對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的研討與思考

徐菊華

【摘要】學(xué)生是學(xué)習(xí)知識(shí)過程中獲得能力的主體.在課堂教學(xué)中，無論是教師的講授還是學(xué)生的自主探究，獲取知識(shí)技能的對(duì)象是學(xué)生，因此，課堂的主動(dòng)權(quán)應(yīng)該由學(xué)生掌控，教師應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生不斷質(zhì)疑、分析問題，然后釋疑和解疑，從而讓學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的能力和開拓創(chuàng)新的意識(shí).本文從研討直線與圓的位置關(guān)系提出了個(gè)人的一點(diǎn)課堂實(shí)踐的思考，用來與廣大同行們切磋交流，以到達(dá)共同提高之目的.

【關(guān)鍵詞】位置關(guān)系；研討；思考

在初中數(shù)學(xué)中，圓是平面幾何中具有舉足輕重地位的一個(gè)幾何圖形.圓總是與點(diǎn)、線和面聯(lián)系在一起，圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，在培養(yǎng)學(xué)生的幾何能力方面功不可沒，因?yàn)樗蔑@了初中幾何的綜合運(yùn)用，建立在點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，承上啟下了圓與圓的位置關(guān)系.怎樣才能學(xué)習(xí)好圓與直線的位置關(guān)系呢？

一、通過實(shí)例來認(rèn)知直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系是怎樣的呢？同圓與點(diǎn)的關(guān)系的學(xué)習(xí)一樣，課前讓學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)硬幣.課堂上導(dǎo)入新課時(shí)要求學(xué)生在紙上畫一條直線，用課前準(zhǔn)備的硬幣代替圓，通過在直線上下移動(dòng)硬幣，自主探究直線和圓的位置關(guān)系.同時(shí)，在電子白板上再次展示直線和圓的位置關(guān)系.

學(xué)生通過硬幣的移動(dòng)發(fā)現(xiàn)二者存在這樣的關(guān)系為直線與圓相離（A位置）、相切（B位置）、相交（C位置），并由此得出直線和圓相交、相切、相離的概念.

二、通過類比來認(rèn)知直線與圓的位置關(guān)系

類比是常見的學(xué)習(xí)方法，通過類比已經(jīng)學(xué)習(xí)過的利用數(shù)量關(guān)系來判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的方法，激發(fā)學(xué)生去探究利用數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.這是一種回放舊知，通過類比來學(xué)習(xí)新知的知識(shí)遷移性的學(xué)習(xí)方法，是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知的技能，它由兩部分組成，一是回顧舊知，二是對(duì)比新知，找到二者的相似點(diǎn)和不同點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)成新知的學(xué)習(xí).

首先，讓學(xué)生回顧舊知——點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以通過課堂提問來解決.如圖所示，假設(shè)點(diǎn)到圓心O的距離為d，A，B，C三點(diǎn)與圓O的位置關(guān)系分別是：

① A點(diǎn)在圓外，d>r；② B點(diǎn)在圓上，d=r；③ C點(diǎn)在圓內(nèi)，d

引導(dǎo)學(xué)生類比，來考慮直線到圓心的距離解決直線和圓的位置關(guān)系，這一環(huán)節(jié)須由學(xué)生自主探究完成.然后，探究直線和圓的位置關(guān)系，總結(jié)的成果通過展示交流而得到升華.其中，學(xué)生得出相應(yīng)的關(guān)系如下圖所示.

類比：假設(shè)直線l到圓心O的距離為d，則有：① 直線和圓相離，d>r；② 直線和圓相切，d=r；③ 直線和圓相交，d

本案例的做法是在課堂上積極地引導(dǎo)學(xué)生首先明確舊知，即點(diǎn)和圓的位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，而后用類比的方法去獲取新知，即直線和圓的位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.因?yàn)閷W(xué)習(xí)過程充分激發(fā)了學(xué)生運(yùn)用類比的思維方式來探究問題、分析問題、釋疑解疑，所以學(xué)生在自主探究中能夠快速得出規(guī)律，從而學(xué)習(xí)新知事半功倍，輕而易舉地達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo).實(shí)踐證明，這樣的課堂是值得推廣的課堂.

二、通過練習(xí)來認(rèn)知直線與圓的位置關(guān)系

數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生練習(xí)的過程本質(zhì)上就是一個(gè)思維的過程，是以達(dá)到辨別概念和記憶內(nèi)容為目的的.在練習(xí)中習(xí)題所給條件的難度較探究的基本概念有著一定的加深，可以讓學(xué)生的思維不斷地得到發(fā)散.直線和圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)也不例外.例如，可以選擇類似下面類型和難度的練習(xí)去提升學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解.

如圖，矩形MNOP中，MN=3，NO=4，以O(shè)為圓心，怎樣才能做到：

（1）讓M，N，P三點(diǎn)至少有一個(gè)在圓內(nèi)，至少有一個(gè)在圓外，請(qǐng)說明⊙O的半徑r的取值范圍.

（2）讓MP，MN中一條直線與⊙O相切，請(qǐng)計(jì)算⊙O的半徑r的值，并說明另一直線與⊙O的位置關(guān)系.

練習(xí)的目的在于學(xué)生能夠?qū)⒕匦蔚男再|(zhì)與點(diǎn)或直線和圓的位置關(guān)系聯(lián)系起來，因?yàn)辄c(diǎn)或直線和圓的位置關(guān)系是借助數(shù)量關(guān)系來判斷的，因此，問題（1）必須讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確地計(jì)算出N，M，P三點(diǎn)到O點(diǎn)的距離，其中已經(jīng)知道PO=MN=3，NO=4，而MO=NO2+MN2=42+32=5.這樣就清楚地解決了問題（1），3

總之，課堂教學(xué)需要讓學(xué)生作為主體去親歷課堂教學(xué)的全過程，在探究中展現(xiàn)自己的魅力，升華自己的才智，在課堂中爭(zhēng)取主動(dòng)、勇于探究、敢于實(shí)踐.唯有教師積極引導(dǎo)學(xué)生去不斷質(zhì)疑、分析問題，進(jìn)而釋疑和解疑，才能培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的學(xué)習(xí)品質(zhì)和開拓創(chuàng)新的探究精神.

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