探構(gòu)造之策 尋問題之解

潘龍生

函數(shù)作為基本的數(shù)學(xué)工具，在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用，合理地構(gòu)造函數(shù)，往往能夠找到巧妙的解法，但是由于函數(shù)構(gòu)造思維難度較大，不少同學(xué)對此無從下手，因此它又成為高中數(shù)學(xué)問題解決的一個難點.本文擬以實例從不同角度探究構(gòu)造函數(shù)的策略，以期能對同學(xué)們以后的問題解決起到引導(dǎo)作用，供參考.

一、類比結(jié)構(gòu)特征，整體構(gòu)造函數(shù)

點評：單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)是函數(shù)的重要特征，在研究的問題中如果有這些性質(zhì)的呈現(xiàn)或變形顯現(xiàn)，則可以利用問題特性，整體構(gòu)造函數(shù).

二、直接移項合并，構(gòu)造單一函數(shù)

分析：解決兩個函數(shù)的交點問題遠(yuǎn)不如研究一個單一函數(shù)簡單，而函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點等價于合并為單一函數(shù)后圖象與x軸有三個零點，因此想到合并構(gòu)造為單一函數(shù).

點評：當(dāng)研究問題中含有多類函數(shù)時，直接解決就比較復(fù)雜，突破這個難點的首選之策就是轉(zhuǎn)化為單一函數(shù)，而直接移項合并則是實現(xiàn)這種構(gòu)造的常見策略.

三、結(jié)構(gòu)變形整合，構(gòu)造雙新函數(shù)

點評：若函數(shù)結(jié)構(gòu)類型多樣，且難以轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)，則可以考慮歸類整合，將原問題構(gòu)造為兩個新函數(shù)去研究，通過兩個新函數(shù)的研究凸顯原問題的本質(zhì).

四、分離變量構(gòu)造，轉(zhuǎn)為無參函數(shù)

點評：參變共存，變量分離是研究含參問題的一種重要手段，通過分離變量構(gòu)造，可以轉(zhuǎn)為無參函數(shù)，這種方法很大程度上避免了繁復(fù)的參變量討論，同時也簡化了運算，解題過程輕松簡潔.

五、結(jié)合求導(dǎo)法則，轉(zhuǎn)抽象為特型

點評：抽象函數(shù)是函數(shù)考題中的一個常見面孔，它沒有具體表達(dá)式，對同學(xué)們來說是個難點，但這類問題出現(xiàn)時，往往又不是孤立的，導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則時常忽隱忽現(xiàn)，形影相隨，因此在求解這類問題時，應(yīng)主動聯(lián)想與問題結(jié)構(gòu)和形式相對應(yīng)的求導(dǎo)法則，并通過對原結(jié)構(gòu)適當(dāng)變形使之適用于法則的形式，以實現(xiàn)問題的求解.

六、主元引元構(gòu)造，換背景去類比

點評：對于多元問題，可以將其中一個元視為主元或整體思考引進(jìn)新元，并構(gòu)造主元或新元為變量的函數(shù)，以新元的約束條件視為函數(shù)的定義域，其他元視為常數(shù)，從而通過改換原問題的背景而類比構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)解決.

七、兩側(cè)同取對數(shù)，同元組合構(gòu)造

點評：若求解問題中某些項的底數(shù)和冪指數(shù)都含變量，直接構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行處理顯然是困難的，因為其求導(dǎo)過程舉步維艱，此時，可以考慮采用同取自然對數(shù)的方法先轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，再進(jìn)行同元組合變形，構(gòu)造為平時學(xué)習(xí)中熟悉的、經(jīng)典的如y=lnx、y=lnx/x等函數(shù).