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      多元函數(shù)最值問(wèn)題求解策略續(xù)

      2018-01-05 09:57:56湖北省武漢市第二中學(xué)朱九如
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年23期
      關(guān)鍵詞:換元元法最值

      ☉湖北省武漢市第二中學(xué) 朱九如

      多元函數(shù)最值問(wèn)題求解策略續(xù)

      ☉湖北省武漢市第二中學(xué) 朱九如

      文1中提出了求解多元函數(shù)最值問(wèn)題的10種方法,舉例給出了其中的7種方法,讀后深受啟發(fā),本文舉例給出另外的幾種求解方法.

      一、減元法

      根據(jù)轉(zhuǎn)化與化歸思想的理論,嘗試將多元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù)來(lái)處理,可通過(guò)換元、不等式放縮技巧、題中條件等式等途徑實(shí)現(xiàn).

      1.通過(guò)換元減元

      例1 設(shè)x,y∈R+,x+y=c,c為常數(shù)且c∈(0,2],求u=)的最小值.

      解析:

      例2 設(shè)a,b∈R,a2+2b2=6,則a+b的最小值是________.

      解析:因?yàn)閍,b∈R,a2+2b2=6,所以令則,所以a+b的最小值是-3.

      評(píng)注:換元法是指通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量,來(lái)替換原來(lái)的某些變量(或代數(shù)式),使問(wèn)題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法.在解題中,常常使用的換元法有兩類,即代數(shù)換元和三角換元,我們可以根據(jù)具體問(wèn)題及題目形式靈活選擇換元的方法,以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)最值問(wèn)題.在使用換元法時(shí),要特別注意換元后新元的取值范圍.

      2.通過(guò)放縮減元

      解析:于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

      評(píng)注:本題利用三角函數(shù)中正、余弦值的有界性,選取適當(dāng)?shù)牟坏仁竭M(jìn)行放縮使得問(wèn)題得以解決.

      3.利用條件減元

      例4設(shè)x,y為實(shí)數(shù),已知5x2+4y2=10x,則4(x2+y2)的最大值為_________.

      解析:已知5x2+4y2=10x,可得4y2=10x-5x2≥0,所以0≤x≤2.

      所以4(x2+y2)=10x-x2=25-(5-x)2≤25-32=16?x2+y2≤4.

      評(píng)注:本題根據(jù)題中的關(guān)系式將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù),利用配方法將問(wèn)題解決.本題中消去變量y比較方便,不過(guò)要注意變量x的取值范圍.

      二、判別式法

      如果通過(guò)代換及題中關(guān)系等式可得到一個(gè)關(guān)于某個(gè)變量的一元二次方程,則利用二次方程有解判別式非負(fù)可以將問(wèn)題解決.

      例5已知a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是________.

      解析:將c=-(a+b)代入a2+b2+c2=1,得2b2+2ab+2a2-1=0.此關(guān)于b的方程有實(shí)數(shù)解,則Δ=(2a)2-8(2a2-1)≥0,整理得即,所以a的最大值是

      評(píng)注:將兩個(gè)已知條件中的a消去,整理成關(guān)于b的一元二次方程,由于方程有實(shí)數(shù)解,判別式恒大于或等于0,得到關(guān)于a的不等式,求解后即得a的最大值.

      三、分類討論法

      例6 若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是_______.

      圖1

      解析:x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部,易得直線6-x-3y與圓相離,故|6-x-3y|=6-x-3y,當(dāng)2x+y-2≥0時(shí),|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4,如圖1所示,可行域?yàn)樾〉墓蝺?nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4,可知,當(dāng)時(shí),zmin=3. 當(dāng)2x+y-2<0時(shí),|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y,可行域?yàn)榇蟮墓蝺?nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=8-3x-4y,同理可知,當(dāng)時(shí),z=3.綜上所述,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最min小值是3.

      評(píng)注:本題根據(jù)可行域是圓及其內(nèi)部的特點(diǎn),結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系的判定,首先可以將目標(biāo)函數(shù)中的兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)去掉一個(gè),再利用分類討論的數(shù)學(xué)思想去掉一個(gè)絕對(duì)值號(hào),利用線性規(guī)劃知識(shí)求解.

      例7(2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽)設(shè)a、b、c是正整數(shù),關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根的絕對(duì)值均小于,求a+b+c的最小值.

      解析:設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2,由韋達(dá)定理知x1<0,x2<0.

      (1)當(dāng)b=7時(shí),由4a≤4ac≤b2及a≥11,知a=11或12,c=1.

      由于方程11x2+7x+1=0有根不合題意;方程12x2+7x+1=0的兩根為,也不合題意.

      (2)當(dāng)b=8時(shí),由4ac≤b2=64及a≥11,知a=11,12,13,14,15,16,c=1.

      而f(15)=0,因此,a只能為16. 此時(shí),a+b+c=25,而16x2+8x+1=0的兩根為滿足題意.

      若a+b+c<25,則只能是a=14,b=9,c=1.此時(shí),方程14x2+9x+1=0的兩根為,不合題意.故a+b+c≥25.

      綜上,a+b+c的最小值為25.

      評(píng)注:對(duì)于離散型條件最值,求解時(shí)常常對(duì)離散變量進(jìn)行分類討論,采用窮舉的方法確定最值.

      1.范東暉.分類例談多元函數(shù)最值問(wèn)題求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2017(10).

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