漫談思維定勢的“立”與“破”

1緣起——師生解法對決

在進(jìn)行初三期中復(fù)習(xí)時，碰到如下問題：

題目（2012年深圳）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x+b（b≥0）的位置隨b的不同取值而變化.已知⊙M的圓心坐標(biāo)為（4，2），半徑為2.

（1）當(dāng)b=時，直線l：y=-2x+b（b≥0）經(jīng)過圓心M；

（2）當(dāng)b=時，直線l：y=-2x+b（b≥0）與⊙M相切；

（3）略.

對于第（1）題，直接代入圓心坐標(biāo)即可，b=10；對于第（2），教師和學(xué)生的思路如下.

①當(dāng)直線l與⊙M相切，設(shè)切點(diǎn)為C，連接MC，作ME⊥OX，則ME=2=r，E為切點(diǎn)，作CG⊥ME，CH⊥OX.

②由△CGM∽△AOD，MGCG=ODOA=12，且MC=2，求出MG=255，CG=455.

③故OH=4-455，CH=2-255，即求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（4-455，2-255）.

④最后代入直線y=-2x+b，從而b=10-25.

同理求出另一條切點(diǎn)C′（4+455，2+255），從而求出b=10+25（見圖3）.

點(diǎn)評教師先求出點(diǎn)C坐標(biāo)是關(guān)鍵，用點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式求出b是常規(guī)手段！圖3圖4學(xué)生思路①根據(jù)第（1）題結(jié)果，如圖4，先畫出過圓心M的直線l，再畫出直線FC（與圓M相切），連接MC，作FT⊥MB.

②由△BFT∽△ADO，且FTBT=ODAO=12，F(xiàn)T=2，故FB=25.

③把直線BM向下平移25個單位，即b=10-25，同理另一個b=10+25.

點(diǎn)評教師做法中規(guī)中矩，求切點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式，從而求b；學(xué)生做法獨(dú)辟蹊徑，具有獨(dú)創(chuàng)性，畫出直線MB，利用平移知識巧妙求出b.

反思求b，為什么一定要先求出C點(diǎn)坐標(biāo)呢？學(xué)生為何能畫出這樣漂亮的直線MB呢？學(xué)生怎么想到平移已知直線MB來求解而教師卻不能？

2厘清概念——“思維定勢”解析

思維定勢是心理學(xué)定勢理論術(shù)語.定勢是一定的心理活動所形成的一種預(yù)先的心里準(zhǔn)備狀態(tài)，它使人們以比較固定的方式進(jìn)行認(rèn)知或作出反應(yīng)，并影響問題解決時的趨向性.這種趨向性有時有利于問題的解決，起到積極的正效應(yīng)；有時卻妨礙問題的解決，起到消極的負(fù)效應(yīng).鑒于思維定勢具有雙重性，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生有利于正效應(yīng)的思維定勢，防止和克服產(chǎn)生負(fù)效應(yīng)的思維定勢.

3思維定勢的“建立”——解題有法

學(xué)生解題過程，就是思維定勢的建立過程.所謂熟能生“巧”，就是人們大腦皮層中形成的某種固定聯(lián)系，是自然而然的想法.

3.1通過觀察，學(xué)會模仿是建立思維定勢的有效手段

案例1學(xué)習(xí)全等三角形判定方法，為什么教材都給出這樣的格式？

圖5AB=A′B′，

∠A=∠A′，

AC=A′C′，所以△ABC≌△A′B′C′（SAS）

對于初學(xué)者，強(qiáng)調(diào)這樣的書寫格式，就是讓學(xué)生模仿，創(chuàng)造源于模仿，學(xué)生多次訓(xùn)練后，就形成正向、強(qiáng)烈的思維定勢，為平面幾何學(xué)習(xí)夯實(shí)了基礎(chǔ).

案例2例如在圓中已知弦長，求半徑，一般做法是構(gòu)造含弦、半徑、弦心距的直角三角形.

問題1如圖6，在⊙A中，半徑為5，弦長MN=8，則A到MN的距離=.

思路解析上述問題，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造Rt△，如圖7，過A作AD⊥MN，求得AD=3；歸納，在圓中經(jīng)常要構(gòu)造含弦、半徑、弦心距的直角三角形，學(xué)生通過觀察，也接受了這一結(jié)論.

圖6圖7問題2如圖8，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙A與y軸相切于點(diǎn)B（0，3），與x軸相交于M、N兩點(diǎn).如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo).

圖8圖9思路解析受上述問題1暗示和影響，先連接AB，仿照上述做法，如圖9，作AD⊥MN，連接AM，產(chǎn)生Rt△，AD=3，OM=1，設(shè)半徑為r，則（r-1）2+9=r2，r=5.

反思問題2很快解決，學(xué)生已經(jīng)積累了基本經(jīng)驗(yàn)，顯然這一做法是思維定勢的積極作用.這種正向思維定勢，提高了學(xué)生解題能力.由此可知，在學(xué)習(xí)新知識初期，要引導(dǎo)學(xué)生建立某種思維定勢，使學(xué)生解題有一般思路，做到有章可循，有法（法則、定理）可依.只有建立了相應(yīng)的思維定勢，才能說學(xué)生已經(jīng)掌握某種知識和方法.

3.2熟練掌握概念、定理、公式、法則等并能正確應(yīng)用是建立思維定勢的基礎(chǔ)

如證直線與圓相切，一般做法是充分利用“d=r”這一性質(zhì).（d為圓心到直線的距離，r為圓半徑）

案例3

問題1如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心OC為半徑作半圓，求證：AB為⊙O的切線.

思路解析教師引導(dǎo)學(xué)生先判定直線AB與⊙O交點(diǎn)情況，再作垂線OD（OD⊥AB），下證OD=r，利用角平分線性質(zhì)即可.教師強(qiáng)調(diào)證切線即證“d=r”，并總結(jié)直線與圓交點(diǎn)未明確時，可作垂直，證半徑.學(xué)生有了這樣的體驗(yàn)、感受，就有了一定的經(jīng)驗(yàn)積累.endprint

思路解析受到上述案例的思維定勢，證明AB與⊙O相切，先連接OD，OA，再作垂直（OE⊥AB），下證OE=r，一次成功.顯然，學(xué)生在切線證明問題上已經(jīng)有一定的思維定勢，且這種定勢是正向的，從而提高了解題能力.只要新舊問題的實(shí)質(zhì)類似，思維定勢就起到正效應(yīng).

4思維定勢的“突破”——解無定法

思維定勢具有正效應(yīng)，對于解決問題很重要，我們常說教師的解題“經(jīng)驗(yàn)”豐富，就是說的思維定勢的積極一面.但思維定勢使解題者的思路總是沿著固定的軌道進(jìn)行，從而限制了創(chuàng)造性的發(fā)揮，難以產(chǎn)生新的思路，新的想法.當(dāng)問題條件發(fā)生質(zhì)的變化，思維定勢會使解題者墨守成規(guī)，造成知識和經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，使解題陷入困境.如何突破思維定勢？

4.1一題多解培養(yǎng)發(fā)散思維——“突破”思維定勢

發(fā)散思維就是從某一點(diǎn)出發(fā)，不依常規(guī)，尋求變異，進(jìn)行放射性聯(lián)想，得出多種想法、解法.它往往從不同的角度考慮思維對象，擴(kuò)大思維的聯(lián)想度，完成“虛”和“實(shí)”的轉(zhuǎn)化，從而在思維的某個方向受阻時，能立即遷移到另一個方向去思考.

圖12案例4平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B，如圖12.

（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)B作⊙M的切線，求直線的解析式；

（3）∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙M于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長.

（注：第1、2小題解法省略，第3小題N的坐標(biāo)解法也省略，其中N（247，247））

本題是學(xué)習(xí)圓后，綜合復(fù)習(xí)的一道習(xí)題，學(xué)生對（3）中求OE長給出了不同解法，現(xiàn)列出如下：

法一：如圖13，過E作ET⊥OA，過M作MP⊥ET，連ME，設(shè)ET=a，則EP=a-3；MP=a-4，由勾股定理（a-3）2+（a-4）2=25，a=7，故OE=72.

發(fā)散點(diǎn)1：聯(lián)想到OE是角平分線，故作ET⊥OA，△ETO是等腰直角三角形.

發(fā)散點(diǎn)2：由M坐標(biāo)已知，故過M再作MP⊥ET，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，先解決EP.

法二：如圖14，過B作BG⊥OE，∠3=∠4，∠1=∠2，利用△BGO是Rt△，BO已知，求BG=32，△BGE與△ABO相似，得EG=42，OE=72.

發(fā)散點(diǎn)：聯(lián)想到∠1=∠2=45°是特殊角，聯(lián)想到∠3=∠4（圓周角相等）.

圖13圖14圖15法三：如圖15，連接AE，直接用△BON與△EOA相似，列出比例式，OBOE=ONOA，6OE=24728，得OE=72.

發(fā)散點(diǎn)：利用相似三角形，直覺感知連接AE，看出△BON與△EOA相似！

法四：如圖16，連接BE、AE，△ABE是等腰直角三角形，先求出BE=52；再由△BEN與△OAN相似，求出BN，528=BN2427，BN=307，從而求出AN.

最后再由該對相似三角形，利用比例線段，求出NE（NE407=528，NE=2527），最終OE=72.

發(fā)散點(diǎn)：利用等腰直角△ABE，利用相似△BEN和△OAN，分別求出NE，NO.

法五：如圖17，過E作ER⊥OA，EK⊥OB，利用OE是角平分線，得四邊形EKOR是正方形；由EA=EB，得△ERA與△EKB全等，RA=KB；設(shè)ER=x，則8-x=x-6，x=7，故OE=72.

發(fā)散點(diǎn)：基于OE是角平分線，結(jié)合求OE，作ER⊥OA，EK⊥OB！利用△EKB與△ERA全等，得AR=BK，求出ER！

圖16圖17圖18法六：如圖18，過M作直線MS⊥OE，直線MS與x軸夾角為45°；由M（4，3），得直線解析式為y=-x+7；S為兩直線L1：y=x，L2：y=-x+7的交點(diǎn)，構(gòu)成方程組，求出點(diǎn)S（72，72）；S為OE中點(diǎn)，故E坐標(biāo)為（7，7），故OE=72.

發(fā)散點(diǎn)1：OE為圓中弦長，作直線MS⊥OE，求出S點(diǎn)坐標(biāo)，即可解決問題.

發(fā)散點(diǎn)2：由角平分線OE，且MS⊥OE，S看成直線y=-x+7和直線y=x的交點(diǎn)，求出S點(diǎn)，最終求出OE長.

4.2解后反思培養(yǎng)收斂思維——“突破”思維定勢

收斂實(shí)質(zhì)是一種概括，它要求根據(jù)對事物已有經(jīng)驗(yàn)，找出知識、技能、或解決問題的關(guān)鍵點(diǎn).換句話說，就是回答了為什么這樣做和如何做的問題.在上述學(xué)生解法中，組織學(xué)生進(jìn)行解后反思，為何這么做？如何做？

案例4中求線段長度的方法有：

（1）構(gòu)造Rt△ETO、Rt△EMP，運(yùn)用勾股定理解決問題；（法一）

（2）構(gòu)造等腰Rt△BOG，Rt△BEG（與Rt△ABO相似），運(yùn)用等腰直角三角形和相似知識解決問題，分段求出OG，EG；（法二）

（3）在圓背景下，求線段長一般可以考慮通過相似解決；（法三）

（4）利用相似三角形，分段求出NE，NO，最終求出OE（OE=NE+NO）；（法四）

（5）利用全等三角形知識巧解求AR，最終求出OE；（法五）

（6）在圓背景下，求弦長，作垂線，構(gòu)造Rt△，巧妙利用交點(diǎn)S，S為OE中點(diǎn).（法六）

通過師生共同歸納總結(jié)，得出初中階段求線段長的基本方法：即構(gòu)造直角三角形和利用相似三角形；可以整段求，也可以分段求.有一般方法，但也不拘泥于一般方法，關(guān)鍵在于你思考的角度.法五和法六具有創(chuàng)造性，突破常規(guī)想法，值得點(diǎn)贊！

4.3正難則反培養(yǎng)逆向思維——“突破”思維定勢

教師和學(xué)生在思考問題時，都習(xí)慣于正向思考，但有些數(shù)學(xué)問題，從正面解決不易上手或較繁瑣，這是若從反面思考，往往有奇效！

案例5若將拋物線y=ax2+bx+c向右平移2個單位，再向上平移1個單位，兩次變換后的拋物線解析式是y=x2+1，則原拋物線的解析式是.endprint

思路解析若從正面y=ax2+bx+c出發(fā)思考，就比較繁瑣.但逆向思考，從y=x2+1開始倒推，解法簡捷，一步到位.y=x2+1先向左平移2個單位，得y=（x+2）2+1，再向下平移1個單位，得y=（x+2）2.

5關(guān)于思維定勢的思考

本文一開始涉及到的問題，就是教師思維定勢負(fù)效應(yīng)的體現(xiàn).思維定勢是一把雙刃劍.它為我們解決問題提供了思路和方法，而且是學(xué)生獲取知識，提高解題能力的重要手段.但有時對思維的創(chuàng)造性和發(fā)散性產(chǎn)生限制.

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就在于建立符合數(shù)學(xué)思維要求的，具有哲學(xué)方法論、數(shù)學(xué)方法論意義上的思維定勢.這種心理定勢不僅是數(shù)學(xué)觀點(diǎn)系統(tǒng)的重要組成部分，而且是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn)，成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標(biāo)志.在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過建立、發(fā)展、突破、再建立、再發(fā)展、再突破來強(qiáng)化上述定勢以達(dá)成新心理特征，從而最終發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

作者簡介程軍（1971—），男，江蘇無錫人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，無錫市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)能手.有20多篇文章在省級雜志上發(fā)表或獲獎，多篇文章在區(qū)級、市級雜志上發(fā)表或獲獎.其中有3篇數(shù)學(xué)文章被人大資料報刊復(fù)印中心轉(zhuǎn)載.

《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》

《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》是中國聯(lián)合國教科文組織指導(dǎo)刊物，王梓坤院士任編委會主任，天津師范大學(xué)王光明教授任主編，全國90多家理事單位集資辦刊，天津師范大學(xué)為主辦單位，北京師大、華東師大、東北師大、南京師大、貴州師大、西南大學(xué)、揚(yáng)州大學(xué)、浙江師大、首都師大、湖南師大、華南師大、廣州大學(xué)、江蘇師大、華中師大、陜西師大、云南師大、西北師大、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院等18所高校為協(xié)辦單位，是目前國內(nèi)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域最高層次的學(xué)術(shù)性刊物.《學(xué)報》現(xiàn)為“全國中文核心期刊”、“中國科技核心期刊”、“CSSCI來源期刊”和“RCCSE中國核心學(xué)術(shù)期刊（A）”.被中國科技論文統(tǒng)計(jì)源期刊、中國學(xué)術(shù)期刊綜合評價數(shù)據(jù)庫、中國學(xué)術(shù)期刊（光盤版）、中國期刊網(wǎng)、中國數(shù)學(xué)文摘、中國數(shù)學(xué)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)庫、美國《數(shù)學(xué)評論》（MR）、德國《數(shù)學(xué)文摘》（ZBI）、中國人民大學(xué)報刊復(fù)印資料等收錄.

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