不定積分一題多解的相關(guān)研究

許永鑫

【摘要】教育目標當中，要求學生需具備良好的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，落實在高等數(shù)學中的不定積分解題上，即要求學生能夠具備一題多解的能力，可以利用多元化的解題思路從不同的角度進行思考和切入，并結(jié)合具體題目要求靈活使用相應的解題方法進行準確作答.在這一基礎上，本文將通過結(jié)合具體例題，嘗試對不定積分的一題多解進行簡要分析研究.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學;不定積分;一題多解

一、不定積分的一題多解

（一）常規(guī)思路下的多樣解法

1.湊微分法

在解決不定積分的高等數(shù)學問題時，學生首先要對題目尤其是已知條件進行仔細觀察，通過結(jié)合題目實際情況靈活運用其以往所學知識內(nèi)容，在活用不定積分的具體性質(zhì)、基本積分公式等基礎之上，進而嘗試運用多樣化的解題思路進行作答.比如，在求不定積分∫sinxsinx+cosxdx一題當中，可運用湊微分法對被積函數(shù)進行適當變形，進而求解出最終答案.原式可以在湊微分法的運用下轉(zhuǎn)化成12∫sinx+cosxsinx+cosxdx-12∫（sinx+cosx）sinx+cosxdx，通過進一步推導可得∫sinxsinx+cosxdx=12（x-ln|sinx+cosx|）+C.

2.換元法

在高等數(shù)學當中，換元法是其中一種重要且常用的解題思路，其通過用簡單的數(shù)學符號或是代數(shù)式對原式中復雜的公式、函數(shù)等進行等效替換，從而在有效降低解題復雜性和難度的基礎上快速求解出正確答案.比如，在求解不定積分∫sinxsinx+cosxdx時，可以用a表示tanx2，則原式將在換元法下被替換成∫4a（a2+1）（2a+1-a2）da，即∫sinxsinx+cosxdx=arctana+ln（a2+1）2.再對其進行進一步推導可得∫sinxsinx+cosxdx=-ln|a2-2a-1|2+C=x2+12ln1+tan2x2=-12lntan2x2-2tanx2-1+C.在換元法的運用下，原本為三角函數(shù)的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成了有理函數(shù)，最后通過有理函數(shù)積分法即可進行準確作答.

3.對稱性法

數(shù)學學科中蘊含著豐富的形式美，一方面，大大增強了數(shù)學的美感以及學生的學習樂趣;另一方面，也可被靈活運用在解題當中，有效拓展學生的解題思路.學生通過對題目進行深入觀察，可在組合積分法的靈活運用下將其自身的對稱性充分展示出來，隨后利用這一對稱性特點進行作答.在求解積分T1=∫baf（x）dx的過程中，便可以利用其自身的對稱性，重新建立一個與之近乎相同的新積分T2，即T2=∫bag（x）dx，隨后用T1表示不定積分∫sinxsinx+cosxdx，而T2基本與T1一樣，因此，也等于∫sinxsinx+cosxdx.此時T1與T2之和等于x+C1，而將兩者進行相減之后可得T1-T2=∫sinx-cosxsinx+cosxdx=-∫1sinx+cosxd（sinx+cosx）=-ln|sinx+cosx|+C2.在對由T1與T2共同組合而成的方程組進行求解之后，即可得到T1=12（x-ln|sinx+cosx|）+C.

（二）發(fā)散思維下的多樣解法

1.分解部分有理真分式

在不定積分的解題過程中，除了采用傳統(tǒng)的思維方式，想要實現(xiàn)不定積分的一題多解，同時還需要學生能夠主動運用發(fā)散思維，在結(jié)合以往所學知識和解題技能的基礎上探索出更多新穎的解題方式.比如，在不定積分∫sinxsinx+cosxdx的求解過程中，學生便可以借助三角恒等式變形，分解部分有理真分式，同時令分子、分母除以sinx，此時不定積分∫sinxsinx+cosxdx=∫11+cotxdx，再展開計算可得∫csc2x（1+cotx）（1+cot2x）dx=-12∫1cotx+1+1-cotx1+cot2xdcotx，此時經(jīng)過再次推導整理可得∫sinxsinx+cosxdx=12x+14ln（1+cot2x）-12ln|1+cotx|+C.

2.充分利用被積函數(shù)特征

在本文所給出的不定積分∫sinxsinx+cosxdx的例題當中，其屬于三角函數(shù)有理式積分，也就是∫R（cosx，sinx）dx這一類型積分.在實際解題過程中，如果可以充分運用被積函數(shù)的具體特征，同樣也可以探尋出全新的解題思路，達到一題多解的效果.在不定積分∫sinxsinx+cosxdx中，R（-cosx，-sinx）與R（cosx，sinx）相等，此時將tanx用t表示即可得到sinx=cosx=tt2+1，dx=11+t2dt，此時∫sinxsinx+cosxdx=∫t（t+1）（1+t2）dt，再進行進一步推導可得∫sinxsinx+cosxdx=12x+14ln（1+tan2x）-12ln|1+tanx|+C.

二、關(guān)于不定積分一題多解的反思

在嘗試對不定積分進行一題多解時，學生還需要加強對被積函數(shù)定義域的重視，并隨時注意在求解時被積函數(shù)定義域是否會發(fā)生變化.而在對不定積分進行變形的過程中則必須使用恒等變形，變量替換下，新變量和原變量的取值范圍需要前后對應，在完成全部求解計算之后，學生也需要及時對求解結(jié)果進行求導驗證，當求導數(shù)與被積函數(shù)相等時即證明解題正確，反之則需要學生重新回顧整體解題過程尋找錯誤之處以及時進行改正.

三、結(jié)束語

在對不定積分進行一題多解下，學生可以有意識地靈活運用各種各樣的解題思路和解題方法，不僅有助于其對不定積分基礎知識及其求解方法的融會貫通，同時也有助于培養(yǎng)學生的綜合運用能力.因此，在實際進行解題時，學生還應當結(jié)合實際情況，主動運用自身的發(fā)散思維，在注重被積函數(shù)定義域的基礎之上從不同角度切入進行一題多解，進而深化不定積分的學習.