在小學(xué)奧數(shù)排列組合教學(xué)中的滲透

林美娟

摘 要：數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓。計(jì)數(shù)問題是小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽的重要知識(shí)點(diǎn)，排列組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)問題，在排列組合的教學(xué)中教師應(yīng)該及時(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、集合思想、整體思想、模型思想、方程思想等，使學(xué)生在掌握相關(guān)知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)并提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)奧數(shù) 排列組合 數(shù)學(xué)思想 滲透

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）11（b）-0134-03

日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏說過：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益?！笨梢?，數(shù)學(xué)的精髓不在于知識(shí)本身，而在于數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。

計(jì)數(shù)問題是小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽的重要知識(shí)點(diǎn)，排列組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)問題，在排列組合的教學(xué)中教師可以及時(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在掌握相關(guān)知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)并提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1 分類思想

分類思想是排列組合中最常用的數(shù)學(xué)思想，它就是按照某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，把所要研究的對(duì)象分成若干個(gè)既互斥又完備的子類的思想。

例1 由數(shù)字1，2，3，4組成六位數(shù)，要求1，2，3，4至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的六位數(shù)共有幾個(gè)？

分析：根據(jù)題意，這樣的六位數(shù)，其中4個(gè)位置上的數(shù)必須是1，2，3，4，另外兩個(gè)位置的數(shù)只要這4個(gè)數(shù)中取即可。因此，本題可以分兩種情況來討論。

第一種情況是：另外兩個(gè)位置上的數(shù)是一樣的，這6個(gè)數(shù)字有且只有3個(gè)數(shù)字是相同的。

要得到這樣的六位數(shù)，分三步完成：

（1）從4個(gè)數(shù)中選出1個(gè)數(shù)；

（2）從6個(gè)位置中選出3個(gè)位置填上選出來的數(shù)；

（3）剩下的3個(gè)數(shù)填在剩下的3個(gè)位置上。

第二種情況是：另外兩個(gè)位置上的數(shù)字是不一樣的，這6個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)A、兩個(gè)B、一個(gè)C、一個(gè)D。

要得到這樣的六位數(shù)，分四步完成：

（1）從4個(gè)數(shù)中選出2個(gè)數(shù)；

（2）從6個(gè)位置中選出2個(gè)位置填上選出來的一個(gè)數(shù)；

（3）從剩下的4個(gè)位置中選出2個(gè)位置填上選出來的另一個(gè)數(shù)；

（4）剩下的兩個(gè)數(shù)填在另外的兩個(gè)位置上。

根據(jù)分類和分步計(jì)數(shù)原理：這樣的六位數(shù)共有=1560個(gè)。

例2 如圖1所示，某花園可分為A、B、C、D、E五個(gè)部分，園林設(shè)計(jì)師打算最多用5種不同的植物裝飾花園，要求每一部分只能用一種植物，并且相鄰部分不能使用相同的植物，不相鄰的部分可以使用同一種植物，按以上要求，此花園共有多少種設(shè)計(jì)方案？

分析：因?yàn)锳區(qū)與其他4個(gè)區(qū)域均相鄰，所以先在A區(qū)種植物，有5種植物可以選，B、D區(qū)是不相鄰的，選取的植物可以相同，也可以不同，因此可以分兩種情況來討論。

第一種情況：B、D區(qū)種的植物相同，有4種植物可以選，然后E、C區(qū)各有3種植物可以選。

第二種情況：B、D區(qū)種的植物不同，B區(qū)有4種植物可以選，D區(qū)有3種植物可以選，然后E、C區(qū)各有2種植物可以選。

根據(jù)分類和分步計(jì)數(shù)原理，此花園共有5×（4×3×3+4×3×2×2）=420種設(shè)計(jì)方案。

2 化歸思想

化歸思想：即把有待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，以求得原問題解決的思想方法。

例1 馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的10盞路燈，為節(jié)約用電又能看清路面，可以把其中的3盞燈關(guān)掉，但又不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞，在兩端的燈也不能關(guān)掉。那么符合條件的關(guān)燈方法有多少種？

分析：?jiǎn)栴}可以轉(zhuǎn)化為：在7盞亮著的燈之間的6個(gè)空擋放3盞熄滅的燈，有幾種放法？或者在7盞亮著的燈之間放3塊擋板，有幾種放法？

由此可得：共有=20種。

例2 從1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)中，取出8個(gè)互不相鄰的自然數(shù)，有多少種方法？

分析：如果只是取8個(gè)自然數(shù)，那么問題就比較簡(jiǎn)單。而現(xiàn)在要取的是8個(gè)互不相鄰的自然數(shù)，問題就比較復(fù)雜，感覺無從下手。如果把100個(gè)自然數(shù)看成馬路上有編號(hào)的100盞燈，那么問題就轉(zhuǎn)化為：在92盞亮著的燈之間以及兩端（共93個(gè)位置）放8盞熄滅的燈，有幾種放法？

由此可得：共有種放法。

3 模型思想

模型思想就是用數(shù)學(xué)的思維去思考實(shí)際問題，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（這其中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想），建立數(shù)學(xué)模型，通過研究數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得到問題解決的數(shù)學(xué)思想方法。

例1 將10個(gè)相同的雞蛋裝在3個(gè)不同的籃子里（每個(gè)籃子至少1個(gè)雞蛋），有多少種方法？

分析：轉(zhuǎn)化為“相同元素的分配問題（數(shù)學(xué)模型：檔板法）”：10個(gè)雞蛋排成一排，在它們之間放2塊擋板，把10個(gè)雞蛋分成三部分，有多少種方法？（10個(gè)相同的圓排成一排，在它們之間畫兩條直線，將它們分成三部分，有幾種分法？）

由此可得：共有種方法。

例2 3個(gè)男生，3個(gè)女生排成一排，要求任意兩個(gè)女生不能相鄰，有多少種排法？

分析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：先排一些元素（3個(gè)男生）然后插入其余元素（3個(gè)女生），利用插空法（數(shù)學(xué)模型）來解決。

由此可得：有·種排法。

4 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題或把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來研究的思想。對(duì)于某些較為復(fù)雜的排列組合問題，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，通過構(gòu)造幾何圖形來求解。endprint

例1 甲乙兩人打乒乓球，誰先連勝頭兩局，則誰贏。如果沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止，問有多少種可能的情況？

分析：由于這類問題比較復(fù)雜，可以通過畫樹形圖（圖2）來解決（圖中的“甲”表示“甲贏”）。

由圖可知：有14種可能的情況。

例2 如圖3所示，有5橫8豎構(gòu)成的方格圖，從A到B（只能上行或右行）共有多少條不同的路線？

分析：根據(jù)圖形可以把問題轉(zhuǎn)化為：在11個(gè)空格中填上7個(gè)“→”（表示向前）和4個(gè)“↑”（表示向上），共有多少種方法？

由此可得：共有種方法。

5 集合思想

集合思想就是從集合的觀點(diǎn)出發(fā)，利用集合的有關(guān)概念、表示方法、性質(zhì)來研究問題的思想。排列組合中的問題一般均可以用分類或分步的思想方法來解決，但對(duì)于限制條件較多的問題，從集合觀點(diǎn)來思考能收到意想不到的效果。

例1 從A、B、C、D、E、F、G七個(gè)人中選5人排成一排，要求同時(shí)滿足：（1）A不在首位；（2）B不在末位；（3）C不在中間。問：有多少種滿足條件的排法？

分析：從集合觀點(diǎn)考慮：設(shè)I={從7人中選出5人的排法}，S1={A在首位的排法}，S2={B在末位的排法}，S3={C在中間的排法}。則S1∪S2∪S3={A在首位或者B在末位或者C在中間的排法}，={A不在首位、B不在末位、C不在中間的排法}（可以配以集合的文氏圖）。

所以，滿足條件的排法總數(shù)為：

6 整體思想

整體思想就是將問題中的某一部分看成一個(gè)整體進(jìn)行研究的思想。對(duì)于某些元素必須排在一起的排列組合問題，可以將這些元素看成一個(gè)整體，和其他元素一起先排，再排整體中的元素，從而使問題獲解。對(duì)于某些元素必須分在同一組的排列組合問題也可以類似處理。

例1 （1）4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)排成一排照相，男女同學(xué)各自排在一起的排法有多少種？

（2）將7個(gè)學(xué)生插到3個(gè)不同的班級(jí)中去，某兩位學(xué)生必須同班的插法有多少種？

分析：（1）將4個(gè)男同學(xué)看成一個(gè)整體，3個(gè)女同學(xué)看成另一個(gè)整體，這兩個(gè)整體排在一起，共有2種排法；而第一個(gè)整體中的男同學(xué)排成一排，有24種排法；第二個(gè)整體中的女同學(xué)排成一排，有6種排法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，符號(hào)條件的排法一共有288種。

（2）將這兩個(gè)學(xué)生看成一個(gè)整體（作為一個(gè)學(xué)生），這樣問題就轉(zhuǎn)化為：將6個(gè)學(xué)生插到3個(gè)不同的班里，有多少種方法？根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，符合條件的方法有36=729種（整體思想、模型思想、轉(zhuǎn)化思想）。

7 方程思想

方程思想就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程、不等式、方程與不等式的混合組，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解的思想。

例1 一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種？

分析：設(shè)取x個(gè)紅球，y個(gè)白球，則

解得：

由此可得：符合條件的取法有種。

例2 將10個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子內(nèi)，要求放入盒子的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法有多少種？

分析：設(shè)編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中分別放入x，y，z個(gè)小球。

于是題中不同的放法就是方程：x+y+z=10（x≥1， y≥2，z≥3）的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。

令u=x，v=y，w=z-2，得u+v+w=7。

所以該方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)就是所求的放法數(shù)。

由此可知有種放法。（把7個(gè)1分成三部分）

數(shù)學(xué)思想有：分類思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、方程思想、函數(shù)思想、極限思想、整體思想、對(duì)應(yīng)思想等。作為教師在講授知識(shí)的同時(shí)要讓學(xué)生及時(shí)地歸納解決問題的方法，感悟其中的數(shù)學(xué)思想。只要持之以恒，讓數(shù)學(xué)思想的滲透貫穿整個(gè)教學(xué)過程，就可以逐漸地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并且也有利于知識(shí)的掌握。

參考文獻(xiàn)

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[3] 錢娟.“認(rèn)識(shí)概率”中的數(shù)學(xué)思想方法[J].初中生世界，201（4）：56-58.endprint