構(gòu)造性方法在矩陣證明題中的應(yīng)用

劉春麟

【摘要】矩陣是高等代數(shù)研究數(shù)學(xué)問題的重要工具，在線性方程組求解、二次型、線性空間、線性變換等方面都有著重要的應(yīng)用，同時矩陣的證明類題目在數(shù)學(xué)專業(yè)的考研與競賽中也頻頻出現(xiàn)，而在這些題目中運(yùn)用構(gòu)造性方法證明的尤為困難.本文通過一些巧妙有難度的題目從構(gòu)造分塊矩陣、伴隨矩陣等特殊矩陣來介紹如何使用構(gòu)造性方法去解題.

【關(guān)鍵詞】矩陣；構(gòu)造性方法；矩陣的秩；伴隨矩陣

矩陣是高等代數(shù)研究數(shù)學(xué)問題的重要工具，在線性方程組求解、二次型、線性空間、線性變換等方面都有著重要的應(yīng)用，同時矩陣的證明類題目在數(shù)學(xué)專業(yè)的考研與競賽中也是頻頻出現(xiàn)，而在這些題目中運(yùn)用構(gòu)造性方法證明的尤為困難.本文通過一些巧妙有難度的題目從構(gòu)造分塊矩陣、伴隨矩陣等特殊矩陣來介紹如何使用構(gòu)造性方法去解題.

此題的最關(guān)鍵也是最巧妙的地方便是通過構(gòu)造分塊矩陣，對矩陣進(jìn)行拆分，運(yùn)用矩陣的秩的關(guān)系進(jìn)行證明.

二、通過構(gòu)造伴隨矩陣來證明哈密頓-凱萊（HamiltonCayley）定理及相關(guān)矩陣的結(jié)論

此題運(yùn)用構(gòu)造拆分特殊矩陣，巧妙地解決矩陣分解的問題.

六、結(jié) 語

構(gòu)造矩陣解題的過程有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，突出數(shù)學(xué)所表達(dá)的逆向思維以及體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)思維跳躍能力，為以后在數(shù)學(xué)方面的研究打下基礎(chǔ).

在高等代數(shù)的教學(xué)中，矩陣的教授是教學(xué)中重要的一環(huán).另一方面，“利用矩陣的構(gòu)造解題”對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力方面的作用也是顯著的，它不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生縱向思維能力，而且有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的橫向思維能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，并使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)格推理、全面分析問題的能力.

本文以小見大，從矩陣的小方面講解構(gòu)造性證明，但實(shí)際不僅僅在矩陣的證明中可以應(yīng)用，在高等代數(shù)的其他知識中，甚至整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，都起到極其重要的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]丘維聲.高等代數(shù)（上，下）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]王利廣，李本星.高等代數(shù)中的典型問題與方法[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

[3]楊子胥.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]王萼芳.高等代數(shù)教程（上，下）[M].北京：清華大學(xué)出版社，1997.

[5]王品超.高等代數(shù)新方法[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1989.

[6]楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解（上，下）[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版，2012.

[7]姚慕生.高等代數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[8]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1988.endprint