點(diǎn)的合成運(yùn)動中兩車相對運(yùn)動問題探討

姜銳紅 / 上海電機(jī)學(xué)院

點(diǎn)的合成運(yùn)動中兩車相對運(yùn)動問題探討

姜銳紅 / 上海電機(jī)學(xué)院

理論力學(xué)是工程技術(shù)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，準(zhǔn)確理解基本概念及基本理論，是將所學(xué)知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。點(diǎn)的合成運(yùn)動是運(yùn)動學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其中動參考系的選擇，以及牽連點(diǎn)的正確判斷分析往往是困擾學(xué)生的障礙。本文針對兩車相對運(yùn)動問題的求解，以及對其難點(diǎn)的剖析，指出容易造成解題錯誤的原因，對學(xué)習(xí)點(diǎn)的合成運(yùn)動具有一定的指導(dǎo)意義。

點(diǎn)的合成運(yùn)動；速度合成；加速度合成

1.引言

理論力學(xué)是機(jī)械工程、土木建筑、水利工程、航空航天等本科生必修的技術(shù)基礎(chǔ)課程，是后續(xù)力學(xué)課程以及專業(yè)基礎(chǔ)課程的理論基礎(chǔ)[1]。然而對許多學(xué)生來講，學(xué)習(xí)理論力學(xué)的過程并不輕松，普遍存在對基本概念、基本理論以及分析方法等理解不透徹，不能靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題。如何突破理論力學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生對基本概念的理解，提高應(yīng)用所學(xué)理論知識分析解決問題的能力，是理論力學(xué)教學(xué)研究的重要內(nèi)容。點(diǎn)的合成運(yùn)動是運(yùn)動學(xué)部分的重點(diǎn)也是難點(diǎn)[2]，動參考系的選擇，牽連點(diǎn)的位置確定，牽連速度、牽連加速度以及相對速度、相對加速度等重要的基本概念不清晰往往是學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)動學(xué)的最主要障礙[4]。本文通過對運(yùn)動學(xué)中兩車相對運(yùn)動問題的分析，分別從牽連運(yùn)動是定軸轉(zhuǎn)動和平移運(yùn)動兩個(gè)角度分析了點(diǎn)的速度合成與加速度合成方法，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識時(shí)容易犯的錯誤，對點(diǎn)的運(yùn)動合成知識的學(xué)習(xí)理解具有一定的指導(dǎo)意義。

2.兩車相對運(yùn)動速度與加速度

文獻(xiàn)[3]第七章習(xí)題7-15的兩車相對運(yùn)動問題，可以分別從牽連運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動和平移運(yùn)動兩種情況作分析，基本概括了點(diǎn)的合成運(yùn)動知識點(diǎn)，因此選用該習(xí)題為例進(jìn)行分析。

如圖1所示，兩車在公路上行駛速度均恒為72km/h。圖示瞬時(shí)，B車中的人員觀察到A車的速度、加速度以及A車中的人員觀察到B車的速度、加速度分別為多大？

（1）B車人員觀察A車

在B車中的人員觀察到的A車運(yùn)動即A車相對B車的運(yùn)動，應(yīng)將動參考系固定于B車，此時(shí)B車不再是個(gè)點(diǎn)，而是無限延伸的剛體，牽連運(yùn)動為B車的定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)點(diǎn)的速度合成公式：

根據(jù)點(diǎn)的加速度合成公式

圖1 A、B兩車運(yùn)動示意

圖2 A車相對B車運(yùn)動速度圖解

圖3 A車相對B車運(yùn)動加速度圖解

（2）A車人員觀察B車

A車人員觀察到的B車運(yùn)動即B車相對于A車的運(yùn)動情況，應(yīng)將A車作為動參考系，牽連運(yùn)動為無限延伸后的A車作剛體平移運(yùn)動，此時(shí)速度合成公式仍然為式(2-1)，其中，根據(jù)圖4-a所示速度合成矢量關(guān)系可以解得A車人員觀察到的B車速度：與水平軸的夾角

圖4 B車相對A車速度與加速度矢量圖解

由于此時(shí)B點(diǎn)的絕對運(yùn)動為圓周運(yùn)動，所以加速度合成公式(1-2)變形為：，其中：，如圖4-b，解得：

3.難點(diǎn)分析

上述兩車相對運(yùn)動問題的正確解答關(guān)鍵在于：

（1）動參考系的正確選擇。很多同學(xué)會錯誤地認(rèn)為無論A車相對B車還是B車相對A車，相對速度與加速度大小均應(yīng)相同，只是方向相反而已，所以動參考系定在哪個(gè)車上都不會影響計(jì)算結(jié)果。事實(shí)上由上述計(jì)算結(jié)果得出，觀察者在不同的車上，得到的相對速度與相對加速度，無論大小還是方位均不同。其原因在于，選擇不同的動參考系，牽連運(yùn)動形式不同。

（2）牽連點(diǎn)，牽連速度與加速度的正確理解。當(dāng)觀察者在B車時(shí)，應(yīng)當(dāng)將B車看作剛體對待，這個(gè)剛體作定軸轉(zhuǎn)動，牽連點(diǎn)與B車不重合時(shí)，牽連速度、加速度不等于B車速度、加速度，并且會有科氏加速度產(chǎn)生。此處特別容易犯的錯誤是，直接把B車位置當(dāng)作牽連點(diǎn)，將B車速度、加速度當(dāng)作牽連速度、牽連加速度。而觀察者在A車時(shí)，將A車看作剛體，這個(gè)剛體做平移運(yùn)動，雖然牽連點(diǎn)與A車不重合，牽連速度、加速度與A車速度、加速度分別相等，且沒有科氏加速度。

4.結(jié)束語

掌握理論力學(xué)的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解基本概念，不能盲目刷題，只要做到對解題過程中的每一步都思考清楚對應(yīng)所學(xué)的哪一個(gè)基本理論，理論力學(xué)的學(xué)習(xí)將會事半功倍。

[1]張世勛,賴永星.如何提高理論力學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)興趣[J].中州大學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(4).

[2]唐紅春,王璐，史永高.理論力學(xué)點(diǎn)的合成運(yùn)動體系教學(xué)探索及實(shí)踐[J].江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2014,14(1).

[3]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2009,172-198.

姜銳紅：（1973.9—）女，博士，講師，任教于上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院，主要教授《理論力學(xué)》與《材料力學(xué)》課程，從事機(jī)電設(shè)備故障診斷研究。