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    創(chuàng)新中的高考數(shù)學

    2017-03-22 13:14范慧芝
    課程教育研究 2017年1期
    關(guān)鍵詞:高考數(shù)學試題創(chuàng)新

    范慧芝

    【摘要】“相對穩(wěn)定,重點突出,穩(wěn)中有變,變中求新,適度創(chuàng)新”是高考數(shù)學命題的基本原則,高考求新是變化的必然趨勢。推陳出新,是謂創(chuàng)新;創(chuàng)設(shè)情景, 是謂創(chuàng)新;定義新概念,是謂創(chuàng)新;方法創(chuàng)新, 是謂創(chuàng)新;大學接軌,是謂創(chuàng)新。

    【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學 試題 創(chuàng)新

    【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089(2017)01-0141-02

    高考數(shù)學命題一般是遵循“相對穩(wěn)定,重點突出,穩(wěn)中有變,變中求新,適度創(chuàng)新” 的基本原則。高考要“穩(wěn)”就是說有許多“常規(guī)題”,復(fù)習時應(yīng)按“樣題”進行訓(xùn)練。高考有“重點”,就是說做到重點知識重點復(fù)習。高考有“變”,就是說有一些“新問題”、“新方法”、“新知識”等。高考求新是變化的必然趨勢:在課程改革的大背景下,創(chuàng)造性地融《高中數(shù)學課程標準》倡導(dǎo)的新思想、新觀點、新理念于高考命題之中,“圍繞對數(shù)學知識、理性思維、數(shù)學應(yīng)用與創(chuàng)新和數(shù)學人文價值等四個方面的考查設(shè)計試題”,努力開發(fā)一些融知識、方法、思想、能力與素質(zhì)于一體的背景新穎、內(nèi)涵深刻、富有新意的原創(chuàng)題型,使數(shù)學的文化性、應(yīng)用性與理論性能有機結(jié)合與相互滲透, 真正考查出考生的學習潛能和個性品質(zhì)。這些試題是怎么進行創(chuàng)新的呢?下面結(jié)合高考題和模擬試題談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

    1.推陳出新,是謂創(chuàng)新

    各課改版本的教材是高考命題的主要依據(jù)和試題的基本來源,把老題進行改編也是試題的一個來源。

    例1 一只小船以10 m/s的速度由南向北勻速駛過湖面,在離湖面高20米的橋上,一輛汽車由西向東以20 m/s的速度前進(如圖),現(xiàn)在小船在水平P點以南的40米處,汽車在橋上以西Q點30米處(其中PQ⊥水面),則小船與汽車間的最短距離為 。(不考慮汽車與小船本身的大?。?。

    分析 本題是我們非常熟悉的一個數(shù)學模型,通過植入實際問題給予包裝,給了我們?nèi)碌母杏X。其實,解決問題的實質(zhì)是沒有變化的。

    說明 回顧近年來的試題,那些最有沖擊力的題,往往在我們的意料之外,而又在情理之中。

    2.創(chuàng)設(shè)情景, 是謂創(chuàng)新

    表現(xiàn)在所給數(shù)學問題的知識背景、生活背景、設(shè)問方式或外形結(jié)構(gòu)等較為新穎。

    例2 有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎。有人走訪了四位歌手,甲說:“是乙或丙獲獎”;乙說:“甲未獲獎,丙也未獲獎”;丙說:“我獲獎了”;丁說:“是乙獲獎了”。四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的 。 解析 乙的意思是“乙或丁獲獎”。因為甲、乙、丙、丁都沒有說甲獲獎,所以獲獎的一定不是甲。假設(shè)獲獎是的乙,則甲、乙、丁說的都對,與只有兩句是對的矛盾,所以獲獎的也不是乙。假設(shè)獲獎的是丁,則甲、丙、丁都不對,也矛盾。

    故獲獎的是丙。此時,甲、丙是對的,乙、丁是錯的,符合題設(shè)。

    3.定義新概念,是謂創(chuàng)新

    定義新概念,讓考生在陌生的知識中即時學習,并解決問題,顯得公平、公正,這類問題命題者非常喜歡。

    例3 現(xiàn)定義命題演算的合式公式(wff),規(guī)定為:

    A.單個命題本身是一個合式公式

    B.如果A是合式公式,那么?劭A是合式公式

    C.如果A和B是合式公式,那么(A∧B),(A∨B),(A→B),(A?圮B)都是合式公式;

    D.當且僅當能夠有限次地運用A、B、C所得到的命題是合式公式。

    說明:考生無需知道(A∧B),(A∨B),(A→B),(A?圮B)所表示的具體含義。

    下列公式是合式公式的是: ___________.

    ①((?劭P→Q)→(Q→P))) ②(Q→R∧S) ③(RS→T)

    ④(P?圮(R→S)) ⑤((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))

    解析 在①中,滿足A、B、C、D所有條件,但是由于其右邊括號的影響(多添加了一個括號),造成其不是合式公式;②中沒有對(Q→R∧S)進行具體劃分,兩種命題運算符不知道哪個先,所以②不是合式公式;③中R與S之間缺少必要的命題運算符,所以該式不是合式公式;④、⑤符合題目要求,是合式公式。

    4.方法創(chuàng)新, 是謂創(chuàng)新

    例4 如圖,有8個村莊分別用A1,A2,…,A8表示。某人從A1出發(fā),按箭頭所示方向(不可逆行)可以選擇任意一條路徑走向其他某個村莊,那么他從A1出發(fā),按圖中所示方向到達A8(每個村莊至多經(jīng)過一次)有________種不同的走法。

    解析 可以從特殊情況出發(fā),看他們的規(guī)律:為方便計,設(shè)從A1到Ai的走法有ai種,則容易看出a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,發(fā)現(xiàn)a4=a2+a3,a5=a3+a4,所以a6=a4+a5=8,a7=a5+a6=13,a8=a6+a7=21,所以從A1出發(fā),按圖中所示方向到達A8(每個村莊至多經(jīng)過一次)有21種不同的走法。

    也可以畫出樹狀圖來分析求解。本題實質(zhì)是斐波那契數(shù)列的一部分,是世界名題在初等數(shù)學中的應(yīng)用,所謂斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列:1、1、2、3、5、8、13、21,34,55,89.…,這個數(shù)列從第三項開始,每一項都等于前兩項之和。世界名題的特殊化,本來就是命題的一個熱點,不可忽視。

    說明世界名題的特殊化也是創(chuàng)新。

    分析 設(shè)|OA|=x則x>1,SⅡ與SⅣ均為常數(shù)。

    設(shè)SⅠ=f(x),SⅢ=g(x),則f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),g(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)。故函數(shù)y=f(x)-g(x)+SⅣ-SⅡ為(1,+∞)上的增函數(shù),且x→1時f(x)→0,g(x)→+∞,∴y→-∞;同理x→+∞時,y→+∞。因此,有且僅有一個下x值使y=0,故應(yīng)選B。

    點評 本題考查了“有限與無限思想”,很有味道,也是創(chuàng)新。

    5.大學接軌,是謂創(chuàng)新

    高等數(shù)學中的基本思想和基本題目為高考命題提供了背景,這類問題起點高,但落點低,也就是所謂的“高題低做”,即解決的方法是中學所學的初等數(shù)學知識。

    點評 本小題主要考查函數(shù),對應(yīng)及高等數(shù)學線性變換的相關(guān)知識,試題立意新穎,突出創(chuàng)新能力和數(shù)學閱讀能力,具有選拔性質(zhì)。

    總之,高考命題的來源,一是各課改版本的教材和試題;二是往屆高考題,這是“借鑒”和“穩(wěn)定”的需要;三是教材與《課程標準》的交集已經(jīng)成為命題的創(chuàng)新地帶(因為命題者希望試題具有時代氣息);四是以高等數(shù)學中的基本思想和基本題目作為問題背景(因為命題組成員大都是高校老師,因此在命題時不可能不受自身的學術(shù)背景的影響);五是新高考關(guān)注“活題”空間 ,比如探索性試題、“合情推理”題、“類比推廣”題,等,而解答創(chuàng)新性數(shù)學問題,一是要讀懂題意,通過轉(zhuǎn)化,化“新”為“舊“;二是通過深入分析,多方聯(lián)想,以“舊”攻“新”;三是創(chuàng)造性地運用數(shù)學思想方法,以“新”制“新”。

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