論數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

袁天雨

【摘要】數(shù)學(xué)研究的是高度抽象了的東西，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的數(shù)學(xué)思想是推動數(shù)學(xué)前進(jìn)的本質(zhì)源頭，當(dāng)代從事數(shù)學(xué)教育的一線教師需在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維來認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就要求教師在知識傳授中注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)本質(zhì)；抽象

關(guān)于數(shù)學(xué)是什么可以說是眾說紛紜，但數(shù)學(xué)以其獨有的形式存在于我們身處的客觀世界，并服務(wù)于人類的進(jìn)步和發(fā)展這一點毋庸置疑，在當(dāng)代的中國數(shù)學(xué)教育，處在一線的數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)當(dāng)肩負(fù)起對數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)思想的傳播和發(fā)展的重任，特別是要從原有固定模式的課堂教學(xué)中解放出來，這里所說的數(shù)學(xué)的基本思想無外乎史寧中先生所歸納的：抽象，推理，模型.[1]教師以數(shù)學(xué)的基本思想為依據(jù)，不斷滲透各知識之間的相互關(guān)聯(lián)，并在知識的傳授中注重學(xué)生對知識的理解，而非規(guī)律與知識本身，要教會學(xué)生從思想中獲得方法，從知識中追溯本質(zhì)，使學(xué)生達(dá)到我們所期望的或可預(yù)見的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本文以高中必修5的余弦定理為例來淺談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實例，望能供廣大一線教師予以參考.

一、轉(zhuǎn)化的思想方法

轉(zhuǎn)化的思想方法是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，究竟什么是轉(zhuǎn)化的思想呢？它的本質(zhì)是什么呢？張奠宙和過伯祥先生曾形象地描述過轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)化的方法就是，將一個問題A進(jìn)行變形，使其轉(zhuǎn)化為另一已能解決的問題B，既然B已可解決，那么A也就解決了.[2]在余弦定理的教學(xué)設(shè)計中，可以向?qū)W生先提出問題：如何運用三角形的三邊長來確定一個三角形的形狀呢？之前我們學(xué)習(xí)過向量的知識，向量中的三角形法則是不是可以把三角形的三邊轉(zhuǎn)化為向量表示呢？接下來演示用向量法推導(dǎo)余弦定理.

證明設(shè)CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b，

|c|2=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a+b·b-2a·b

=a2+b2-2abcosC.

同理可證出a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.

二、分類討論的思想方法

分類討論的思想方法是把一個數(shù)學(xué)研究對象剖析，從一點或者一面來分開討論，進(jìn)而得到關(guān)于這個問題的整體性結(jié)果[3]，一味強(qiáng)調(diào)“因題解題，遇法而授”的思想是不正確的，那么在教師傳授知識的同時，如何理解和認(rèn)識分類討論思想的本質(zhì)，如，在討論三角形的相關(guān)問題時，一般情況下我們把對于三角形的討論分為三個點面的討論，即銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，通過這三個點面的劃分，進(jìn)而得到關(guān)于三角形相關(guān)的一般結(jié)論[4]，下面基于分類討論的思想方法給予余弦定理的參考證明.

證明（1）當(dāng)∠A是直角時，b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos90°=b2+c2=a2，可知結(jié)論成立.

圖1

（2）當(dāng)∠A是銳角時，如圖1所示，過點C作CD⊥AB，交AB于點D，則在Rt△ACD中，AD=bcosA，CD=bsinA.

從而，BD=AB-AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

圖2

（3）當(dāng)∠A是鈍角時，如圖2所示，過點C作CD⊥AB，交BA延長線于點D，則

在Rt△ACD中，

AD=bcos（π-A）=-bcosA，

CD=bsin（π-A）=bsinA.

從而，BD=AB+AD=c-bcosA.

在Rt△BCD中，由勾股定理可得

BC2=BD2+CD2=（c-bcosA）2+（bsinA）2

=c2-2cbcosA+b2，

即a2=b2+c2-2bccosA.

綜上（1）（2）（3）可知，均有a2=b2+c2-2bccosA成立.

三、類比的思想方法

數(shù)學(xué)中類比的思想方法始終貫穿著整個數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，我們從外部世界高度抽象出的一些數(shù)學(xué)概念，通過類比得到相似事物的某些一致性特征，并通過研究的結(jié)果來探討與未知事物的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而抽象又抽象地發(fā)現(xiàn)新的事物，那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中類比的方法又該如何傳授給學(xué)生？顯然，教師需將正弦定理與余弦定理聯(lián)系起來，那么我們是否能用正弦定理來認(rèn)識和推導(dǎo)余弦定理呢？這就是類比的思想方法，下面基于類比的思想方法予以余弦定理的參考證明.

在△ABC中，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

于是，a2=b2+c2-2bccosA

4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA

2sin2A=2sin2B+2sin2C-4sinBsinCcosA

2sin2A=2-cos2B-cos2C-4sinBsinCcosA

2-2cos2A=2-2cos（B+C）cos（B-C）-4sinBsinCcosA.

由于cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA，因此，

cos2A=cos（B+C）cos（B-C）+2sinBsinCcosA

cosA=-cos（B-C）+2sinBsinC

cosA=-cosBcosC+sinBsinC=-cos（B+C）.

這顯然成立.

即，結(jié)論成立.

四、結(jié)語

本文通過對數(shù)學(xué)思想方法的淺談分析，望能對廣大一線教師的教學(xué)予以參考意義，同時也希望我們的數(shù)學(xué)教育能基于數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力為核心，不斷推進(jìn)我國教育事業(yè)的蓬勃發(fā)展.endprint