定點定線運動放縮的軌跡問題及推廣

張子晨

【摘要】幾何學(xué)，自古一直是數(shù)學(xué)中的一個重要分支.而在古代柏拉圖學(xué)院門前更是立有“不懂幾何學(xué)不得入內(nèi)”的牌子.軌跡問題，歸屬于幾何中，在平面幾何，立體幾何，解析幾何中均有涉及.關(guān)于軌跡，可以說是點的軌跡，具有某種性質(zhì)的點的集合，叫作具有這種性質(zhì)的點的軌跡[1].本文通過從簡單的初中題目入手，將之用純幾何的方法推廣，猜想并用幾何畫板軟件進行試驗最終進行證明在平面內(nèi)幾何圖形運動放縮的軌跡問題.

【關(guān)鍵詞】幾何學(xué)；軌跡；純幾何方法；定點定線；運動放縮；推廣；猜想；幾何畫板；證明

幾何中的軌跡問題，將靜與動相結(jié)合，通過點與線的運動，放縮凸顯出數(shù)學(xué)之美.自古以來，對軌跡的研究就沒有停止，體系也日趨完善.軌跡的定義：滿足某種條件C的一切點所構(gòu)成的圖形F稱為符合條件C的點的軌跡.而要證明一個軌跡，即為判定一個圖形F是符合條件C的點的軌跡，必須從兩個方面去證明：通過證明符合條件C的所有點都在圖形F上來說明完備性以及通過證明圖形F上的點都符合條件C來說明純粹性.[2，3]對于軌跡的研究，解析幾何中設(shè)計最多，通過用坐標(biāo)系的方法，確實便于想出，較為快速地達到最終的證明目的.但本文想通過最基本的純幾何方法，巧妙地將問題由繁化簡.在研究軌跡的過程中，不少文章以及書籍研究的是運動軌跡，即在線或圓上運動而產(chǎn)生的變化.本文另辟蹊徑，設(shè)想將點、線、圓甚至復(fù)雜圖形的運動與圖形的放縮結(jié)合起來，使所有的圖形都在有規(guī)律地運動著.而本文，就是動中取靜，將看似毫無關(guān)聯(lián)的運動放縮結(jié)合起來，巧妙的尋找其中的軌跡問題.

大部分學(xué)生都做過這樣一道題：如圖1所示，矩形ABCD中，BC=8，Q在線段BC上移動，以AQ為一邊作等邊三角形AQP，求在Q移動過程中，△AQP形狀保持不變，P的運動長（軌跡長）.

由此再回看原題，便簡單了許多，由于三角形為等邊三角形，頂角的夾邊比恰為1，代入公式3，直接可得P的軌跡長等于線段BC，即為8.當(dāng)然，在原題中，我們只需要做出特殊位置的等邊三角形，在任取一點作三角形，即可說明.

剛剛探究的可總結(jié)為，三角形中，直線外一定點，直線上一動點，在運動過程中另一點的軌跡問題.而觀察PAB會發(fā)現(xiàn)在運動過程中也是進行放縮變換的，但是其軌跡確實一定的.

再看另一道比較經(jīng)典的題目：如圖4所示，⊙O外一點P，A在⊙O上，取AP中點M，求A在⊙O運動時M的運動軌跡.

對于這道題目，最好想也是用得最多的解法是運用解析法，通過對M滿足的方程分析，發(fā)現(xiàn)是圓的方程，即可證明M的軌跡為圓.但是解析法是有局限性的，除了過程及計算煩瑣而失去了幾何本身的美之外，若是進行推廣，M不是中點，或者AMP不為直線，那么運用解析法無疑會增添更多的計算量.而我們運用純幾何方法，使問題迎刃而解.

先看這道題：已知，A在⊙O上運動，P為⊙O外一點，AM=MP，求M軌跡.

此時對于軌跡與軌跡之間夾角，形狀的研究已經(jīng)比較完善了.至此，不管如何變化，定點定線三角形運動，運動過程中會有放縮的問題基本可以用相似的解決方法來解決，除了軌跡本身的確定及形狀意外，發(fā)現(xiàn)軌跡與軌跡之間也是有關(guān)系的，包括與邊的夾角，軌跡與軌跡的夾角等.

結(jié) 論

本文通過運用純幾何方法，簡單而巧妙地猜想并證明了任意圖形按照上述方式放置，在任意圖形l上均有對應(yīng)軌跡g，圖形l與圖形g相似.若定長，則l與g有比例關(guān)系，且此比例與其原圖形有關(guān).若有多個g圖形（相似）可任意方式排列（相對、同向等）則均滿足平行或夾角為定值.隨著軌跡學(xué)研究的深入，已經(jīng)很少有像本文一樣運用純幾何方法，來解決復(fù)雜問題.相比較于解析方法，無疑在推廣以及證明過程中都起到了至關(guān)重要的作用.

【參考文獻】

[1]楊榮祥.略談中學(xué)平面幾何軌跡問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1955（1）：23-27.

[2]蕭振綱.幾何變換與幾何證題[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.

[3]沈文選，楊清桃.幾何瑰寶[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010.