圓錐曲線中與切線長相關(guān)的一組等式

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) (213003)

陳 武

圓錐曲線中與切線長相關(guān)的一組等式

江蘇省常州高級(jí)中學(xué) (213003)

陳 武

文[1]把圓的切線長公式推廣到有心圓錐曲線中.

文[2]對(duì)于雙曲線的情形作出了更正與證明.

從公式中感受數(shù)學(xué)對(duì)稱美、簡潔美的同時(shí)，我們也自然地提出兩個(gè)問題：有心圓錐曲線中是否還存在與切線長相關(guān)的其他等式；拋物線中是否也存在與切線長相關(guān)的等式.

經(jīng)過探究，筆者得到以下一組與切線長相關(guān)的優(yōu)美等式.

圖1

橢圓也有類似的性質(zhì)，證明方法與性質(zhì)1類似，不再另證.

圖2

注:圓本質(zhì)上是橢圓的一種退化形式(即橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合而成圓心),因此令a=b=r,(1)式變?yōu)镻A2=x20+y20-r2,這就是圓的切線長公式.

性質(zhì)5 如圖3，F(xiàn)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過拋物線外一點(diǎn)P(x0,y0)作拋物線的切線，切點(diǎn)為A、B,則

(2)PF2=AF·BF.

圖3

[1]徐文春.圓的切線長公式在有心圓錐曲線中的推廣[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2014(9):43-44.

[2]陳海波.有心圓錐曲線的切線長公式的更正及證明[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2015(5):61-63.