關(guān)于二元一次方程組解法的教學(xué)順序思考

廣東省中山市民眾中學(xué)(528441) 楊良畏

關(guān)于二元一次方程組解法的教學(xué)順序思考

廣東省中山市民眾中學(xué)(528441) 楊良畏

1 背景介紹

人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第八章內(nèi)容是《二元一次方程組》,本章內(nèi)容第一節(jié)是關(guān)于二元一次方程組的介紹,第二節(jié)是關(guān)于二元一次方程組的解法.解二元一次過程中,關(guān)鍵是消元.消元有兩種方法,一種是代入消元法,另一種是加減消元法.人教版中先介紹的是代入消元法,然后再介紹加減消元法.在備課的時(shí)候,我在思考為什么先編寫代入消元法,如果是先教學(xué)生學(xué)加減消元法,可以嗎?正好我們學(xué)校在說課的時(shí)候,我碰到了一位老教師也提過這個(gè)問題,他還提出為什么教材按這種順序編寫,應(yīng)該有其道理.我對(duì)于這種答案不是很滿意,我決定深挖教材為什么這么編寫?是不是可以調(diào)換順序.筆者查閱大量資料和教材,從以下幾個(gè)方面對(duì)本問題進(jìn)行闡述.

一、簡單介紹二元一次方程.要想解決一個(gè)問題,需要去了解它.不僅要了解二元一次方程,還得了解二元一次方程與中學(xué)生所學(xué)其他數(shù)學(xué)知識(shí)有何聯(lián)系.

二、作者從查閱其他版本的教材和教學(xué)案例研究進(jìn)行說明.筆者將著重從北師大版、蘇教版、魯教版、冀教版和湘教版等版本教材進(jìn)行對(duì)比說明二元一次方程組的解法是否可以交換順序.

三、作者最后從以下幾個(gè)角度去進(jìn)行說明二元一次方程組的解法是否可以交換順序.

(一)從課標(biāo)的角度.

(二)從學(xué)生理解能力及接受能力.

四、關(guān)于優(yōu)先講授加減消元法設(shè)想及理論依據(jù).

五、小結(jié).

2 二元一次方程組的介紹

實(shí)際生活中涉及多個(gè)未知數(shù)的問題是普遍存在的,其中許多問題中的數(shù)量關(guān)系是線性的,比如經(jīng)典的“雞兔同籠”問題,就是二元問題,如果再加狗貓等動(dòng)物進(jìn)去,未知數(shù)就多了起來.二元一次方程組問題是生活中最為常見的問題,它也是后續(xù)學(xué)習(xí)多元方程問題重要基礎(chǔ).二元一次方程組是指方程組中有兩個(gè)未知數(shù),含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且一共有兩個(gè)方程.一般地,二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.

3 其他版本教材對(duì)二元一次方程組解法的解讀

北師大版八年級(jí)上冊(cè)教材中第五章是關(guān)于二元一次方程組的相關(guān)知識(shí),北師大版教材也是同人教版,先講解的代入消元法,然后再學(xué)習(xí)加減消元法.就連教法學(xué)法也是同人教版一樣,也是從一個(gè)應(yīng)用題入手,而且這個(gè)應(yīng)用題既可以用一元一次方程的方法解決,也可以用二元一次方程組的方法解決,然后對(duì)比得出二元一次方程組解法的代入消元法.魯教版2014版和冀教版2013版中是引用老牛、小馬駝包裹的實(shí)際問題既可以用一元一次方程的方法解決,也可以用二元一次方程組的方法解決,然后對(duì)比得出二元一次方程組的解法——代入消元法.同樣蘇教版及湘教版均是采用以上的方法得出二元一次方程組的解法——代入消元法.

各種版本的教材對(duì)于二元一次方程組解法都是先講授代入消元法,再講授加減消元代入法.

4 基于這兩種教法順序的幾點(diǎn)看法

為什么很多教材都進(jìn)行這種教學(xué)順序呢?難道就不能先講授加減消元法,再講授代入消元法?如果可以的話,為什么沒有一種版本教材按那種順序編寫呢?本論文將從以下三個(gè)方面去論述教材為什么先介紹代入消元法,再介紹加減消元法.

如圖2所示，分別以AB、BC、CA所在直線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)依次記為P1、P2、P3,連接P1A、P1B、P2B、P2C、P3C、P3A.易知△PAB與△P1AB關(guān)于AB所在直線成軸對(duì)稱，△PBC與△P2BC關(guān)于BC所在直線成軸對(duì)稱，△PCA與△P3CA關(guān)于CA所在直線成軸對(duì)稱.

(一)從課標(biāo)的角度看問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)(本文簡稱《課表》)指出:課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn),要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際,有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索.課程內(nèi)容的組織要重視過程,處理好過程與結(jié)果的關(guān)系.先講授代入消元法,這也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.各版本教材在講授二元一次方程組解法時(shí),都是從實(shí)際問題入手,讓學(xué)生用兩種方法去建立等量關(guān)系.如人教版是從一個(gè)籃球聯(lián)賽中的勝負(fù)場數(shù)問題開始討論,這個(gè)問題含有兩個(gè)未知數(shù).在上學(xué)期,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的內(nèi)容,所以有兩種方法解決這個(gè)問題:一種方法是,設(shè)立一個(gè)未知數(shù)為x,并用含有x的式子表示另一個(gè)未知數(shù),根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出一元一次方程;另一方法就是本學(xué)期講授的設(shè)兩個(gè)未知數(shù)x和y,根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出一元一次方程,組成方程組.應(yīng)用題貼近學(xué)生的實(shí)際,有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索.

《課標(biāo)》中闡述數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.選擇講授代入法,可以調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考,對(duì)比觀察得到代入消元法解方程組,起到良好的教學(xué)效果.

《課標(biāo)》中說道:模型思想的建立是體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.各種版本教材代入消元法都是用實(shí)際問題來引入,從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn).用二元一次方程組和一元一次方程表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系,這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié),求出結(jié)果并類比討論兩個(gè)方程的聯(lián)系與區(qū)別,并討論結(jié)果的意義,是建模的目的.通過“問題情境”、“建立數(shù)學(xué)模型”、“觀察對(duì)比”“發(fā)現(xiàn)區(qū)別與聯(lián)系”“解釋與應(yīng)用”使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程,從建模中發(fā)現(xiàn)問題,發(fā)現(xiàn)規(guī)律.這也是教材所先采用代入消元法的另一重要理論依據(jù).

(二)從學(xué)情角度看問題

教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),面向全體學(xué)生,注重啟發(fā)式和因材施教.學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的內(nèi)容,學(xué)生對(duì)方程有了一定的認(rèn)識(shí),會(huì)用一元一次方程表示等量關(guān)系,并求出它的解.二元一次方程組的解法就是消元化解成一元一次方程,因此對(duì)一元一次方程的認(rèn)識(shí)為學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法奠定了基礎(chǔ).我們根據(jù)學(xué)生的學(xué)情,講授二元一次方程組的解法時(shí),盡可能是在學(xué)生已經(jīng)掌握知識(shí)的前提下去講授新方法.下面根據(jù)人教版的教材,我們來闡述為什么先講授代入消元法.

教材從一個(gè)籃球聯(lián)賽中的勝負(fù)場數(shù)問題開始討論.

籃球聯(lián)賽中,每場比賽都要分出勝負(fù),每隊(duì)勝1場得2分,負(fù)一場得1分.某隊(duì)在10場比賽中得到16分,那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場數(shù)分別是多少?

直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù):勝x場、負(fù)y場,可以列方程組

表示籃球聯(lián)賽問題中的數(shù)量關(guān)系.如果用上學(xué)期得知識(shí),只設(shè)一個(gè)未知數(shù):勝x場,那么這個(gè)問題也可以用一元一次方程2x+(10?x)=16來解.在教學(xué)中,我們通常是引導(dǎo)學(xué)生去觀察對(duì)比兩個(gè)方程的異同,加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究性.對(duì)比

我們很容易引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二元一次方程組中第一個(gè)方程

可以寫成

由于兩個(gè)方程中的y都表示負(fù)場數(shù),所以,學(xué)生可以把第二個(gè)方程

中的y換成10?x,這個(gè)方程就化成為一元一次方程

順理成章,我們很容易理解為什么先講授代入消元法來解二元一次方程組.如果用加減消元法來觀察就比較困難.

(三)從教材編寫順序以及代入消元法的承上啟下作用進(jìn)行闡述.

在學(xué)習(xí)二元一次方程組之前,各版本教材就已經(jīng)安排學(xué)習(xí)了一元一次方程.也就是說二元一次方程組的解法之前,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程.一元一次方程求解的學(xué)習(xí)為我們學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法時(shí)候已經(jīng)奠定了基礎(chǔ),尤其一些拓展訓(xùn)練的題目已經(jīng)運(yùn)用了代入思維.例如:

已知方程

求多項(xiàng)式

值.

其中解法就蘊(yùn)含著代入思想.代入思維經(jīng)常在各種計(jì)算里遇見,為代入消元法的講授奠定基礎(chǔ).

代入消元法在以后的三元一次方程組中也有重要的引導(dǎo)作用,當(dāng)然加減消元法也是可以解決三元一次方程組問題.隨著學(xué)生們以后接受知識(shí)的增加,見識(shí)的方程種類會(huì)越來越多,從初等數(shù)學(xué)中的簡單代數(shù)方程,到高等數(shù)學(xué)中的微分方程、積分方程,方程的類型由簡單到復(fù)雜不斷地發(fā)展,但是,無論方程的類型如何變化,形形色色的方程都是含有未知數(shù)的等式,都表達(dá)涉及未知數(shù)的相等關(guān)系;解方程的基本思想都是依據(jù)相等關(guān)系使未知數(shù)逐步化歸為用已知數(shù)表達(dá)的形式,其中基本都是采用的代入消元法,這也暗示著代入消元法思想是先行的,也是我們第一時(shí)間想到的,所以從這個(gè)方面也可以多少說明一點(diǎn)先講授代入消元法的各版教材依據(jù).

4 關(guān)于優(yōu)先講授加減消元法設(shè)想及理論依據(jù)

筆者有時(shí)在想如果我偏偏先講授加減消元法,能不能讓學(xué)生弄明白其理?能不能達(dá)到先講授代入消元法同等效果?如果可以,應(yīng)該怎么教學(xué)?我們知道各版本教材都是從實(shí)際問題切入,采用兩種方法:一元一次方程和二元一次方程組,然后采用對(duì)比啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了代入消元法.筆者也想從這個(gè)方向入手,找一個(gè)應(yīng)用題,列二元一次方程組,然后采用對(duì)比啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了代入消元法.我國古代《九章算術(shù)》已有提及方程思想的問題.其中有一道問題就運(yùn)用了方程的思想,而且還是巧用加減消元法.如“牛五、羊二,等于十兩黃金;牛二、羊五,等于八兩黃金.問羊一值幾兩黃金?”按照書中“齊同”演算,“牛十、羊四,等于二十兩黃金,牛十、羊二十五五,等于四十兩黃金.前后兩行的牛十,而黃金多出了二十兩,主要是多出了二十一頭羊的價(jià)格,則可推算出羊一值二十分之二十一.”《九章算術(shù)》里此類思想是解方程組中的加減消元法.其中“齊同”就是加減消元法中使未知數(shù)的系數(shù)相等或者相反.我認(rèn)為如果用這個(gè)例子去講授二元一次方程組的解法——加減消元法,也是可以的.以《九章算術(shù)》為例,設(shè)置問題情境,引導(dǎo)學(xué)生了解方程的古代歷史,明確方程組與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)系,以達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)理解的效果.

加減消元法和代入消元法哪個(gè)實(shí)用性較大?如果單純的從二元一次方程組來講,我們普遍認(rèn)為各有其優(yōu)缺點(diǎn).它們的共同點(diǎn)都是消元解方程組,使二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題,求出一個(gè)未知數(shù)后再求另一個(gè)未知數(shù).它們不同的是,消元方法不一樣,一個(gè)是通過“代入”或通過“加減”來消元.對(duì)于一個(gè)二元方程組用哪種消元方法都是可以的.具體用哪個(gè),得看具體題目.也就是說,代入消元法和加減消元法對(duì)于解二元一次方程組沒有好壞之分.但是,以后學(xué)習(xí)了元線性方程組后,我們是將其系數(shù)矩陣化成階梯型矩陣來求其解.從化階梯型矩陣的過程中,我們不難發(fā)現(xiàn)整個(gè)過程其實(shí)就是我們現(xiàn)在使用的加減消元法.所以說加減法是解元線性方程組中更為一般方法.

5 結(jié)語

如果僅從做題或者使用性角度出發(fā),先教哪種方法都無關(guān)要緊,因?yàn)椴还苋绾?以學(xué)生的能力,只要后面多加習(xí)題練習(xí),學(xué)生肯定是可以掌握的.但這不符合我們的教學(xué)規(guī)律,也不符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律.數(shù)學(xué)教學(xué)不能只注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的傳授,還要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中滲透.如果只考慮知識(shí)的傳授將不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,很難提高學(xué)生的知識(shí)水平與數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用能力.因此,我們?cè)谥匾晹?shù)學(xué)知識(shí)傳授的同時(shí),一定要融入有效的數(shù)學(xué)思想方法,而不僅僅停留在如何解二元一次方程組.代入消元法教學(xué)是利用實(shí)際問題,老師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)代入消元法,把其中一個(gè)未知數(shù)替換成為另一個(gè)未知數(shù)的式子,兩者是相等的,理論依據(jù)是等量代換.這種遵循認(rèn)知規(guī)律的教法,相較于加減消元法講授,學(xué)生是更容易接受代入消元法,也利于啟發(fā)式教學(xué).故各版教材先介紹代入消元法是恰當(dāng)?shù)?