幾類特殊矩陣Kronecker 積

周玉興， 黃敬頻， 劉曉冀

(1.廣西師范學院 師園學院，廣西 南寧530226;2.廣西民族大學 理學院，廣西 南寧530006)

最近幾年，Krishnamoorthy S，Rajagopalan T 和Vijayakumar R 等對K-冪等矩陣做了深入研究，尤其是在K-冪等矩陣的線性組合、譜理論和廣義逆理論方面取得了豐碩的成果［1-4］。然而，關(guān)于目前對k-Hermitian 矩陣的研究做得比較少［5］。文獻［2］給出k-Hermitian 矩陣，k-二次Hermitian 矩陣和k-三次Hermitian 矩陣做了簡單介紹，但沒有深入研究。文中根據(jù)廣義k-Hermitian 矩陣、k-二次Hermitian矩陣和k- 三次Hermitian 矩陣的定義，運用Kronecker 積的基本性質(zhì)，研究它們和、差、積的Kronecker 積的性質(zhì)，得到若干結(jié)果。

1 相關(guān)定義及引理

設(shè)Sn表示n 階對稱群，k 表示Sn中不相交對換的固定積，K 表示k 的伴隨置換矩陣。K 滿足K =KT== K*= K－1，且有K2= I［1-2］。定義1［1-2］設(shè)k ∈Sn，若，則矩陣A = (aij)稱為k 冪等矩陣。

顯然定義1 等價于KA2K = A，對此式兩端分別左乘右乘K 得，KAK = A2。例如，設(shè)容易驗證:KA2K = A，K2= I［1-2］。

文中用到一些定義及記號［2］:若矩陣A 滿足KA*K = A，則稱A 為k-Hermitian 矩陣;若矩陣A 滿足KA2K = A*，則稱A 為k-二次Hermitian 矩陣;若矩陣A 滿足KA3K = A*，則稱A 為k-三次Hermitian矩陣。

定義2［6］設(shè)A = (aij)∈Cm×n，B = (bij)∈Cp×q，則稱如下分塊矩陣:

為A 與B 的Kronecker 積(或直積，張量積)。引理1［7］Kronecker 積具有如下基本性質(zhì):

1)(aA)?B = A ?(aB)，其中a ∈C，A ∈Cm×n，B ∈Cp×q;

2)(A ?B)*= A*?B*，其中A ∈Cm×n，B ∈Cp×q;

3)(A + B)?C = A ?C + B ?C，其中A，B ∈Cm×n，C ∈Cp×q;

4)A ?(B + C)= A ?B + A ?C，其中A ∈Cm×n，B，C ∈Cp×q;

5)(A ?B)(C ?D)= AC ?BD，其中，A ∈Cm×n，B，C ∈Cp×q，C ∈Cn×k，D ∈Cq×r。

由引理1 可知，Km?Kn= Knm也是伴隨置換矩陣。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)矩陣A，B 為k-Hermitian 矩陣

(1)A ?B 是k-Hermitian 矩陣;(2)若AB =BA，則(AB)?(AB)是k-Hermitian 矩陣;(3)(A ±B)?(A ± B)是k-Hermitian 矩陣。

證 1)矩陣A，B 為k-Hermitian 矩陣，KA*K = A，KB*K = B。注意到K ?K = K'也是伴隨置換矩陣。由引理1 得A ?B = (KA*K)?(KB*K)= (K ?K)(A*?B*)(K ?K) = K'(A ?B)*K'，即K'(A ?B)*K' = A ?B。因此，A ?B 是k-Hermitian矩陣。

2)AB = BA，(AB)*= (BA)*。由引理1 得，AB = (KA*K)(KB*K)= KA*B*K = K(BA)*K =K(AB)*K。故AB 是k-Hermitian 矩陣。于是(AB)?(AB)= (K(AB)*K)?(K(AB)*K) = (K ?K)((AB)*?(AB)*)(K ?K) = K'((AB)?(AB))*K'。因此，(AB)?(AB)是k-Hermitian矩陣。

3)KA*K = A，KB*K = B，A + B = KA*K +KB*K = K(A*+B*)K = K(A +B)*K，故A +B 是k-Hermitian 矩陣。于是，(A + B)?(A + B)=(K(A +B)*K)?(K(A +B)*K)= K'((A +B)*?(A +B)*)K' = K'((A+B)?(A+B))*K'。因此，(A + B)?(A + B)是k-Hermitian 矩陣。同理可證，(A － B)?(A － B)是k-Hermitian 矩陣。

推論1 設(shè)矩陣A，B 為k-Hermitian 矩陣，存在實數(shù)λ ∈(0，1)，則(1)λA ?(1 －λ)B 是k-Hermitian 矩陣;(2)若AB =BA，則(λAB)?((1 － λ)AB)是k-Hermitian 矩陣;(3)λ(A±B)?(1 －λ)(A±B)是k-Hermitian 矩陣。

證 (1)由定理1 得，A ?B = K(A ?B)*K。又由引理1 得，λA ?(1 － λ)B = λ(1 － λ)A ?B =λ(1 －λ)K(A ?B)*K = λ(1 － λ)K(A*?B*)K =K(λA*?(1 － λ)B*)K = K(λA ?(1 －λ)B)*K。因此，λA ?(1 － λ)B 是k-Hermitian 矩陣。(2)和(3):證法同(1)。

推論2 設(shè)矩陣A，B 為k-Hermitian 矩陣，則(1)exp(A ?B)是k-Hermitian 矩陣函數(shù);(2)若AB = BA，則exp((AB)?(AB))是k-Hermitian 矩陣函 數(shù);(3)exp((A ± B)? (A ± B))是k-Hermitian 矩陣函數(shù)。

證 (1)由定理1 得，A ?B = K(A ?B)*K。exp(A ?B) = exp(K(A ? B)*K)。 注 意 到(K(A ?B)*K)k= K(A ?B)*K·K(A ?B)*K·K(A ?B)*K…K(A ?B)*K = K((A ?B)*)kK。((A ?B)*)k= ((A ?B)k)*。從而exp(A ?。于是，。故exp(A ?B)= K(exp(A ?B))*K。顯然滿足k-Hermitian 矩陣的定義，即KA*K = A。因此，exp(A ?B)是k-Hermitian 矩陣函數(shù)。(2)和(3):證法同(1)。

推論3 設(shè)矩陣A，B 為k-Hermitian 矩陣，則(1)cos(A ?B)是k-Hermitian 矩陣函數(shù);(2)sin(A ?B)是k-Hermitian 矩陣函數(shù);(3)arctan(A ?B)是k-Hermitian 矩陣函數(shù)。

證 (1)((A ?B)*)k= ((A ?B)k)*，

由定義KA*K = A 得，A ?B = K(A ?B)*K。注意到，((A ?B)*)k= ((A ?B)k)*，KK = I。從而得，(A ?B)2= (K(A ?B)*K)2= K(A ?B)*K·K(A?B)*K = K(A ?B)*(A ?B)*K = K［(A ?B)*］2K = K［(A ?B)2］*K，同理可得，(A ?B)4=K［(A ?B)4］*K，…，(A ?B)2n= K［(A ?B)2n］*K。于是cos(A ?B)=

因此，cos(A ?B)是k-Hermitian 矩陣函數(shù)。(2)和(3):證法同(1)。

定理2 設(shè)矩陣A，B 為二次k-Hermitian 矩陣，則(1)A ?B 是k-二次Hermitian 矩陣;(2)若AB =BA，則(AB)?(AB)是k-二次Hermitian 矩陣;(3)AB +BA = 0 若，則(A ±B)?(A ±B)是k-二次Hermitian 矩陣。

證 1)矩陣A，B 為k-二次Hermitian 矩陣，即KA2K =A*，KB2K = B*。注意到K ?K = K'。由引理1 得，(A ?B)*= A*?B*= (KA2K)?(KB2K)=K'(A2?B2)K' = K'(A ?B)2K'。即(A ?B)*=K'(A ?B)2K'。因此，A ?B 是k-二次Hermitian 矩陣。

2)注意到(AB)*= (BA)*。(AB)*=B*A*=(KB2K)(KA2K)= K(AB2)K。故AB 是k-二次Hermitian 矩陣。于是，((AB)?(AB))*=(AB)*?(AB)*= (K(AB)2K)?(K(AB)2K)=K'((AB)2?(AB)2)K' = K'((AB)?(AB))2K'。

因此，(AB)?(AB)是k-二次Hermitian 矩陣。

3)注意到AB + BA = 0?！?A + B)*= A*+B*= KA2K +KB2K = K(A2+B2)K = K(A2+AB +BA + B2)K = K(A + B)2K，即(A + B)*= K(A +B)2K。故A + B 是k-二次Hermitian 矩陣。注意到K ?K = K。于是，((A + B)?(A + B))*= (A +B)*?(A + B)*= (K(A + B)2K)?(K(A +B)2K)= K'((A + B)2?(A + B)2)K' = K'((A +B)?(A +B))2K'。因此，(A + B)?(A + B)是k-二次Hermitian 矩陣。同理可證，(A－B)?(A－B)是k-二次Hermitian 矩陣。

定理3 設(shè)矩陣A，B 為k-三次Hermitian 矩陣。(1)A ?B 是k-三次Hermitian 矩陣;(2)若AB =BA，則(AB)?(AB)是k-三次Hermitian 矩陣;(3)若AB =BA = 0，則(A ± B)?(A ± B)是k-三次Hermitian 矩陣。

證 (1)和(2):證明與定理2 的證法類似。以下僅證明(3):(3)KA3K = A*，KB3K = B*。注意到AB =BA = 0。A*+ B*= KA3K + KB3K = K(A3+B3)K = K(A3+ AAB + ABA + ABB + BAA + BAB +BBA + B3)K = K(A + B)3K?！?A + B)*= A*+B*=K(A + B)3K。故A +B 是k-三次Hermitian 矩陣。于是，((A + B)?(A + B))*= (A + B)*?(A +B)*= (K(A + B)3K)?(K(A + B)3K)=K'((A + B)3?(A + B)3)K' = K'((A + B)?(A +B))3K'。因此，(A + B)?(A + B)是k-三次Hermitian 矩陣。同理可證，(A－B)?(A－B)是k-三次Hermitian 矩陣。

［1］Krishnamoorthy S，Rajagopalan T，Vijayakumar R.On k-idempotent matrices［J］.Int Rev Pure Appl Math，2009，5(1):97-101.

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