從微觀角度再看理想氣體的絕熱過(guò)程*

秦 天 楊天一 楊程琳 李婧怡 荷蘭馨 黃 敏

(成都市新都一中銘章學(xué)院 四川 成都 610500)

趙蕓赫

從微觀角度再看理想氣體的絕熱過(guò)程*

秦 天 楊天一 楊程琳 李婧怡 荷蘭馨 黃 敏

(成都市新都一中銘章學(xué)院 四川 成都 610500)

趙蕓赫

在“從微觀角度看理想氣體的絕熱過(guò)程”一文中提到了一種從微觀角度來(lái)計(jì)算理想氣體絕熱公式的推導(dǎo)，這一推導(dǎo)中的物理本質(zhì)為氣體分子對(duì)活塞壁做功的集體效應(yīng)，即氣體壓強(qiáng)的微觀解釋?zhuān)谶@一思考，從氣體分子對(duì)外做功的角度給出了相應(yīng)的推導(dǎo)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)該文結(jié)論在其給定模型下的一個(gè)更為直觀的解，與熱力學(xué)第一定律中的做功項(xiàng)可以更直接地對(duì)應(yīng)，從而更直接地聯(lián)系起微觀過(guò)程和宏觀的理想氣體狀態(tài)方程．

理想氣體 絕熱過(guò)程 微觀功

文獻(xiàn)[1]給出了一種利用統(tǒng)計(jì)力學(xué)來(lái)導(dǎo)出理想氣體絕熱方程的辦法，文中簡(jiǎn)潔的推導(dǎo)直觀地演示了理想氣體絕熱過(guò)程的微觀含義．對(duì)于該文中的計(jì)算，還存在可以進(jìn)一步挖掘的地方，故在本文中進(jìn)一步討論．如，文獻(xiàn)[1]中討論氣體分子能量變化的時(shí)候，未直接指出絕熱的來(lái)源，未界定氣體內(nèi)能變化和由于對(duì)外做功導(dǎo)致的機(jī)械能變化，即未與宏觀的絕熱進(jìn)行對(duì)應(yīng)；文中在進(jìn)行微觀考慮時(shí)，未徹底貫徹“微觀”討論，比如在計(jì)算氣體系統(tǒng)內(nèi)能變化時(shí)直接運(yùn)用了等體熱容這一宏觀物理量．

本文介紹了一種直接從氣體分子做功的角度進(jìn)行的推導(dǎo)過(guò)程，并指出其中隱含的“絕熱”條件，從而給出了理想氣體狀態(tài)方程．進(jìn)一步，在絕熱條件下得到理想氣體的絕熱方程．

首先，根據(jù)熱力學(xué)第一定律

dU=dQ+dW

(1)

對(duì)于絕熱過(guò)程有dQ=0，因而內(nèi)能的變化只取決于氣體系統(tǒng)對(duì)外做功的多少．文獻(xiàn)[1]中直接利用氣體動(dòng)能的變化來(lái)計(jì)算每一氣體分子能量的變化，這一計(jì)算的隱含條件是自由粒子內(nèi)能的變化只來(lái)自于與活塞碰撞對(duì)其所做的功，同時(shí)沒(méi)有吸熱，即已經(jīng)利用了熱力學(xué)第一定律，并引入了絕熱的條件．

圖1 活塞緩慢移動(dòng)的絕熱氣缸

考慮充滿理想氣體的氣缸，活塞以vp向外移動(dòng)．理想氣體對(duì)活塞做功大小可以由每一個(gè)氣體分子對(duì)外活塞做的功求和得到，即

(2)

其中dwi是活塞對(duì)第i個(gè)氣體分子所做的功，F(xiàn)i是第i個(gè)氣體分子撞擊活塞時(shí)對(duì)其的壓力．根據(jù)力的定義有

(3)

Δpix=miΔvix=2mi(vix-vp)

于是得到

(4)

(5)

因此活塞對(duì)氣體所做的功為

(6)

當(dāng)氣體的熱運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于氣體系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)(即滿足了準(zhǔn)靜態(tài)的條件，否則活塞運(yùn)動(dòng)過(guò)快會(huì)導(dǎo)致氣體在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法達(dá)到熱平衡狀態(tài)，從而使得上面基于熱平衡態(tài)的計(jì)算失效)，上式第二項(xiàng)可以忽略．在絕熱條件下，氣體內(nèi)能的變化為

(7)

這就是文獻(xiàn)[1]中的式(4)消去dt后的結(jié)果．這一結(jié)果還可以寫(xiě)作

(8)

從而理想氣體狀態(tài)方程

pV=NkBT

(9)

另一方面，對(duì)于理想氣體的內(nèi)能變化，文獻(xiàn)[1]直接使用了

dE=νCV,mdT

這一關(guān)系，而這一關(guān)系已經(jīng)是理想氣體內(nèi)能變化的宏觀表達(dá)式．從微觀的意義來(lái)說(shuō)，對(duì)于單原子理想氣體分子，根據(jù)能量均分定理，氣體系統(tǒng)的內(nèi)能可以直接寫(xiě)為

(10)

這樣一來(lái)，兩邊同時(shí)微分即得到了溫度變化所導(dǎo)致的內(nèi)能變化的表示式

從而得到

(11)

則有

(12)

反觀文獻(xiàn)[1]的結(jié)論，根據(jù)能量均分定理和熱容的關(guān)系，即

綜上所述，我們認(rèn)為文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)的本質(zhì)是利用了熱力學(xué)第一定律在絕熱條件下氣體內(nèi)能的變化即為機(jī)械能的改變這一條件，并從微觀的角度推導(dǎo)了理想氣體狀態(tài)方程，最終得到了理想氣體的絕熱方程．整體來(lái)看，本文和文獻(xiàn)[1]的推導(dǎo)都是基于將氣體分子和活塞的相互作用近似為剛體碰撞，并利用經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行求解，而這一過(guò)程隱含著“絕熱”的條件．

1 侯吉旋,司黎明,翁華.從微觀角度看理想氣體的絕熱過(guò)程.大學(xué)物理,2017(03):14～15

2 汪志誠(chéng). 熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理(第3版).北京：高等教育出版社, 2003

RethinkingontheAdiabaticProcessofIdealGasfromMicrocosmicPerspective

Qin Tian Yang Tianyi Yang Chenglin Li JingYi He LanXin Huang Min
(Mingzhang Institution of Xindu No.1 High School,Chengdu,Sichuan 610500)

Zhao Yunhe

(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing 100875)

The paper "Deducing adiabatic equation of ideal gas via kinetic theory of gas" (College Physics March 2017)mentioned a microcosmic way to calculate the ideal gas adiabatic formula, the physical nature of this derivation is the collective effect of the gas molecules on the piston wall, that is, the microscopic interpretation of the gas pressure. Based on this point, this paper gives the corresponding derivation from the perspective of the external work of gas molecules, and finds a more intuitive solution in its given model and correspond more directly to the first law of thermodynamics. Thus more directly links itself to the micro-process and macroscopic ideal gas state equation.

ideal gas;adiabatic process;microcosmic work

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875)

2017-05-10)

*國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金“十三五”規(guī)劃2016年度教育學(xué)一般課題“普通高中學(xué)術(shù)性拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)研究”，課題編號(hào)：BHA160158

趙蕓赫(1993- )，女，在讀碩士研究生.