高等數(shù)學(xué)中的幾個實(shí)驗(yàn)案例

周琴

【摘要】本文設(shè)計了高等數(shù)學(xué)課程中的幾個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例，內(nèi)容涵蓋極限、導(dǎo)數(shù)、積分等方面.對實(shí)驗(yàn)設(shè)置進(jìn)行了分析，展示了MATLAB軟件實(shí)驗(yàn)中的作圖和計算過程.這些實(shí)驗(yàn)的完成有助于學(xué)生理解和掌握這些重要概念.

【關(guān)鍵詞】極限;導(dǎo)數(shù);積分MATLAB

【基金項(xiàng)目】2017年湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在地方本科院校非數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)中的應(yīng)用研究”.

一、引 言

高等數(shù)學(xué)是我校經(jīng)管類、理工類等專業(yè)學(xué)生的必修課程，課程內(nèi)容包括函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、積分等幾大模塊.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能很好地解釋有些類型的計算問題，但有些函數(shù)的直觀圖形描繪起來比較復(fù)雜，且不精確.而數(shù)學(xué)軟件MATLAB具有強(qiáng)大的圖形功能和符號計算功能，能較精確地描繪函數(shù)圖像，并有專門的計算極限、導(dǎo)數(shù)、積分的函數(shù).因此，運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有利于數(shù)形結(jié)合思想更好地運(yùn)用.本文針對高等數(shù)學(xué)課程的幾類重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，設(shè)計了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)案例.

二、實(shí)驗(yàn)案例

實(shí)驗(yàn)一 設(shè)函數(shù)f（x）=1+2x，x<0，2，x=0，1-x，x>0.? 利用MATLAB作出該函數(shù)在[-2，2]的圖像，觀察f（0+0），f（0-0），limx→0f（x）的結(jié)果.

實(shí)驗(yàn)過程及分析：本題考查分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限計算.函數(shù)在某一點(diǎn)的極限指自變量無限接近該點(diǎn)時函數(shù)逼近的值.此題計算中，學(xué)生容易將0點(diǎn)的極限與函數(shù)值f（0）=2混淆起來，得到極限為2的錯誤結(jié)論.利用MATLAB軟件作出該函數(shù)圖像，主要的代碼為

x=-2：0.1：0;y=1+2*x;plot（x，y，′r′）;hold on;x=0：0.1：2;y=1-x;plot（x，y，′r′）;hold on;x=0;y=2;plot（x，y，′r.′）;hold on;

x=0，y=1處的空心點(diǎn)繪制可由語句x=0;y=1;plot（x，y，′ro′）實(shí)現(xiàn).得到的圖形如圖1所示.由圖1可以清楚地觀察f（x）在0點(diǎn)的左右極限情況.顯然，f（0+0）和f（0-0）均為1，根據(jù)極限定義，此時 limx→0f（x）=1，而與0點(diǎn)的函數(shù)值2無關(guān).

圖1

實(shí)驗(yàn)二 作出函數(shù)f（x）=sinxx在區(qū)間[-6π，6π]的圖像，觀察極限 limx→0sinxx，limx→6πsinxx，并利用MATLAB函數(shù)計算這兩個極限結(jié)果.

實(shí)驗(yàn)過程及分析：limx→0sinxx=1是一類重要極限，該結(jié)論的理論證明比較復(fù)雜，學(xué)生不易理解.因此，實(shí)驗(yàn)要求利用MATLAB軟件作出該函數(shù)圖像，觀察它在x=0左右兩側(cè)的逼近情況，幫助學(xué)生理解此極限結(jié)果.limx→6πsinxx的設(shè)置就是為了提醒學(xué)生注意x的變化趨勢.幫助學(xué)生充分理解重要極限的結(jié)論.利用MATLAB軟件作出該函數(shù)圖像，主要的代碼為

x=-6*pi：0.1：6*pi;f=sin（x）./x;plot（x，f，′r′），

其中語句x=-6*pi：0.1：6*pi對x節(jié)點(diǎn)的設(shè)置避開了無定義的點(diǎn)x=0.作出的圖像如圖2所示，可以看到該函數(shù)在x=0左右兩側(cè)均無限接近1，即x→0時極限為1.而當(dāng)x=6π時，函數(shù)值為0，而函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，故x→6π時極限為0.這兩個極限的計算可以用以下語句實(shí)現(xiàn)：syms x;limit（sin（x）/x，0）和limit（sin（x）/x，6*pi）.運(yùn)行后直接得到兩個極限結(jié)果1和0.

圖2

實(shí)驗(yàn)三 利用MATLAB函數(shù)計算復(fù)合函數(shù)y=ln（x+1+x2）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).

實(shí)驗(yàn)過程及分析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)部分的一大難點(diǎn).此題涉及的復(fù)合函數(shù)比較復(fù)雜，是學(xué)生筆算錯誤率極高的一道題.在MATLAB中輸入以下語句：

syms x;y=log（x+sqrt（1+x^2））;y1=diff（y，1）;y2=diff（y，2）;

分別得到一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)y1和y2.再利用simplify（y1）和simplify（y2）可將結(jié)果簡化，輸出結(jié)果為1/（x^2+1）^（1/2）和-x/（x^2+1）^（3/2）.

實(shí)驗(yàn)四 利用MATLAB函數(shù)計算積分∫π2-π2xcos2xdx，作出被積函數(shù)圖像并觀察其特征，利用定積分幾何意義得到積分結(jié)果.

實(shí)驗(yàn)過程及分析：此積分若直接求解，步驟比較復(fù)雜.在MATLAB中輸入語句：syms x;int（′x*cos（x）^2′，x，-pi/2，pi/2），即可得到積分結(jié)果為0.利用以下語句作出被積函數(shù)圖像：

x=-pi/2：pi/40：pi/2;f=x.*cos（x）.^2;plot（x，f，′r′）;fill（x，f，′r′）;

圖3

結(jié)果如圖3所示.fill函數(shù)用于填充該曲線與x軸所圍部分，顯然被積函數(shù)為奇函數(shù)，x軸上方與下方面積相等.由定積分的幾何意義，∫π2-π2xcos2xdx表示x=-π2，x=π2，y=0，y=xcos2x所圍成的圖形面積，在x軸上方面積取正，x軸下方面積取負(fù)，正負(fù)抵消即得該積分結(jié)果為0.

以上實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生利用MATLAB軟件作出函數(shù)圖像，直觀地展示函數(shù)特點(diǎn)，觀察函數(shù)的極限及特殊函數(shù)的定積分結(jié)果.同時，利用MATLAB符號計算功能獲得函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和定積分結(jié)果.通過學(xué)生自己動手來探索數(shù)學(xué)規(guī)律，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，有助于強(qiáng)化這些重要知識點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計教程：第2版[M].北京：水利水電出版社，2010.