渦是搓出來(lái)的嗎？

趙軍方

(海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋系，遼寧大連116018)

渦是搓出來(lái)的嗎？

趙軍方1)

(海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋系，遼寧大連116018)

渦旋運(yùn)動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)動(dòng)形式，黏性流體的運(yùn)動(dòng)幾乎是處處有旋的.這就容易造成誤解：黏性是產(chǎn)生渦量的條件，也是產(chǎn)生渦量的機(jī)制.實(shí)際上，黏性流體中的剪切力不能在流體內(nèi)部產(chǎn)生渦量.而是在剪切變形的不連續(xù)處產(chǎn)生渦量，再由黏性擴(kuò)散到流體的其他區(qū)域.準(zhǔn)確地講，黏性流動(dòng)的渦量不是由剪切應(yīng)力 “搓”出來(lái)的，而是在剪切變形的不連續(xù)處“裂”出來(lái)的.

渦旋，黏性，剪切應(yīng)力，擴(kuò)散

著名流體力學(xué)家柯奇曼曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“旋渦是流體運(yùn)動(dòng)的肌腱”[1].這句話是流體力學(xué)中的至理名言，深刻概括了渦旋在流體運(yùn)動(dòng)中的作用[2].北京航空航天大學(xué)陸士嘉教授也曾經(jīng)指出，“流體的本質(zhì)就是渦，···流體經(jīng)不住搓，一搓就搓出了渦.”[3]這句話既道出了流體與固體的本質(zhì)區(qū)別，又點(diǎn)明了流體運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)渦旋的原因[2].

渦旋產(chǎn)生的原因很多，也十分復(fù)雜.近代流體力學(xué)已經(jīng)證明，只要在流體中有“渦量源”，就會(huì)產(chǎn)生渦量[2].說(shuō)渦是搓出來(lái)的，這是說(shuō)出了流體運(yùn)動(dòng)中渦量的一個(gè)來(lái)源.這個(gè)來(lái)源即為黏性流體的剪切力[2].

另外，黏性流體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)之一就是有旋性[4].如果流體有黏性，其流動(dòng)幾乎都是有旋的.所以，黏性流動(dòng)就和旋轉(zhuǎn)、渦量緊密聯(lián)系在一起了.但如此一來(lái)，會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)到流體的黏性能產(chǎn)生渦旋運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生了黏性力直接生出渦量的認(rèn)識(shí).并且流體內(nèi)部的速度分布、應(yīng)力分布也會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)到，流體內(nèi)部的渦量就是由剪切力形成的，說(shuō)得形象一些，就是由剪切力搓出來(lái)的.但這樣的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，需要及時(shí)修正.本文通過(guò)分析黏性在流體內(nèi)部的作用，提煉黏性流動(dòng)中產(chǎn)生渦旋的條件，幫助學(xué)生對(duì)渦量與黏性的關(guān)系建立起科學(xué)的、正確的認(rèn)識(shí)，更準(zhǔn)確地理解黏性流體中渦旋運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力機(jī)制.

1 剪切應(yīng)力本身不能產(chǎn)生渦量

首先來(lái)說(shuō)明“搓出渦來(lái)”的意思.剪切力看上去有相互搓捻的意味.搓，就是剪切力的形象說(shuō)法.黏性是剪切表面力的表現(xiàn).所以，黏性流體的運(yùn)動(dòng)中，存在著“搓”這樣的動(dòng)作.“搓出渦來(lái)”，應(yīng)該是指，本來(lái)沒(méi)有渦量，通過(guò)搓這種方式，使其有了渦量.如果本來(lái)就有，只是由它分散，就不能稱作“搓出渦來(lái)”.所以，所謂“搓出渦來(lái)”，就是指，通過(guò)剪切力使原來(lái)沒(méi)有渦量的流體內(nèi)部具有了渦量.

單單看“渦是搓出來(lái)的”這句話，可能會(huì)讓學(xué)生這樣認(rèn)為：黏性流體內(nèi)部的渦也是搓出來(lái)的.并且可以有很好的理由支持 —— 黏性流體內(nèi)部的確有搓捻流體的剪切力.一般會(huì)這樣解釋：比如在平行剪切流中，如圖1所示，兩個(gè)無(wú)窮大平板間充滿動(dòng)力黏性系數(shù)μ為常數(shù)的均質(zhì)不可壓縮流體，上板以常速度U在平板平面內(nèi)沿x方向滑動(dòng)，下板靜止不動(dòng).兩板間的距離為h.流動(dòng)達(dá)到定常時(shí)，速度剖面呈線性分布，可以求出流體內(nèi)部的應(yīng)力分布.根據(jù)速度的分布知道流場(chǎng)是有旋的，渦量等于 U/h，表示每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)都在旋轉(zhuǎn).在流體內(nèi)部任取一個(gè)流體層A，則流體層的上表面受到向右的剪切力，下表面受到向左的剪切力.從運(yùn)動(dòng)情況來(lái)看，流體內(nèi)部的流體質(zhì)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的，從受力情況來(lái)看，流體層受到如圖所示的力矩的作用，并且二者的方向一致(對(duì)于本流動(dòng)，都是順時(shí)針?lè)较虻?.所以，流體的旋轉(zhuǎn)就是由流體內(nèi)部的流體層上下表面受到的剪切力產(chǎn)生的力矩造成的.再聯(lián)系“搓出渦來(lái)”這句話，就會(huì)認(rèn)為流體內(nèi)部的渦旋是黏性造成的剪切力搓出來(lái)的.

圖1 平行剪切流動(dòng)示意圖

這樣理解當(dāng)然是錯(cuò)誤的.實(shí)際上，在黏性系數(shù)為常量的流體內(nèi)部，黏性力是搓不出渦來(lái)的.下述渦量輸運(yùn)方程可以告訴我們理由.

其中，ω為渦量場(chǎng)，v為速度場(chǎng)，ρ為密度場(chǎng)，p為壓強(qiáng)場(chǎng)，F(xiàn)為單位質(zhì)量的流體受到的體積力合力，ν為運(yùn)動(dòng)學(xué)黏性系數(shù)為隨體導(dǎo)數(shù).由渦量輸運(yùn)方程可知，引起渦量變化的因素有渦線的伸縮與扭曲，流體的可壓縮性，斜壓性，黏滯性，體積力的無(wú)勢(shì)性，分別對(duì)應(yīng)式(1)右端的各項(xiàng).其中，與黏性有關(guān)的是ν?2ω.表明黏性對(duì)渦量變化的貢獻(xiàn)是 ν?2ω.該項(xiàng)的物理意義是渦量的擴(kuò)散.如果流動(dòng)沒(méi)有渦量，即：ω=0，根據(jù)方程，黏性是不能生出渦量來(lái)的.如果有渦量，ω/=0，黏性就會(huì)按照ν?2ω的方式把它擴(kuò)散開(kāi)來(lái).這就是說(shuō)，在黏性系數(shù)為常量的流體內(nèi)部，黏性的作用是擴(kuò)散渦量，而不是生成渦量.即：黏性并沒(méi)有由無(wú)到有的“生出”渦量的作用.而斜壓項(xiàng)和體積力的旋度?×F就可以“生出”渦量(本來(lái)沒(méi)有渦量，生出渦量.為了更清晰地說(shuō)明黏性與渦量的關(guān)系，把這兩項(xiàng)效應(yīng)略去，假設(shè)取的是體積力有勢(shì)的均質(zhì)黏性流體).所以，流體內(nèi)部的渦量并不是由剪切力“搓”出來(lái)的，而是由黏性擴(kuò)散過(guò)來(lái)的.

流體內(nèi)部具有剪切應(yīng)力，有搓捻的動(dòng)作，怎么就不能搓出渦量來(lái)呢？這是因?yàn)?，?yīng)力是對(duì)稱張量，剪切應(yīng)力就是互相對(duì)稱的那些分量.剪切應(yīng)力在上下兩個(gè)面上搓捻的效果，與左右兩個(gè)面上搓捻的效果完全抵消(對(duì)稱就是這個(gè)意思)，剪切應(yīng)力的總搓捻效果為零.所以搓不出渦量來(lái).

2 黏性產(chǎn)生渦量的根源是流體微元變形的不對(duì)稱

對(duì)于普通的流動(dòng)(指流體各要素是光滑分布的)來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)速度場(chǎng)求梯度，可得到流體微元的速度梯度張量.利用n階矩陣的性質(zhì)，把速度梯度張量分解為對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量，對(duì)稱部分就是流體微元的變形率張量，反對(duì)稱部分就是流體微元的旋轉(zhuǎn)張量[3].根據(jù)廣義胡克定律，變形率與應(yīng)力之間建立起聯(lián)系.所以，應(yīng)力對(duì)流體微元的作用就是對(duì)速度梯度的對(duì)稱部分(即應(yīng)變率張量)產(chǎn)生影響，而不能對(duì)反對(duì)稱部分(即旋轉(zhuǎn)張量)產(chǎn)生作用.所以，作為應(yīng)力張量的一部分的剪切應(yīng)力也就不能對(duì)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生作用，也就是說(shuō)，剪切應(yīng)力不能產(chǎn)生渦量.

這樣看來(lái)，黏性對(duì)應(yīng)的剪切力是搓不出渦來(lái)的.難道黏性流動(dòng)可以是無(wú)旋的？實(shí)際上，除了極特殊的流動(dòng)之外，黏性流動(dòng)幾乎都是有旋的.那么，黏性流動(dòng)中的渦究竟是怎樣產(chǎn)生的呢？在哪兒產(chǎn)生的呢？

從上面的敘述可知，剪切應(yīng)力是對(duì)稱的，流體微元的剪切變形是對(duì)稱的，黏性力在流體微元的面上的整體力矩效果為零，所以搓不出渦來(lái).只有在打破這種對(duì)稱分布的地方，黏性才可能對(duì)流體產(chǎn)生凈的力矩作用，在流動(dòng)中搓出渦來(lái).也就是說(shuō)，流體內(nèi)部的某個(gè)區(qū)域，如果能使得流體微元的變形不具有對(duì)稱性，這個(gè)區(qū)域可能就是渦源的所在了.從另一個(gè)角度講，破壞了變形速度的不對(duì)稱，就相當(dāng)于“引入”了速度梯度張量的反對(duì)稱部分，也就相當(dāng)于生出了旋轉(zhuǎn)張量部分，也就是產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)，生出了渦量.所以，黏性產(chǎn)生渦量必定出現(xiàn)在流體微元變形不對(duì)稱的區(qū)域.

3 固體邊界處流體微元的變形不對(duì)稱

對(duì)于黏性流體來(lái)說(shuō)，固體邊界是渦量的最常見(jiàn)的源[5].在固體邊界處流體運(yùn)動(dòng)須滿足無(wú)滑移速度邊界條件，物面處的無(wú)滑移速度與流體內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致物面處產(chǎn)生極大的剪切力，必然會(huì)在物面上“搓”出足夠大的渦量，這些渦量又被黏性擴(kuò)散到流體內(nèi)部[1].也就是說(shuō)，流體的黏性本身并不能產(chǎn)生渦量，而是黏性通過(guò)固體物面產(chǎn)生渦量，就是所謂的“搓”出渦來(lái).再由黏性擴(kuò)散到流體內(nèi)部.

在固體邊界處，流體微元的變形是受到限制的.如圖2所示，在流體內(nèi)部，流體微元受到剪切應(yīng)力作用，它對(duì)應(yīng)的變形是剪切變形，由圖2中A的樣式變成B的樣式.而固體邊界處的流體微元，由于固體的不可穿透性，該微元的下表面是不能離開(kāi)固體邊界的，因此也就產(chǎn)生不了剪切變形.因此，固體邊界實(shí)際上是打破了流體微元變形的對(duì)稱性.相當(dāng)于對(duì)流體微元施加了一個(gè)力矩，阻止它發(fā)生剪切變形.該流體微元的變形就只能是平行剪切變形，變成圖中C的樣式.正是微元變形的這個(gè)不對(duì)稱，成了黏性流動(dòng)的渦量的源.

圖2 固體邊界處流體微元的變形示意圖

所以，黏性通過(guò)固體邊界產(chǎn)生渦量，并不是剪切應(yīng)力“搓”出來(lái)的，而是固體邊界對(duì)流體變形的限制產(chǎn)生的.從受力角度看，在固體邊界處，固體邊界會(huì)對(duì)流體施加額外的力，對(duì)流體微元產(chǎn)生凈的力矩作用，使得流體微元發(fā)生旋轉(zhuǎn)，具有了渦量.

4 黏性系數(shù)不連續(xù)的界面處流體微元的變形不對(duì)稱

在流體內(nèi)部，如果流體的黏性系數(shù)不連續(xù)，流體微元的變形也會(huì)打破對(duì)稱性.如圖3所示，處于兩平行平板之間的兩層黏性流體，黏性系數(shù)均為常量，但不相等.下板靜止，上板勻速移動(dòng).上下兩層流體中的速度分布如圖3所示.在界面處，應(yīng)滿足這樣的條件：速度連續(xù)，剪切應(yīng)力連續(xù).兩層流體的黏性系數(shù)不同，所以，上下兩層流體微元的剪切變形的速率不一樣(參見(jiàn)圖3).上層流體中，流體微元受到剪切應(yīng)力作用，發(fā)生剪切變形，由圖3中D的樣式變成E的樣式.而在下層流體中，同樣的時(shí)段內(nèi)，則變成圖中F的樣式.這樣，變形率在界面處就不連續(xù)了.黏性系數(shù)的不連續(xù)也就打破了流體微元變形的對(duì)稱性.所以，界面處就可能是黏性產(chǎn)生渦量的區(qū)域.

圖3 兩層黏性系數(shù)不同的流體界面處流體微元的變形示意圖

這樣看來(lái)，黏性在流體內(nèi)部也可以產(chǎn)生渦量.但也不是由剪切應(yīng)力“搓”出來(lái)的，而是微元變形的不對(duì)稱導(dǎo)致了流體內(nèi)部產(chǎn)生額外的應(yīng)力，這個(gè)應(yīng)力驅(qū)動(dòng)了流體微元的自轉(zhuǎn)，為流體提供了渦量的源.

5 自由表面處流體微元的變形不對(duì)稱

液體通常具有自由表面.在自由表面處，應(yīng)滿足這樣的邊界條件：應(yīng)力的法向分量為常量(一般是大氣壓強(qiáng))，切向分量為零[5].如果有不為零的切向應(yīng)力，則意味著自由表面受到了外力的作用.在自由表面處，速度分布始終保持切向速度沿法向的梯度為零，如圖4所示.除非是定常平面的自由表面，保持這樣的速度分布是需要內(nèi)力的“付出”的.流體內(nèi)部的流體微元按照胡克定律變形著，如果內(nèi)部的流動(dòng)有變化，通過(guò)黏性傳遞到自由表面時(shí)，也會(huì)在自由表面上產(chǎn)生相應(yīng)的切應(yīng)力，而此切應(yīng)力會(huì)使得流體表面(的流體)產(chǎn)生無(wú)窮大的流體加速度.這個(gè)由黏性力導(dǎo)致的流體加速度就在邊界上產(chǎn)生渦量[5].黏性流體始終維持著自由表面附近邊界層內(nèi)的切向速度相等，一定是黏性流體用“力”維持的.也就是說(shuō)，所謂“自由”的表面，正是靠恰好的約束來(lái)保證的.

圖4 自由表面處的速度分布示意圖

自由表面上的切應(yīng)力時(shí)時(shí)為零，如果自由表面是彎曲的，隨時(shí)間變化的，流體內(nèi)部的變形在自由表面處必須為零的條件就使得變形在該邊界處不連續(xù)了，從而破壞了流體微元變形的對(duì)稱性，使得自由表面處成了黏性流動(dòng)的渦量源.

6 結(jié)語(yǔ)

從現(xiàn)象上看，黏性產(chǎn)生渦源的區(qū)域大概有三個(gè)：固體邊界處、流體內(nèi)部黏性系數(shù)不連續(xù)的界面處和自由表面處.它們又可以統(tǒng)一在一起看，即：這三個(gè)區(qū)域都是打破了剪切變形的對(duì)稱性的區(qū)域.所以，黏性產(chǎn)生渦量的根源，從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度講，是剪切變形的不連續(xù).從動(dòng)力學(xué)角度講，流體會(huì)在剪切變形的不連續(xù)處產(chǎn)生額外應(yīng)力，這個(gè)應(yīng)力會(huì)對(duì)流體微元產(chǎn)生凈的力矩作用，從而使流體微元產(chǎn)生旋轉(zhuǎn).這個(gè)額外力，來(lái)自于流體黏性系數(shù)的不連續(xù)(固體可看作是黏性系數(shù)為無(wú)窮大的情況，自由表面之上的空間可看作是黏性系數(shù)為零的情況)，是流體微觀性質(zhì)的分布不均勻在宏觀層次上的呈現(xiàn).

黏性流動(dòng)基本上都是有旋的.黏性對(duì)應(yīng)的作用力是剪切應(yīng)力.但是，黏性導(dǎo)致的有旋運(yùn)動(dòng)，其渦量并不是由剪切應(yīng)力搓出來(lái)的.實(shí)際上，黏性流動(dòng)的渦量是剪切變形的“斷裂”(即：不連續(xù))生出來(lái)的.形象點(diǎn)兒說(shuō)，黏性流動(dòng)的渦量是在剪切變形的不連續(xù)處“裂”出來(lái)的.

1莊禮賢，尹協(xié)遠(yuǎn)，馬暉揚(yáng)．流體力學(xué)．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2009

2王振東．流體渦旋漫談．現(xiàn)代物理知識(shí),2012,24(2):9-16

3周光坰，嚴(yán)宗毅，許世雄等．流體力學(xué)(上)．北京：高等教育出版社,2000

4周光坰，嚴(yán)宗毅，許世雄等．流體力學(xué)(下)．北京：高等教育出版社,2000

5 Batchelor GK．流體動(dòng)力學(xué)引論.沈青，賈復(fù)譯.北京：科學(xué)出版社，1997

O35

A

10.6052/1000-0879-16-335

本文于 2016–10–17收到.

1)趙軍方，講師，主要從事流體力學(xué)和海洋動(dòng)力學(xué)教學(xué)與研究.E-mail:dongpinghu@sina.com

趙軍方.渦是搓出來(lái)的嗎?力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(6):635-638

Zhao Junfang.Are vortices twisted by shear stress?Mechanics in Engineering,2017,39(6):635-638

(責(zé)任編輯:胡 漫)