談學(xué)生在解決數(shù)學(xué)題目時(shí)常見的幾點(diǎn)問題

摘 要：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)。問題的解決不僅為我們提供了一個(gè)展示思維的平臺(tái)，而且給了我們一個(gè)創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。為了有效地培養(yǎng)我們分析問題與解決問題的能力，結(jié)合本人在平時(shí)解題中的一點(diǎn)理解，談?wù)勎覀冊(cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)題目時(shí)常見的幾點(diǎn)問題。

關(guān)鍵詞：解題；缺失；問題

一、 數(shù)學(xué)概念理解的缺失

數(shù)學(xué)命題是有概念組成的邏輯系統(tǒng)。概念是基礎(chǔ)，其中每一個(gè)術(shù)語(yǔ)、符號(hào)和習(xí)慣用語(yǔ)都要一定的含義，它們反映到題目中去，就要求學(xué)生在解題時(shí)徹底理解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。

例：函數(shù)f（x）=lnx-1的零點(diǎn)是（ ）

A. e B. 1

C. （e，0）D. （1，0）

這是安徽省2009年學(xué)業(yè)水平測(cè)試試卷上的一道選擇題。主要考查的是函數(shù)零點(diǎn)的概念，本來(lái)是一道比較容易的題目，但就是因?yàn)槲覀兊母拍畈磺澹瑳]有真正的理解函數(shù)零點(diǎn)的定義，不知道函數(shù)的零點(diǎn)到底是一個(gè)數(shù)還是一個(gè)點(diǎn)，造成了有相當(dāng)一部分同學(xué)在此題丟分。這就充分反映了我們對(duì)概念缺乏理解。

再如：在立體幾何中，我們錯(cuò)誤地認(rèn)為：若a∥α，bα則a∥b；在向量的學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)：若a·b=0則a=0或b=0的錯(cuò)誤現(xiàn)象，等等現(xiàn)象。主要原因是我們對(duì)概念僅僅是機(jī)械的記憶，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，概念的掌握只是些“孤立的點(diǎn)”，而不是“面”，最終影響了解題。

二、 題目中的信息丟失

解決問題之前有效地提取題目中的信息是一個(gè)重要的初始環(huán)節(jié)，但是我們?cè)谔崛☆}目中的信息時(shí)，注意力往往只關(guān)注那些“重要”的信息上，那些“不明顯”的信息容易被冷落，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，我們經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的低級(jí)錯(cuò)誤。

例：一元二次不等式：ax2-2ax+3a-1≤0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范圍。

本題考查的是一元二次函數(shù)、一元二次不等式及一元二次方程的知識(shí)，在解題時(shí)我們可以利用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸的位置及其函數(shù)在區(qū)間[1，2）上的單調(diào)性，很容易得出題目的答案；也可以根據(jù)恒成立題目的一般性解法，先解出參量a，然后再討論對(duì)應(yīng)函數(shù)在區(qū)間[1，2）上的最值，得出a恒大于等于函數(shù)的最大值或恒小于等于函數(shù)的最小值即可。但是，實(shí)踐證明我們不論利用哪一種方法解題，都常常會(huì)把答案寫成：a≤13，而沒有把a(bǔ)=0舍去，造成這樣的結(jié)果的原因很簡(jiǎn)單，就是沒有“重視”題目中的“一元二次不等式”這一“不顯著”的條件。

三、 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的弱化

運(yùn)算是解題的一項(xiàng)最基本的技能。它要求我們會(huì)根據(jù)法則、公式正確地進(jìn)行運(yùn)算；能根據(jù)題目的條件尋求合理的運(yùn)算途徑。高考中，多半的題目不僅需要運(yùn)算出結(jié)果，而且有些題目還要證明，寫出嚴(yán)格的步驟。如果在解題中出現(xiàn)了運(yùn)算問題的話，會(huì)導(dǎo)致滿盤皆輸?shù)摹?/p>

例：已知向量a≠e，|e|=1，t∈R恒有|a-te|≥|a-e|則有（ ）

A. a⊥e

B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e）

D. （a+e）⊥（a-e）

本題考查的是向量的基本運(yùn)算，向量的幾何意義，解題的方法很多。從答案入手的話，四個(gè)選項(xiàng)中都有垂直的判斷，要使兩個(gè)向量垂直，就得有數(shù)量積為零的條件存在，于是想到了不等式兩邊取平方，然后化簡(jiǎn)、整理，最終得出結(jié)論?？上攵\(yùn)算量是比較大，而且在解題的過(guò)程中也存在很多的運(yùn)算技巧問題。我們不妨換個(gè)思路解題，可以從向量的幾何意義入手，它其實(shí)是點(diǎn)到直線垂直距離|a-e|最短的問題。

四、 推理、論證能力較弱

問題解決的過(guò)程總是伴隨著邏輯推理等思維運(yùn)算，而推理論證能力較弱的同學(xué)，則表現(xiàn)為對(duì)綜合性較強(qiáng)的題目束手無(wú)策，導(dǎo)致解題失敗。這就需要我們平時(shí)對(duì)概念、定理、定義以及常用的解題方法牢記于心，甚至對(duì)常見的結(jié)論也應(yīng)有所掌握。

例：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，已知a1=5，an+1=sn+3n，n∈N+，若an+1≥an，求a的范圍。

本題考查的是數(shù)列知識(shí)，題中給出的數(shù)列的遞推關(guān)系式很明顯是屬于構(gòu)造型遞推式，可以先通過(guò)第n項(xiàng)an與前n項(xiàng)sn和的關(guān)系得出：sn+1=2sn+3n，然后設(shè)sn+1+c3n+1=2（sn+c3n），再展開和條件比較，可得出c=-1，即構(gòu)造出數(shù)列{sn-3n}是以s1-3=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，于是可以通過(guò)先求sn的表達(dá)式，再根據(jù)第n項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn的關(guān)系得出數(shù)列的通項(xiàng)公式。但是如果我們?cè)谕评矸矫婺芰^弱的話，面對(duì)這樣的題目就沒辦法了。另外有些同學(xué)在做此類題目時(shí)常常會(huì)通過(guò)關(guān)系式寫幾項(xiàng)，然后去猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，也不去證明，從而失去了數(shù)列題目的大部分分?jǐn)?shù)。

五、 識(shí)圖、作圖的技能不強(qiáng)

在識(shí)圖、作圖方面要求我們能根據(jù)題目的條件識(shí)別或畫出對(duì)應(yīng)的圖形，能將較復(fù)雜的圖形分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的圖形。在簡(jiǎn)單圖形中能正確地確定出各元素的位置及相應(yīng)的關(guān)系。

例：已知?jiǎng)訄Ap與定圓c：（x+2）2+y2=1向外切，又與定直線L：x=1相切，求動(dòng)圓圓心p的軌跡方程。

本題考查的是求點(diǎn)的軌跡問題，結(jié)合題目給出的圖形，我們很容易列出滿足條件的關(guān)于動(dòng)圓圓心p的方程：設(shè)p（x，y），根據(jù)條件得出：（x+2）2+y2-1=|x-1|，然后化簡(jiǎn)、整理得出最終的結(jié)果，很明顯過(guò)程很復(fù)雜，我們?nèi)绻屑?xì)觀察圖形，結(jié)合題意會(huì)發(fā)現(xiàn)p點(diǎn)只能在直線x=1的左側(cè)，進(jìn)而方程可以改寫成：（x+2）2+y2-1=x-1，這樣化簡(jiǎn)起來(lái)就比較容易的多。當(dāng)然如果學(xué)生再仔細(xì)思考一下可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)p到定圓圓心（-2，0）的距離等于到定直線x=2的距離，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是以（-2，0）點(diǎn)為焦點(diǎn)，以x=2為準(zhǔn)線的拋物線，方程是：y2=-8x。可見如果學(xué)生有較強(qiáng)的作圖，識(shí)圖能力的話，在解這方面的題目是就大大地簡(jiǎn)化了解題步驟，化繁為簡(jiǎn)。（指導(dǎo)老師：謝輝）

參考文獻(xiàn)：

[1]張智.數(shù)學(xué)解題的基本方法[J].數(shù)學(xué)空間.

[2]何華.數(shù)學(xué)題解題技巧談[J].科教創(chuàng)新.

作者簡(jiǎn)介：

王浩宇，安徽省阜陽(yáng)市，阜陽(yáng)一中。endprint