一個(gè)著名代數(shù)恒等式的應(yīng)用

數(shù)學(xué)上，把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱為勾股數(shù).對(duì)于勾股數(shù)問題，從古至今人們從未停止過探究活動(dòng).已知勾邊或股邊利用整數(shù)的性質(zhì)，容易求出對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)，但若已知弦邊，如何探求勾股數(shù)呢？這是一個(gè)具挑戰(zhàn)性的問題，這里利用一個(gè)著名代數(shù)恒等式給出一種初等的解決辦法，與大家分享.

1一個(gè)著名代數(shù)恒等式

1.1恒等式：（a2+b2）（c2+d2）

=（ac-bd）2+（ad+bc）2（1）

=（ac+bd）2+（ad-bc）2.（2）

證明：（1）右邊=（ac-bd）2+（ad+bc）2

=a2c2-2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2

=a2（c2+d2）+b2（d2+c2）

=（a2+b2）（c2+d2）=左邊.

對(duì)于等式（2）同理可證.上述等式數(shù)學(xué)上稱為婆蘿藦笈多─斐波那契恒等式.

推論：（a2+b2）2=（a2-b2）2+（2ab）2.

證明：利用恒等式（1），得（a2+b2）2=（a2+b2）（a2+b2）=（a2-b2）2+（2ab）2.

運(yùn)用兩數(shù)和、兩數(shù)差的完全平方公式轉(zhuǎn)換，同樣可證.

代數(shù)意義：這個(gè)恒等式說明了如果有兩個(gè)數(shù)都能表示為兩個(gè)平方數(shù)的和，則這兩個(gè)數(shù)的積也可以表示為兩個(gè)平方數(shù)的和.

1.2恒等式的運(yùn)算特性

1.21對(duì)于恒等式（1）分別運(yùn)用乘法交換律、乘法結(jié)合律，得

①（a2+b2）（c2+d2）（e2+f2）

=[（ac-bd）2+（ad+bc）2]（e2+f2）

=（ace-bde-adf-bcf）2+（acf-bdf+ade+bce）2.（Ⅰ）

（a2+b2）[（c2+d2）（e2+f2）]

=（a2+b2）[（ce-df）2+（cf+de）2]

=（ace-adf-bcf-bde）2+（acf+ade+bce-bdf）2.（Ⅱ）

比較（Ⅰ）（Ⅱ）兩式運(yùn)算結(jié)果，不僅值相等，而且表達(dá)式中同類項(xiàng)分別相等.

②由于（c2+d2）（a2+b2）=（ac-bd）2+（bc+ad）2，與（2）式比較，不僅值相等，而且表達(dá)式中同類項(xiàng)分別相等.

1.22對(duì)于恒等式（2）運(yùn)用乘法交換律、乘法結(jié)合律，得

①（a2+b2）（c2+d2）（e2+f2）

=[（ac+bd）2+（ad-bc）2]（e2+f2）

=（ace+bde+adf-bcf）2+（acf+bdf-ade+bce）2.（Ⅲ）

（a2+b2）[（c2+d2）（e2+f2）]

=（a2+b2）[（ce+df）2+（cf-de）2]

=（ace+adf+bcf-bde）2+（acf-ade-bce-bdf）2.（Ⅳ）

比較（Ⅲ）（Ⅳ）兩式運(yùn)算值，值相等，但其表達(dá)式中同類項(xiàng)有的相等、其余的互為相反數(shù)；

②由于（c2+d2）（a2+b2）=（ac+bd）2+（bc-ad）2，與（2）式比較，結(jié)果相等，但其同類項(xiàng)有的相等、其余的互為相反數(shù).

2兩個(gè)重要結(jié)論

結(jié)論1已知弦邊k，方程x2+y2=k2（*）有正整數(shù)解的充要條件是k中含有4n+1型質(zhì)因數(shù).

證明充分性：設(shè)k=R（4n+1），其余非4n+1型質(zhì)因子的積為R.由文[1]中結(jié)論知：由于形為4n+1型的素?cái)?shù)可唯一表示為兩個(gè)整數(shù)的平方和.

設(shè)4n+1=x21+y21，由推論，（4n+1）2=（x21-y21）2+（2x21y21）2，則k2=R2（4n+1）2=[R（x21-y21）]2+（2Rx21y21）2，得正整數(shù)解（x，y）=（R|x21-y21|，2Rx21y21）.

必要性：設(shè)x2、y2是x2+y2=k2的一個(gè)正整數(shù)解.

若（x2，y2）=1，則x2、y2一奇一偶，k必為奇數(shù).由文[2]知：一切勾股數(shù)的基本組（即互質(zhì)）可用下述公式表示：2mn，m2-n2，m2+n2.其中m、n為正整數(shù)且m>n，（m，n）=1，一奇一偶.所以一定存在這樣的正整數(shù)m、n，使x2=2mn，y2=m2-n2，k=m2+n2.下面用反證法證明：假設(shè)k中不含有4n+1型的素因數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)家歐拉1747年證明的：奇質(zhì)數(shù)能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和的充分必要條件是該素?cái)?shù)被4除余1.那么k不能表示為m2+n2型的兩數(shù)平方和，這與k=m2+n2矛盾，所以k中必含有4n+1型的素因數(shù).

若（x2，y2）=d≠1，設(shè)x2=dx3，y2=dx3，則（x3，y3）=1，得到x23+y23=（kd）2，轉(zhuǎn)化為上述情形證之.

結(jié)論2方程（*）滿足0

根據(jù)結(jié)論1，將k分解質(zhì)因數(shù)，記4n+1型質(zhì)因數(shù)的積為P，非4n+1型質(zhì)因數(shù)的積記為Q，則k=PQ，由文[3]知結(jié)論成立.

由于k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2，得P2=P12f1P22f2…Pr2fr，其中Pi為4n+1型質(zhì)因素，則P2正約數(shù)個(gè)數(shù)為（2f1+1）（2f2+1）…（2fr+1），必為奇數(shù)，不同正約數(shù)對(duì)數(shù)，記為S（p），

則S（P）=（2f1+1）（2f2+1）…（2fr+1）-12對(duì)，即方程（*）的解的組數(shù)為S（k）.

依據(jù)結(jié)論2可知，S（P）即為相同斜邊為k的直角三角形的個(gè)數(shù).

3恒等式的應(yīng)用

根據(jù)費(fèi)馬平方和定理，任何被4整除余1的素?cái)?shù)都能表示為兩個(gè)平方數(shù)的和[4].則根據(jù)婆蘿藦笈多─斐波那契恒等式，任何兩個(gè)被4整除余1的素?cái)?shù)的積也能表示為兩個(gè)平方數(shù)的和.

步驟：（1）分解質(zhì)因素k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2.

（2）設(shè)Pi=x2i+y2i，利用遞推式Pni=PiPn-1i（n≥2）將每個(gè)P2fi表示成兩個(gè)平方數(shù)的和.

（3）設(shè)A、B是P2的一對(duì)正約數(shù)，即P2=AB，分別將A、B表示成兩個(gè)平方數(shù)的和.特別地，對(duì)于A=1時(shí)，則B的對(duì)應(yīng)表示式即為P2一個(gè)平方和表達(dá)式.

（4）對(duì)于AB運(yùn)算，運(yùn)用恒等式（2），將P2表示成兩個(gè)平方數(shù)的和.

（5）將（4）中所得勾股數(shù)Q倍，可得方程（*）的所有解.

根據(jù)恒等式的運(yùn)算特性，為確保過程和結(jié)果表示的一致性，步驟（2）、（3）運(yùn)用恒等式（1）及推論進(jìn)行計(jì)算.為確保結(jié)果表示的多樣性，步驟（4）運(yùn)用恒等式（2）進(jìn)行計(jì)算.

4應(yīng)用舉例

在探索過程中，嚴(yán)格按照公式形式進(jìn)行計(jì)算，過程保留性質(zhì)符號(hào)，在結(jié)果中取絕對(duì)值.

例1已知弦邊k=125，求勾股數(shù).

解分解質(zhì)因數(shù)1252=56，5是4n+1型質(zhì)因數(shù)，則有（6+1）-12=3組解.

由于12+22=5，①

①運(yùn)用推論，得（-3）2+42=52.②

由①×②運(yùn)用恒等式（1），得

（-11）2+（-2）2=53.③

由①×③運(yùn)用恒等式（1），得

（-7）2+（-24）2=54.④

由①×④運(yùn)用恒等式（1），得

412+（-38）2=55.⑤

由①×⑤運(yùn)用恒等式（1），得

1172+442=56.⑥

設(shè)AB=P2（P2=56），則B=P2÷A，則

A=1，B=56，由⑥，得解（117，44）；

A=5，B=55，由①⑤運(yùn)用恒等式（2），得解（35，120）；

A=52，B=54，由②④運(yùn)用恒等式（2），得解（75，100）；

故所求3組勾股數(shù)解分別是（35，120），（44，117），（75，100）.

例2已知弦邊k=325，求勾股數(shù).

解因3252=54×132，5、13都是4n+1型質(zhì)因數(shù)，則有（4+1）（2+1）-12=7組解.

由于12+22=5，①

①運(yùn)用推論，得（-3）2+42=52.②

由①×②，運(yùn)用恒等式（1），得

（-11）2+（-2）2=53.③

由①×③，運(yùn)用恒等式（1），得

（-7）2+（-24）2=54.④

又22+32=13，⑤

⑤運(yùn)用推論，得（-5）2+122=132.⑥

設(shè)AB=P2（P2=54×132），則B=P2÷A，則

序號(hào)ABAB解1154×132④×⑥323，362553×132①（③×⑥）165，280352×132②（②×⑥）125，3004535×132③（①×⑥）315，80554132④⑥253，20461354×13⑤（④×⑤）91，35175×1353×13（①×⑤）（③×⑤）195，260與文[3]的結(jié)果一致.

例3已知弦邊k=360，求勾股數(shù).

解因3602=26×34×52，其中P2=52，Q=72.只有（2+1）-12=1組解.

由12+22=5①，運(yùn)用推論，得（-3）2+42=52②，利用倍數(shù)法，將②式中勾股數(shù)72倍，得一組解（216，288）.

例4已知弦邊k=21125，求勾股數(shù).

解分解質(zhì)因數(shù)211252=56×134，則共有（6+1）（4+1）-12=17組解.

將5和13分別分拆成兩個(gè)正整數(shù)的平方和.

22+12=5.①

①運(yùn)用推論，得32+42=52.②

由①×②運(yùn)用恒等式（1），得22+112=53.③

由①×③運(yùn)用恒等式（1），得

（-7）2+242=54.④

由①×④運(yùn)用恒等式（1），得

（-38）2+412=55.⑤

由①×⑤運(yùn)用恒等式（1），得

（-117）2+442=56.⑥

又32+22=13.⑦

⑦運(yùn)用推論，得52+122=132.⑧

由⑦×⑧運(yùn)用恒等式（1），得

（-9）2+462=133.⑨

由⑦×⑨運(yùn)用恒等式（1），得

（-119）2+1202=134.⑩

設(shè)AB=P2（P2=56×134），則B=P2÷A.分別解答如下：

AB由AB得解156×134⑥×⑩（8643，19276）555×134①（⑤×⑩）（10235，18480）5254×134②（④×⑩）（20925，2900）5353×134③（③×⑩）（14875，15000）5452×134④（②×⑩）（3075，20900）555×134⑤（①×⑩）（18565，10080）56134⑥⑩（19203，8804）1356×133⑦（⑥×⑨）（14469，15392）13256×132⑧（⑥×⑧）（19773，7436）13356×13⑨（⑥×⑦）（741，21112）5×1355×133（①×⑦）（⑤×⑨）（20995，2340）52×1354×133（②×⑦）（④×⑨）（10725，18200）53×1353×133（③×⑦）（③×⑨）（8125，19500）54×1352×133（④×⑦）（②×⑨）（20475，5200）55×135×133（⑤×⑦）（①×⑨）（16445，13260）5×13255×132（①×⑧）（⑤×⑧）（5915，20280）52×13254×132（②×⑧）（④×⑧）（12675，16900）例5已知弦邊k=2024，求勾股數(shù).

解分解質(zhì)因素2024=23×11×23，由于質(zhì)因數(shù)2、11、23均不是4n+1型素?cái)?shù)，所以以2024為弦的勾股數(shù)不存在.

定義當(dāng)（x，y，k）=1時(shí)，滿足方程（*）的勾股弦數(shù)稱為互質(zhì)勾股數(shù).

猜想當(dāng)（x，y，k）=1時(shí)，方程（*）互質(zhì)解組數(shù)為R（k）=r（r為k中4n+1型不同素因數(shù)的個(gè)數(shù)）.

請(qǐng)大家自行探討.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介李發(fā)勇（1964—），男，中學(xué)高級(jí)教師.發(fā)表文章60余篇，其中有多篇被引用和轉(zhuǎn)載，另有多篇獲得省市一、二等獎(jiǎng).endprint