小問題

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2017-2 一根長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)桿直立在水平地面上，初始時(shí)刻受到微小擾動(dòng)開始傾倒，設(shè)桿與水平地面成θ角(見圖1所示)，問：(1)當(dāng)?shù)孛婀饣瑫r(shí)，求θ滿足的方程，并判斷傾倒過程中是否會(huì)脫離地面；(2)當(dāng)?shù)孛媾c桿之間摩擦系數(shù)為μ時(shí)，求桿傾倒過程中與地面發(fā)生滑動(dòng)時(shí)的角度θ.(寧波大學(xué)機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，胡開鑫、嚴(yán)晨祎供稿)

圖1

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*《小問題》2017-1解答 *

問題：自由剛體的一般運(yùn)動(dòng)在哪些條件下可以當(dāng)作剛體平面運(yùn)動(dòng)？提示：綜合考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)條件、受力條件、質(zhì)量與慣量的條件等.

(2017年 1月清華大學(xué)錢學(xué)森力學(xué)班“動(dòng)力學(xué)與控制”課期末考試的簡(jiǎn)答題，李俊峰、馬曙光供稿)

解答：在慣性參考系中建立直角坐標(biāo)系OXY Z，再建立剛體固連坐標(biāo)系Cxyz，其中C為剛體的質(zhì)心.初始時(shí)刻這兩個(gè)坐標(biāo)系完全重合，即OX與Cx重合、OY與 Cy重合、OZ與 Cz重合、點(diǎn) O與點(diǎn)C重合.剛體作平面運(yùn)動(dòng)過程中，保持OXY平面與Cxy平面始終重合.

在下述條件同時(shí)滿足的情況下，自由剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以當(dāng)作剛體平面運(yùn)動(dòng)：

(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件：剛體質(zhì)心速度矢量始終位于OXY平面(Cxy平面)內(nèi)，即 vCZ=vCz=0；剛體角速度矢量始終垂直于OXY平面(Cxy平面)，即ω=ωZeZ=ωzez，eZ和ez分別是OZ軸和Cz軸的單位矢量.

(2)受力條件：作用在剛體上的外力主矢量始終位于OXY平面(Cxy平面)內(nèi)，即0；作用在剛體上的外力對(duì)質(zhì)心的主矩始終垂直于OXY 平面 (Cxy平面)，即MCzez，eZ和ez分別是OZ軸和Cz軸的單位矢量.

(3)慣量條件：Cz軸是剛體的中心慣性主軸，即Jxz=Jyz=0.