四階龍格—庫(kù)塔法的原理及其應(yīng)用

馮建強(qiáng)++孫詩(shī)一

【摘要】微分方程的數(shù)值模擬在工程應(yīng)用中有很重要的意義.而在諸多的數(shù)值方法中，龍格—庫(kù)塔法是使用最廣泛、最有效的數(shù)值方法之一.龍格—庫(kù)塔法的理論基礎(chǔ)是泰勒級(jí)數(shù)方法，龍格—庫(kù)塔法吸收了泰勒公式方法中的高精度同時(shí)摒棄了泰勒級(jí)數(shù)方法中求高階導(dǎo)數(shù)的弊端，利用復(fù)合函數(shù)的思想合理而巧妙地回避了求高階導(dǎo)數(shù)這一難點(diǎn)，使數(shù)值格式顯得非常對(duì)稱和緊湊.四階龍格—庫(kù)塔法是求解微分方程的非常有用的工具，盡管其計(jì)算公式非常簡(jiǎn)單，但該數(shù)值格式的基本原理卻是非常深刻的.

首先，本文利用數(shù)學(xué)分析、數(shù)值分析的知識(shí)理解歐拉方法及泰勒級(jí)數(shù)方法的局限性，從而理論分析導(dǎo)出龍格—庫(kù)塔四階格式（四階格式的完整導(dǎo)出是任何一本參考書(shū)上所沒(méi)有的）.然后，探討了四階龍格—庫(kù)塔法在捷聯(lián)慣性導(dǎo)航中的應(yīng)用.最后，對(duì)四階龍格—庫(kù)塔法的收斂性與穩(wěn)定性進(jìn)行了討論.

【關(guān)鍵詞】四階龍格—庫(kù)塔法；收斂性；穩(wěn)定性；微分方程

【基金項(xiàng)目】該課題由揚(yáng)州大學(xué)教改項(xiàng)目YZUJX2016-4A和揚(yáng)州大學(xué)2016科創(chuàng)項(xiàng)目資助.endprint