復習課中設計課題學習的嘗試與思考*以“有理數(shù)減法法則新探”為例

江蘇師范大學附屬實驗學校(221011) 張平

復習課中設計課題學習的嘗試與思考*以“有理數(shù)減法法則新探”為例

江蘇師范大學附屬實驗學校(221011) 張平

一、問題提出

教學實踐表明,課標中倡導的課題學習是研究性學習的良好素材,有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,增強學生做數(shù)學、用數(shù)學的意識.我們的思考是:能否在某些復習課中,設計一些課題學習的素材,一方面改變復習課上常見的知識羅列加習題變式訓練的設計方式,另一方面以課題學習為載體提升學生的思維能力.筆者在研讀教材中發(fā)現(xiàn),作為乘法的逆運算除法的法則,教材中給出了兩種描述方式,一種是“除以一個不等于0的數(shù),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”,另一種是“兩個不等于0的數(shù)相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除,0除以任何一個不等于0的數(shù),都得0”,而作為有理數(shù)加法的逆運算減法的法則教材中只給出一種方式即“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”.減法法則能否類比加法的法則,采取新的描述方式呢?

二、教學案例

1.教學背景

在一次區(qū)級公開課上,某教師執(zhí)教蘇科版七年級上冊第2.3節(jié)“有理數(shù)的加法”,在課堂小結時,教師提問你還想學習哪些內容,有的學生提出兩個有理數(shù)相減的法則是怎樣的?教師讓學生討論了這個問題,有的學生試圖通過實際生活中所蘊含的算式來總結規(guī)律,被教師否定了.我在進行有理數(shù)單元復習時,豁然回想起上次聽課中被教師否決的問題,學生的想法可行嗎?能否類比有理數(shù)加法法則產(chǎn)生的過程來探究有理數(shù)減法的法則,此時有理數(shù)減法的法則是否有新的表述方式呢?于是設計了一個課題學習“有理數(shù)減法法則新探”.

2.案例呈現(xiàn)

師:我們已經(jīng)學習了減法的法則?教材中是如何描述的,哪個同學來說一下?

生1:減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù).

師:有理數(shù)減法法則還有其他表述嗎?

生:(疑惑的眼神中帶有好奇)沒有呀!

圖1

師:今天我們來共同探究這個問題,如果用溫度計測量A、B兩溶液的溫度,得到A溶液的溫度為+9°C,B溶液的溫度為+4°C,那么A溶液的溫度比B溶液的溫度高5°C,你能用有理數(shù)算式來表示上述過程嗎?

生2:(+9)?(+4)=+5.

師:如果A溶液的溫度為+9°C,B溶液的溫度為?4°C,那么A溶液的溫度比B溶液的溫度高13°C,那么用有理數(shù)算式如何表示上述過程.

生3:(+9)?(?4)=+13.

師:如果A溶液的溫度為+9°C,B溶液的溫度為+18°C,那么A溶液的溫度比B溶液的溫度低9°C,用有理數(shù)算式表示為

生:(+9)?(+18)=?9.

師:請同學們再舉出幾個相關的例子,并完成下表:

溫度計示數(shù)A溶液B溶液A、B溶液溫度比較(高出的示數(shù)記為+,反之記為?)算式+5?6+11(+5)?(?6)=+11+5+6?1(+5)?(+6)=?1+5+5 0(+5)?(+5)=0?5+2?7(?5)?(+2)=?7?5?7+2(?5)?(?7)=+2?5?5 0(?5)?(?5)=0 0?2 2 0?(?2)=2?2 0?2(?2)?0=?2

(學生獨立完成了上表)

師:這樣我們得到了11個算式,你能用學習加法法則的經(jīng)驗來對這些算式進行分類嗎?

學生經(jīng)過討論,得到了如下兩種較為典型的結果:

生4:從減數(shù)、被減數(shù)的符號同異的角度可以分為:

同號相減:(+9)?(+4)=+5,(+9)?(+18)=?9,(+5)?(+6)=?1,(+5)?(+5)=0,(?5)?(?7)=+2,(?5)?(?5)=0;

異號相減:(+9)?(?4)=+13,(+5)?(?6)=+11,(?5)?(+2)=?7;

0與一個數(shù)相減:0?(?2)=2,(?2)?0=?2.

生5:從差的正負性的角度分類:

差為正數(shù):(+9)?(+4)=+5,(+9)?(?4)=+13,(+5)?(?6)=+11,(?5)?(?7)=+2,0?(?2)=2.

差為負數(shù):(+9)?(+18)=?9,(+5)?(+6)=?1,(?5)?(+2)=?7,0?(+2)=?2.

差為0:(+5)?(+5)=0,(?5)?(?5)=0.

師:能否根據(jù)分類的結果,總結出兩個有理數(shù)的減法法則嗎?

(學生模仿有理數(shù)加法的法則,由第一種分類方式總結減法法則,沒能成功)

生7:從差的正負性出發(fā)可以得到啟示,兩個數(shù)相減,首先要比較大小.

師:那如何確定差的符號及絕對值呢?(學生討論)

生:如果是大數(shù)減小數(shù),那么差的符號為+,兩數(shù)同號時,用較大的絕對值減較小的絕對值,兩數(shù)異號時,把絕對值相加;如果是小數(shù)減大數(shù),那么差的符號為?,兩數(shù)同號時,用較大的絕對值減較小的絕對值,兩數(shù)異號時,把絕對值相加;如果兩數(shù)相等,那么差為0.

師:同學們,討論一下該生的結論,你們是否贊同他的觀點.

生:贊同.

師:哪個同學能總結一下呢?

生:兩個有理數(shù)相減,首先要判斷兩個數(shù)的大小,再看兩數(shù)的符號同異,具體的說法同上.

師:看來只要我們用發(fā)現(xiàn)的眼光,嘗試換種角度去探究某個問題,就可能發(fā)現(xiàn)新的一片天地,有理數(shù)減法法則看來又多了一種表述,這種表述與教材中“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”的表述有何不同呢?請同學們討論一下!

生:課本上采用的是轉化的方式,而我們采取的是直接的方式.

生:課本上的簡單,我們習慣做加法,而減法是加法的逆運算,因此把減法轉化為加法做,我們更容易接受.

師:大家講的很好,這大概是慣性思維所起的作用,如果先學習有理數(shù)減法法則,那么加法法則可能就變?yōu)椤凹由弦粋€數(shù)等于減去這個數(shù)的相反數(shù)”,我們今天討論的問題先到這里,談談你的收獲吧!(略)

3.教學反思

復習課常給學生一種舊課的感覺,但本節(jié)課學生探究的欲望強烈,最后在他們習以為然的法則中獲得了新的發(fā)現(xiàn).回顧本課題設計正是利用學生已有的知識經(jīng)驗,另辟蹊徑,提高了復習的效益.如何更好的運用課題學習來提升學生的思維品質呢?筆者做了以下思考:

(1)設計好課題學習的梯度,提升學生思維的深度

復習課中的課題學習在知識的應用及創(chuàng)新上將有更高的要求,學生通常感到有難度,因此對于較難的課題學習素材要注意知識間的銜接與過渡,做到有層次、有梯度,使課題學習符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”.讓學生在逐層逐梯的探究中,理解知識產(chǎn)生的根源及其所反映的本質問題.在有理數(shù)減法法則新探中,學生已經(jīng)學習了一種減法法則,知曉一個有理數(shù)可由符號與絕對值來確定,并且加法的法則的學習經(jīng)驗為本課題學習提供了正能量,所以有理數(shù)減法法則新探成為了可能性.再結合溶液的溫度比較的生活情境,由生活問題到數(shù)學問題的梯度自然,有利于學生理解有理數(shù)相減的算式意義,讓學生觀察算式的特點并根據(jù)特點進行分類,有效的分類為減法法則的產(chǎn)生提供了便利,而由具體算式到法則的形成之間的梯度度較大,教師要給予充分的時間讓學生討論交流,如果對學生思維活動過早表態(tài)往往會壓抑思維的展開,導致學生思維“終止”或浮于表面.教師要在留白處耐心等待學生的心靈轉向,把學生當成是交流思想的朋友.讓學生在自由的時空里進行思維活動,從而逐步提升學生的思維深度.

(2)把握課題學習的尺度,提升學生思維的廣度

數(shù)學知識具有一定的系統(tǒng)性,已學知識是后繼知識的基礎,而后繼知識常是已學知識的發(fā)展與提升,因此在復習課中設計課題學習時要注意知識延伸的尺度,不要一味地補充新的知識,而要思維的聯(lián)系上下功夫,在有理數(shù)減法法則新探中,教師設置了以下幾個問題:有理數(shù)減法法則與加法法則的產(chǎn)生過程有何聯(lián)系、兩種減法法則的描述有何不同、你能從數(shù)軸的角度解釋有理數(shù)減法的幾何意義嗎?如何從具體算式中總結出運算的規(guī)律,諸如此類問題可以引發(fā)學生對于已學知識間的比較與分析,啟發(fā)學生用普遍聯(lián)系的觀點去審視問題,拓展學生思維的廣度.

(3)拓寬課題學習的角度,提升學生思維的高度

課題學習要著眼于知識的多維角度,從興趣與需求、過程與結果、知識與能力等方面研究,讓學生從知識系統(tǒng)和方法論的高度,去把握知識、觀察生活和進行思考.有理數(shù)減法當h＜a時,S2＜S1.即高＜長時,縱展路程＜橫展路程,推出高“矮”縱路近.

當a＜h時,S1＜S2.即長＜高時,橫展路程＜縱展路程,推出長“短”橫路近.

由此,引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律:高“矮”縱路近,長“短”橫路近.這樣,將學生的疑問轉變?yōu)樘骄康男缕瘘c而成功開展,不僅讓學生對知識進行了拓展和補充,探究發(fā)現(xiàn)了知識規(guī)律,還提升了解決問題的能力,可謂一舉多得.再出示兩個如下難題,也極容易解答.

題1 (淄博中考)如圖4所示,是一塊長、寬、高分別為6厘米、4厘米和3厘米的長方體木塊.一只螞蟻要從長方體木塊的一頂點A處,沿著長方體的表面到長方體上和A點相對的頂點B處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑的長是( )

題2 如圖5所示,如果一只螞蟻要沿著長方體的表面從A點爬到B點,最近的路線長為多少?

圖4

圖5

蘇霍姆林斯基說:“教育的技巧并不在于能預見到課的所有細節(jié),而在于根據(jù)當時的具體情況,巧妙地在學生中不知不覺地做出相應的變動.”課堂教學是一個動態(tài)的、不斷生成的過程.課堂上,學生根據(jù)自己的獨特感悟,隨時可能提出讓教師感到意外的問題.面對這樣的“意外”,教師應該理性對待,隨機調整教學策略,有分寸地適時地將“意外”納入教學當中進行化解,重構課堂的動態(tài)生成,從而使意外成為探究的新起點,給師生帶來探究的無窮魅力,變成課堂上的精彩瞬間.

*本文系2015年度江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題“初中選學走組制教學的實踐研究”(編號:B-b/2015/02/240)的階段性成果之一.